第7章仕事と運動エネルギー

7.2 Kinetic Energy7.2　運動エネルギー

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Calculate the kinetic energy of a particle given its mass and its velocity or momentum
英語のヒント
粒子の質量と速度または運動量から、運動エネルギーを計算する。
Evaluate the kinetic energy of a body, relative to different frames of reference
英語のヒント
異なる基準系に対する物体の運動エネルギーを求める。

It’s plausible to suppose that the greater the velocity of a body, the greater effect it could have on other bodies. This does not depend on the direction of the velocity, only its magnitude. At the end of the seventeenth century, a quantity was introduced into mechanics to explain collisions between two perfectly elastic bodies, in which one body makes a head-on collision with an identical body at rest. The first body stops, and the second body moves off with the initial velocity of the first body. (If you have ever played billiards or croquet, or seen a model of Newton’s Cradle, you have observed this type of collision.) The idea behind this quantity was related to the forces acting on a body and was referred to as “the energy of motion.” Later on, during the eighteenth century, the name kinetic energy was given to energy of motion.

英語のヒント

物体の速度が大きいほど、ほかの物体に大きな影響を及ぼしうる、と考えるのはもっともである。これは速度の向きにはよらず、大きさだけによる。17世紀末、二つの完全弾性体の衝突を説明するために、ある量が力学に導入された。一方の物体が、静止している同じ物体に正面衝突すると、最初の物体は止まり、二つ目の物体は最初の物体の初速度で動き出す。（ビリヤードやクロッケーをしたり、ニュートンのゆりかごを見たりしたことがあれば、この種の衝突を見ている。）この量の背後にある考えは、物体に働く力と関係し、「運動のエネルギー」と呼ばれた。後の18世紀に、運動のエネルギーには「運動エネルギー」という名称が与えられた。

With this history in mind, we can now state the classical definition of kinetic energy. Note that when we say “classical,” we mean non-relativistic, that is, at speeds much less that the speed of light. At speeds comparable to the speed of light, the special theory of relativity requires a different expression for the kinetic energy of a particle, as discussed in Relativity.

英語のヒント

この歴史を念頭に置いて、運動エネルギーの古典的な定義を述べよう。ここで「古典的」とは非相対論的、つまり光速に比べて十分に遅い速さを意味する。光速に匹敵する速さでは、「相対性理論」で扱うように、特殊相対性理論に基づく別の運動エネルギーの式が必要になる。

Since objects (or systems) of interest vary in complexity, we first define the kinetic energy of a particle with mass m.

英語のヒント

対象とする物体や系の複雑さはさまざまなので、まず質量mの粒子の運動エネルギーを定義する。

We then extend this definition to any system of particles by adding up the kinetic energies of all the constituent particles:

英語のヒント

次に、構成するすべての粒子の運動エネルギーを足し合わせることで、この定義を任意の粒子系へ拡張する。

K = \sum \frac{1}{2} m v^{2} .

(7.7)

Note that just as we can express Newton’s second law in terms of either the rate of change of momentum or mass times the rate of change of velocity, so the kinetic energy of a particle can be expressed in terms of its mass and momentum

(\vec{p} = m \vec{v}),

instead of its mass and velocity. Since

v = p / m

, we see that

英語のヒント

ニュートンの第二法則を、運動量の変化率、または質量と速度の変化率の積で表せるのと同じように、粒子の運動エネルギーも、質量と速度の代わりに質量と運動量

(\vec{p} = m \vec{v})

で表せる。

v = p / m

なので、

K = \frac{1}{2} m {(\frac{p}{m})}^{2} = \frac{p^{2}}{2 m}

also expresses the kinetic energy of a single particle. Sometimes, this expression is more convenient to use than Equation 7.6.

英語のヒント

も、単一粒子の運動エネルギーを表す。この式のほうが式7.6より便利な場合もある。

The units of kinetic energy are mass times the square of speed, or

kg \cdot m^{2} {/s}^{2}

. But the units of force are mass times acceleration,

kg \cdot {m/s}^{2}

, so the units of kinetic energy are also the units of force times distance, which are the units of work, or joules. You will see in the next section that work and kinetic energy have the same units, because they are different forms of the same, more general, physical property.

英語のヒント

運動エネルギーの単位は、質量と速さの2乗の積、すなわち

kg \cdot m^{2} {/s}^{2}

である。力の単位は質量と加速度の積

kg \cdot {m/s}^{2}

なので、運動エネルギーの単位は力と距離の積の単位でもある。これは仕事の単位、ジュールである。次の節では、仕事と運動エネルギーが同じ単位をもつのは、両者が同じ、より一般的な物理的性質の異なる形だからだとわかる。

Example 7.6例題 7.6

Kinetic Energy of an Object物体の運動エネルギー

(a) What is the kinetic energy of an 80-kg athlete, running at 10 m/s? (b) The Chicxulub crater in Yucatan, one of the largest existing impact craters on Earth, is thought to have been created by an asteroid, traveling at
22 km/s and releasing

4.2 \times 10^{23} J

of kinetic energy upon impact. What was its mass? (c) In nuclear reactors, thermal neutrons, traveling at about 2.2 km/s, play an important role. What is the kinetic energy of such a particle?

英語のヒント

(a) 速さ10 m/sで走る質量80 kgの選手の運動エネルギーはいくらか。(b) ユカタン半島のチクシュルーブ・クレーターは、地球に現存する最大級の衝突クレーターの一つである。速さ22 km/sで飛来した小惑星が、衝突時に

4.2 \times 10^{23} J

の運動エネルギーを放出してできたと考えられている。この小惑星の質量はいくらだったか。(c) 原子炉では、速さ約2.2 km/sで動く熱中性子が重要な役割を果たす。この粒子の運動エネルギーはいくらか。

Strategy方針

To answer these questions, you can use the definition of kinetic energy in Equation 7.6. You also have to look up the mass of a neutron.

英語のヒント

式7.6の運動エネルギーの定義を使えば、これらの問いに答えられる。中性子の質量も調べる必要がある。

Solution解答

Don’t forget to convert km into m to do these calculations, although, to save space, we omitted showing these conversions.

英語のヒント

計算ではkmをmに直すのを忘れないこと。紙幅を節約するため、以下では単位換算の表示を省略した。

$K = \frac{1}{2} (80 kg) (10 {m/s)}^{2} = 4.0 kJ .$
$m = 2 K / v^{2} = 2 (4.2 \times 10^{23} J) / {(22 km/s)}^{2} = 1.7 \times 10^{15} kg .$
$K = \frac{1}{2} (1.68 \times 10^{−27} kg) {(2.2 km/s)}^{2} = 4.1 \times 10^{−21} J .$

Significance考察

In this example, we used the way mass and speed are related to kinetic energy, and we encountered a very wide range of values for the kinetic energies. Different units are commonly used for such very large and very small values. The energy of the impactor in part (b) can be compared to the explosive yield of TNT and nuclear explosions,

1 megaton = 4.18 \times 10^{15} J .

The Chicxulub asteroid’s kinetic energy was about a hundred million megatons. At the other extreme, the energy of subatomic particle is expressed in electron-volts,

1 eV = 1.6 \times 10^{−19} J .

The thermal neutron in part (c) has a kinetic energy of about one fortieth of an electron-volt.

英語のヒント

この例題では、質量と速さが運動エネルギーとどう関係するかを使い、非常に幅広い運動エネルギーの値を扱った。このように非常に大きい値や小さい値には、一般に別の単位が使われる。(b)の衝突天体のエネルギーは、TNTや核爆発の爆発エネルギーと比較でき、

1 megaton = 4.18 \times 10^{15} J

である。チクシュルーブ小惑星の運動エネルギーは約1億メガトンだった。反対の極端な例として、亜原子粒子のエネルギーは電子ボルトで表され、

1 eV = 1.6 \times 10^{−19} J

である。(c)の熱中性子の運動エネルギーは約40分の1電子ボルトである。

Because velocity is a relative quantity, you can see that the value of kinetic energy must depend on your frame of reference. You can generally choose a frame of reference that is suited to the purpose of your analysis and that simplifies your calculations. One such frame of reference is the one in which the observations of the system are made (likely an external frame). Another choice is a frame that is attached to, or moves with, the system (likely an internal frame). The equations for relative motion, discussed in Motion in Two and Three Dimensions, provide a link to calculating the kinetic energy of an object with respect to different frames of reference.

英語のヒント

速度は相対的な量なので、運動エネルギーの値も基準系に依存する。一般には、解析の目的に適し、計算を簡単にできる基準系を選べばよい。一つは、系の観測を行う基準系である（多くは外部の基準系）。もう一つは、系に固定されているか、系とともに動く基準系である（多くは内部の基準系）。「2次元と3次元の運動」で扱った相対運動の式を使うと、異なる基準系に対する物体の運動エネルギーを計算できる。

Example 7.7例題 7.7

Kinetic Energy Relative to Different Frames異なる基準系に対する運動エネルギー

A 75.0-kg person walks down the central aisle of a subway car at a speed of 1.50 m/s relative to the car, whereas the train is moving at 15.0 m/s relative to the tracks. (a) What is the person’s kinetic energy relative to the car? (b) What is the person’s kinetic energy relative to the tracks? (c) What is the person’s kinetic energy relative to a frame moving with the person?

英語のヒント

質量75.0 kgの人が、地下鉄車両の中央通路を、車両に対して速さ1.50 m/sで歩く。列車は線路に対して15.0 m/sで走っている。(a) 車両に対する人の運動エネルギーはいくらか。(b) 線路に対する人の運動エネルギーはいくらか。(c) 人とともに動く基準系に対する人の運動エネルギーはいくらか。

Strategy方針

Since speeds are given, we can use

\frac{1}{2} m v^{2}

to calculate the person’s kinetic energy. However, in part (a), the person’s speed is relative to the subway car (as given); in part (b), it is relative to the tracks; and in part (c), it is zero. If we denote the car frame by C, the track frame by T, and the person by P, the relative velocities in part (b) are related by

{\vec{v}}_{PT} = {\vec{v}}_{PC} + {\vec{v}}_{CT} .

We can assume that the central aisle and the tracks lie along the same line, but the direction the person is walking relative to the car isn’t specified, so we will give an answer for each possibility,

v_{PT} = v_{CT} \pm v_{PC}

, as shown in Figure 7.11.

英語のヒント

速さが与えられているので、

\frac{1}{2} m v^{2}

を使って人の運動エネルギーを計算できる。ただし、(a)の速さは与えられた車両に対する速さ、(b)は線路に対する速さ、(c)はゼロである。車両の基準系をC、線路の基準系をT、人をPとすると、(b)の相対速度は

{\vec{v}}_{PT} = {\vec{v}}_{PC} + {\vec{v}}_{CT}

で結ばれる。中央通路と線路は同一直線上にあるとみなせるが、人が車両に対してどちら向きに歩くかは指定されていない。そこで、図7.11に示すように、両方の可能性

v_{PT} = v_{CT} \pm v_{PC}

について答える。

列車の車両内を歩く人の二つの図。(a) 人は速度ベクトルvPCで右へ歩き、列車も速度ベクトルvCTで右へ走る。(b) 人は速度ベクトルvPCで左へ歩き、列車は速度ベクトルvCTで右へ走る。 — Figure 7.11図 7.11
The possible motions of a person walking in a train are (a) toward the front of the car and (b) toward the back of the car.
英語のヒント
列車内を歩く人の動きには、(a) 車両の前方へ向かう場合と、(b) 後方へ向かう場合がある。

Solution解答

$K = \frac{1}{2} (75.0 kg) (1.50 {m/s)}^{2} = 84.4 J .$
$v_{PT} = (15.0 \pm 1.50) m/s .$ Therefore, the two possible values for kinetic energy relative to the track are
英語のヒント
$v_{PT} = (15.0 \pm 1.50) m/s$ 。したがって、線路に対する運動エネルギーには次の二つの値がありうる。

$K = \frac{1}{2} (75.0 kg) (13.5 {m/s)}^{2} = 6.83 kJ$

and
英語のヒント
および

$K = \frac{1}{2} (75.0 kg) (16.5 {m/s)}^{2} = 10.2 kJ .$
In a frame where $v_{P} = 0, K = 0$ as well.
英語のヒント
$v_{P} = 0, K = 0$ となる基準系では、運動エネルギーもゼロになる。

Significance考察

You can see that the kinetic energy of an object can have very different values, depending on the frame of reference. However, the kinetic energy of an object can never be negative, since it is the product of the mass and the square of the speed, both of which are always positive or zero.

英語のヒント

物体の運動エネルギーは、基準系によって大きく異なる値をとりうる。しかし、運動エネルギーが負になることはない。質量と速さの2乗の積であり、どちらも常に正またはゼロだからである。

The kinetic energy of a particle is a single quantity, but the kinetic energy of a system of particles can sometimes be divided into various types, depending on the system and its motion. For example, if all the particles in a system have the same velocity, the system is undergoing translational motion and has translational kinetic energy. If an object is rotating, it could have rotational kinetic energy, or if it’s vibrating, it could have vibrational kinetic energy. The kinetic energy of a system, relative to an internal frame of reference, may be called internal kinetic energy. The kinetic energy associated with random molecular motion may be called thermal energy. These names will be used in later chapters of the book, when appropriate. Regardless of the name, every kind of kinetic energy is the same physical quantity, representing energy associated with motion.

英語のヒント

一つの粒子の運動エネルギーは一つの量だが、粒子系の運動エネルギーは、系とその運動に応じて、いくつかの種類に分けられることがある。たとえば系のすべての粒子が同じ速度をもつなら、系は並進運動をしており、並進運動エネルギーをもつ。回転している物体は回転運動エネルギーを、振動している物体は振動運動エネルギーをもちうる。内部の基準系に対する系の運動エネルギーは、内部運動エネルギーと呼ばれることがある。不規則な分子運動に伴う運動エネルギーは、熱エネルギーと呼ばれることがある。本書の後の章では、必要に応じてこれらの名称を使う。名前が何であれ、どの運動エネルギーも、運動に伴うエネルギーを表す同じ物理量である。

Example 7.8例題 7.8

Special Names for Kinetic Energy運動エネルギーの特別な名称

(a) A player lobs a mid-court pass with a 624-g basketball, which covers 15 m in 2 s. What is the basketball’s horizontal translational kinetic energy while in flight? (b) An average molecule of air, in the basketball in part (a), has a mass of 29 u, and an average speed of 500 m/s, relative to the basketball. There are about

3 \times 10^{23}

molecules inside it, moving in random directions, when the ball is properly inflated. What is the average translational kinetic energy of the random motion of all the molecules inside, relative to the basketball? (c) How fast would the basketball have to travel relative to the court, as in part (a), so as to have a kinetic energy equal to the amount in part (b)?

英語のヒント

(a) 選手が質量624 gのバスケットボールをコート中央から山なりにパスし、ボールは2 sで15 m進んだ。飛行中のボールの水平方向の並進運動エネルギーはいくらか。(b) (a)のボール内の空気分子は、平均して質量29 u、ボールに対する速さ500 m/sをもつ。適切に空気を入れたボールには約

3 \times 10^{23}

個の分子があり、ばらばらの方向に動いている。ボールに対する、内部のすべての分子の不規則な運動の平均並進運動エネルギーはいくらか。(c) (a)と同じくコートに対してボールが動くとき、(b)の量と等しい運動エネルギーをもつには、どれだけの速さで動く必要があるか。

Strategy方針

In part (a), first find the horizontal speed of the basketball and then use the definition of kinetic energy in terms of mass and speed,

K = \frac{1}{2} m v^{2}

. Then in part (b), convert unified units to kilograms and then use

K = \frac{1}{2} m v^{2}

to get the average translational kinetic energy of one molecule, relative to the basketball. Then multiply by the number of molecules to get the total result. Finally, in part (c), we can substitute the amount of kinetic energy in part (b), and the mass of the basketball in part (a), into the definition

K = \frac{1}{2} m v^{2}

, and solve for v.

英語のヒント

(a)では、まずボールの水平速度を求め、質量と速さによる運動エネルギーの定義

K = \frac{1}{2} m v^{2}

を使う。(b)では、統一原子質量単位をkgに直し、

K = \frac{1}{2} m v^{2}

を使って、ボールに対する1分子の平均並進運動エネルギーを求める。それに分子数を掛けて全体の値を得る。(c)では、(b)の運動エネルギーと(a)のボールの質量を定義式

K = \frac{1}{2} m v^{2}

に代入し、vについて解く。

Solution解答

The horizontal speed is (15 m)/(2 s), so the horizontal kinetic energy of the basketball is
英語のヒント
水平速度は(15 m)/(2 s)なので、ボールの水平方向の運動エネルギーは、

$\frac{1}{2} (0.624 kg) {(7.5 m/s)}^{2} = 17.6 J .$
The average translational kinetic energy of a molecule is
英語のヒント
1分子の平均並進運動エネルギーは、

$\frac{1}{2} (29 u) (1.66 \times 10^{−27} kg/u) {(500 m/s)}^{2} = 6.02 \times 10^{−21} J,$

and the total kinetic energy of all the molecules is
英語のヒント
そして、すべての分子の運動エネルギーの合計は、

$(3 \times 10^{23}) (6.02 \times 10^{−21} J) = 1.80 kJ .$
$v = \sqrt{2 (1.8 kJ) / (0.624 kg)} = 76.0 m/s .$

Significance考察

In part (a), this kind of kinetic energy can be called the horizontal kinetic energy of an object (the basketball), relative to its surroundings (the court). If the basketball were spinning, all parts of it would have not just the average speed, but it would also have rotational kinetic energy. Part (b) reminds us that this kind of kinetic energy can be called internal or thermal kinetic energy. Notice that this energy is about a hundred times the energy in part (a). How to make use of thermal energy will be the subject of the chapters on thermodynamics. In part (c), since the energy in part (b) is about 100 times that in part (a), the speed should be about 10 times as big, which it is (76 compared to 7.5 m/s).

英語のヒント

(a)で求めたものは、周囲（コート）に対する物体（ボール）の水平方向の運動エネルギーと呼べる。ボールが回転していたら、その各部分の速さは平均の速さだけではなく、回転運動エネルギーももつことになる。(b)で扱った運動エネルギーは、内部運動エネルギー、または熱運動エネルギーと呼べる。このエネルギーは(a)の約100倍である。熱エネルギーをどう利用するかは、熱力学の章で扱う。(c)では、(b)のエネルギーが(a)の約100倍なので、速さは約10倍になるはずであり、実際にそうなっている（7.5 m/sに対して76 m/s）。

第7章仕事と運動エネルギー

7.2 Kinetic Energy7.2 運動エネルギー

Learning Objectives学習目標

Kinetic Energy of an Object物体の運動エネルギー

Strategy方針

Solution解答

Significance考察

Kinetic Energy Relative to Different Frames異なる基準系に対する運動エネルギー

Strategy方針

Solution解答

Significance考察

Special Names for Kinetic Energy運動エネルギーの特別な名称

Strategy方針

Solution解答

Significance考察

7.2 Kinetic Energy7.2　運動エネルギー