第7章仕事と運動エネルギー

Work Done by Forces that Vary変化する力がする仕事

In general, forces may vary in magnitude and direction at points in space, and paths between two points may be curved. The infinitesimal work done by a variable force can be expressed in terms of the components of the force and the displacement along the path,

英語のヒント

一般に、力の大きさと向きは空間の位置によって変わり、二点間の経路も曲線になりうる。変化する力の微小な仕事は、力と経路に沿う変位の成分で表せる。

d W = F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z .

Here, the components of the force are functions of position along the path, and the displacements depend on the equations of the path. (Although we chose to illustrate dW in Cartesian coordinates, other coordinates are better suited to some situations.) Equation 7.2 defines the total work as a line integral, or the limit of a sum of infinitesimal amounts of work. The physical concept of work is straightforward: you calculate the work for tiny displacements and add them up. Sometimes the mathematics can seem complicated, but the following example demonstrates how cleanly they can operate.

英語のヒント

ここで力の成分は経路上の位置の関数で、変位は経路の式によって決まる。dWを直交座標で示したが、状況によっては別の座標のほうが適している。式7.2は全仕事を、線積分、すなわち微小な仕事の和の極限として定義する。物理的な考え方は単純で、小さな変位ごとの仕事を計算して足せばよい。数学的には複雑に見えることもあるが、次の例は、計算がどれほどすっきり進むかを示す。

Example 7.4例題 7.4

Work Done by a Variable Force over a Curved Path曲線経路で変化する力がする仕事

An object moves along a parabolic path

y = (0.5 m^{−1}) x^{2}

from the origin

A = (0, 0)

to the point

B = (2 m, 2 m)

under the action of a force

\vec{F} = (5 N/m) y \hat{i} + (10 N/m) x \hat{j}

(Figure 7.6). Calculate the work done.

英語のヒント

物体が力

\vec{F} = (5 N/m) y \hat{i} + (10 N/m) x \hat{j}

を受け、原点

A = (0, 0)

から点

B = (2 m, 2 m)

まで放物線

y = (0.5 m^{−1}) x^{2}

に沿って動く（図7.6）。力のする仕事を求めよ。

x、yとも単位mのグラフ。放物線y(x)は原点から右上へ曲がり、点(2, 2)を通る。原点と(2, 2)の間の点に、曲線と角度をなして右上へ向く力F(x, y)が描かれる。 — Figure 7.6図 7.6
The parabolic path of a particle acted on by a given force.
英語のヒント
与えられた力を受ける粒子の放物線軌道。

Strategy方針

The components of the force are given functions of x and y. We can use the equation of the path to express y and dy in terms of x and dx; namely,

英語のヒント

力の成分はxとyの関数として与えられる。経路の式を使えば、yとdyをxとdxで表せる。すなわち、

y = (0.5 m^{−1}) x^{2} and d y = 2 (0.5 m^{−1}) x d x .

y = (0.5 m^{−1}) x^{2} および d y = 2 (0.5 m^{−1}) x d x

Then, the integral for the work is just a definite integral of a function of x.

英語のヒント

すると、仕事の積分はxの関数の定積分になる。

Solution解答

The infinitesimal element of work is

英語のヒント

仕事の微小要素は、

\begin{matrix} d W & = F_{x} d x + F_{y} d y = (5 N/m) y d x + (10 N/m) x d y \\ = (5 N/m) (0.5 m^{− 1}) x^{2} d x + (10 N/m) 2 (0.5 m^{− 1}) x^{2} d x = (12.5 {N/m}^{2}) x^{2} d x . \end{matrix}

The integral of

x^{2}

x^{3} / 3,

英語のヒント

x^{2}

の積分は

x^{3} / 3

なので、

W = \int_{0}^{2 m} (12.5 {N/m}^{2}) x^{2} d x = (12.5 {N/m}^{2}) {\frac{x^{3}}{3} |}_{0}^{2 m} = (12.5 {N/m}^{2}) (\frac{8 m^{3}}{3}) = 33.3 J .

Significance考察

This integral was not hard to do. You can follow the same steps, as in this example, to calculate line integrals representing work for more complicated forces and paths. In this example, everything was given in terms of x- and y-components, which are easiest to use in evaluating the work in this case. In other situations, magnitudes and angles might be easier.

英語のヒント

この積分は難しくなかった。より複雑な力や経路でも、この例と同じ手順で、仕事を表す線積分を計算できる。今回はすべてx・y成分で与えられており、それを使うのが最も容易だった。別の状況では、大きさと角度を使うほうが簡単な場合もある。

One very important and widely applicable variable force is the force exerted by a perfectly elastic spring, which satisfies Hooke’s law

\vec{F} = − k Δ \vec{x},

where k is the spring constant, and

Δ \vec{x} = \vec{x} - {\vec{x}}_{eq}

is the displacement from the spring’s unstretched (equilibrium) position (Newton’s Laws of Motion). Note that the unstretched position is only the same as the equilibrium position if no other forces are acting (or, if they are, they cancel one another). Forces between molecules, or in any system undergoing small displacements from a stable equilibrium, behave approximately like a spring force.

英語のヒント

変化する力の中でも、非常に重要で幅広く使えるのが、完全弾性のばねの力である。フックの法則

\vec{F} = − k Δ \vec{x}

を満たし、kはばね定数、

Δ \vec{x} = \vec{x} - {\vec{x}}_{eq}

は伸びていないつり合いの位置からの変位である（「ニュートンの運動の法則」）。自然長の位置とつり合いの位置が一致するのは、ほかの力が働かない場合、または働いても互いに打ち消す場合だけである。分子間の力や、安定なつり合いからわずかに変位する系の力は、ばねの力に近い振る舞いをする。

To calculate the work done by a spring force, we can choose the x-axis along the length of the spring, in the direction of increasing length, as in Figure 7.7, with the origin at the equilibrium position

x_{eq} = 0 .

(Then positive x corresponds to a stretch and negative x to a compression.) With this choice of coordinates, the spring force has only an x-component,

F_{x} = − k x

, and the work done when x changes from

x_{A}

x_{B}

英語のヒント

ばねのする仕事を求めるには、図7.7のように、ばねの長さに沿って伸びる方向をx軸の正とし、つり合いの位置

x_{eq} = 0

を原点にする。このとき正のxは伸び、負のxは圧縮を表す。この座標では、ばねの力はx成分

F_{x} = − k x

だけをもち、xが

x_{A}

から

x_{B}

へ変わる間の仕事は、

左端を壁に固定した水平なばねの三つの状態。右端のつり合い位置をx＝0とし、右向きに変位xを測る。(a) 自然な状態で右端は0。(b) 伸ばすと右端は0より右へΔx変位し、F＝−kΔxの左向きの力を受ける。(c) 圧縮すると右端は0より左にあり、力F＝−kΔxは右向きに働く。 — Figure 7.7図 7.7
(a) The spring exerts no force at its equilibrium position. The spring exerts a force in the opposite direction to (b) an extension or stretch, and (c) a compression.
英語のヒント
(a) つり合いの位置では、ばねは力を及ぼさない。(b) 伸ばした場合も、(c) 圧縮した場合も、変位と逆向きに力を及ぼす。

Notice that

W_{A B}

depends only on the starting and ending points, A and B, and is independent of the actual path between them, as long as it starts at A and ends at B. That is, the actual path could involve going back and forth before ending.

英語のヒント

W_{A B}

は始点Aと終点Bだけに依存する。Aから始まりBで終わる限り、途中の経路には依存しない。つまり、途中で行きつ戻りつしてもよい。

Another interesting thing to notice about Equation 7.5 is that, for this one-dimensional case, you can readily see the correspondence between the work done by a force and the area under the curve of the force versus its displacement. Recall that, in general, a one-dimensional integral is the limit of the sum of infinitesimals,

f (x) d x

, representing the area of strips, as shown in Figure 7.8. In Equation 7.5, since

F = − k x

is a straight line with slope

− k

, when plotted versus x, the “area” under the line is just an algebraic combination of triangular “areas,” where “areas” above the x-axis are positive and those below are negative, as shown in Figure 7.9. The magnitude of one of these “areas” is just one-half the triangle’s base, along the x-axis, times the triangle’s height, along the force axis. (There are quotation marks around “area” because this base-height product has the units of work, rather than square meters.)

英語のヒント

ばねの仕事の積分式には、もう一つ興味深い点がある。この一次元の場合、力のする仕事と、変位に対する力のグラフの下の面積との対応がすぐに分かる。一般に一次元積分は、図7.8の細い帯の面積を表す微小量

f (x) d x

の和の極限である。ばねの仕事の積分式では、xに対する

F = − k x

のグラフは傾き

− k

の直線なので、線の下の「面積」は三角形の「面積」の代数的な組合せになる。図7.9のように、x軸より上を正、下を負とする。その大きさは、x軸に沿う底辺と力の軸に沿う高さの積の半分である。「面積」にかぎ括弧を付けたのは、底辺と高さの積の単位がm²ではなく、仕事の単位だからである。

一般の関数f(x)のグラフ。幅dxで、x軸から曲線まで伸びる細い縦帯を強調する。x1からx2までの曲線とx軸の間を塗り、帯の面積の和が全体の面積になることを示す。 — Figure 7.8図 7.8
A curve of *f(x)* versus x showing the area of an infinitesimal strip, *f(x)dx*, and the sum of such areas, which is the integral of *f(x)* from $x_{1}$ to $x_{2}$ .
英語のヒント
f(x)のグラフ上に微小な帯の面積f(x)dxと、その和を示す。和は $x_{1}$ から $x_{2}$ までのf(x)の積分である。

f(x)＝−kxのグラフは、原点を通る負の傾きの直線。−xAから原点まで、xが負でf(x)が正の三角形を赤く塗り、正の面積とする。原点から正のxAまでの三角形は薄灰色、xAからさらに右のxBまでの台形は濃灰色で、どちらも負の面積を示す。 — Figure 7.9図 7.9
Curve of the spring force $f (x) = − k x$ versus x, showing areas under the line, between $x_{A}$ and $x_{B}$ , for both positive and negative values of $x_{A}$ . When $x_{A}$ is negative, the total area under the curve for the integral in Equation 7.5 is the sum of positive and negative triangular areas. When $x_{A}$ is positive, the total area under the curve is the difference between two negative triangles.
英語のヒント
ばねの力 $f (x) = − k x$ とxのグラフ。 $x_{A}$ が正の場合と負の場合について、 $x_{A}$ から $x_{B}$ までの線の下の面積を示す。 $x_{A}$ が負なら、ばねの仕事の積分式の面積は、正と負の三角形の面積の和になる。 $x_{A}$ が正なら、二つの負の三角形の面積の差になる。

Example 7.5例題 7.5

Work Done by a Spring Forceばねの力がする仕事

A perfectly elastic spring requires 0.54 J of work to stretch 6 cm from its equilibrium position, as in Figure 7.7(b). (a) What is its spring constant k? (b) How much work is required to stretch it an additional 6 cm?

英語のヒント

図7.7(b)のように、完全弾性のばねをつり合いの位置から6 cm伸ばすには、0.54 Jの仕事が必要である。(a) ばね定数kはいくらか。(b) さらに6 cm伸ばすには、どれだけの仕事が必要か。

Strategy方針

Work “required” means work done against the spring force, which is the negative of the work in Equation 7.5, that is

英語のヒント

「必要な」仕事とは、ばねの力に逆らってする仕事であり、ばねの仕事の式の符号を逆にしたものになる。すなわち、

W = \frac{1}{2} k (x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) .

For part (a),

x_{A} = 0

and

x_{B} = 6 cm

; for part (b),

x_{A} = 6 cm

and

x_{B} = 12 cm

. In part (a), the work is given and you can solve for the spring constant; in part (b), you can use the value of k, from part (a), to solve for the work.

英語のヒント

(a)では

x_{A} = 0

、

x_{B} = 6 cm

、(b)では

x_{A} = 6 cm

、

x_{B} = 12 cm

である。(a)では仕事が与えられ、ばね定数を求められる。(b)ではそのkを使って仕事を求めればよい。

Solution解答

$W = 0.54 J = \frac{1}{2} k [{(6 cm)}^{2} - 0]$ , so $k = 3 N/cm .$
英語のヒント
$W = 0.54 J = \frac{1}{2} k [{(6 cm)}^{2} - 0]$ なので、 $k = 3 N/cm$ 。
$W = \frac{1}{2} (3 N/cm) [{(12 cm)}^{2} - {(6 cm)}^{2}] = 1.62 J .$

Significance考察

Since the work done by a spring force is independent of the path, you only needed to calculate the difference in the quantity

½ k x^{2}

at the end points. Notice that the work required to stretch the spring from 0 to 12 cm is four times that required to stretch it from 0 to 6 cm, because that work depends on the square of the amount of stretch from equilibrium,

½ k x^{2}

. In this circumstance, the work to stretch the spring from 0 to 12 cm is also equal to the work for a composite path from 0 to 6 cm followed by an additional stretch from 6 cm to 12 cm. Therefore,

4 W (0 cm to 6 cm) = W (0 cm to 6 cm) + W (6 cm to 12 cm)

, or

W (6 cm to 12 cm) = 3 W (0 cm to 6 cm)

, as we found above.

英語のヒント

ばねの仕事は経路によらないので、端点での

½ k x^{2}

の差を計算するだけでよかった。つり合いからの伸びの2乗

½ k x^{2}

に依存するため、0から12 cmまで伸ばす仕事は、0から6 cmまでの4倍になる。この場合、0から12 cmまで伸ばす仕事は、0から6 cmまでと、その後6 cmから12 cmまでを足したものに等しい。したがって

4 W (0 cm to 6 cm) = W (0 cm to 6 cm) + W (6 cm to 12 cm)

、すなわち

W (6 cm to 12 cm) = 3 W (0 cm to 6 cm)

となり、先の結果を得る。

The spring in Example 7.5 is compressed 6 cm from its equilibrium length. (a) Does the spring force do positive or negative work and (b) what is the magnitude?

英語のヒント

例題7.5のばねを、つり合いの長さから6 cm圧縮する。(a) ばねの力の仕事は正か負か。(b) 大きさはいくらか。

Solution解き方

a. The spring force is the opposite direction to a compression (as it is for an extension), so the work it does is negative. b. The work done depends on the square of the displacement, which is the same for

x = \pm 6 cm

, so the magnitude is 0.54 J.

英語のヒント

a. 伸ばす場合と同じく、ばねの力は圧縮する変位と逆向きなので、仕事は負である。b. 仕事は変位の2乗に依存し、

x = \pm 6 cm

で同じになるため、大きさは0.54 Jである。