第7章仕事と運動エネルギー

Summaryまとめ

Power is the rate of doing work; that is, the derivative of work with respect to time.
英語のヒント
仕事率は仕事をする速さ、すなわち仕事を時間で微分したものである。
Alternatively, the work done, during a time interval, is the integral of the power supplied over the time interval.
英語のヒント
逆に、ある時間間隔の間にされた仕事は、その間の仕事率の積分である。
The power delivered by a force, acting on a moving particle, is the dot product of the force and the particle’s velocity.
英語のヒント
動く粒子に働く力が供給する仕事率は、力と粒子の速度の内積である。

Key Equations重要な式

Work done by a force over an infinitesimal displacement 微小変位の間に力がする仕事	$d W = \vec{F} \cdot d \vec{r} = \| \vec{F} \| \| d \vec{r} \| cos θ$
Work done by a force acting along a path from A to B AからBへの経路に沿って働く力のする仕事	$W_{A B} = \int_{path A B} \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $W_{A B} = \int_{経路 A B} \vec{F} \cdot d \vec{r}$
Work done by a constant force of kinetic friction 一定の動摩擦力がする仕事	$W_{fr} = − f_{k} \| l_{A B} \|$ $W_{摩擦} = − f_{k} \| l_{A B} \|$
Work done going from A to B by Earth’s gravity, near its surface 地表付近をAからBへ動く間に、地球の重力がする仕事	$W_{grav, A B} = − m g (y_{B} - y_{A})$ $W_{重力, A B} = − m g (y_{B} - y_{A})$
Work done going from A to B by one-dimensional spring force AからBへ動く間に、1次元のばねの力がする仕事	$W_{spring, A B} = − (\frac{1}{2} k) (x_{B}^{2} - x_{A}^{2})$ $W_{ばね, A B} = − (\frac{1}{2} k) (x_{B}^{2} - x_{A}^{2})$
Kinetic energy of a non-relativistic particle 非相対論的な粒子の運動エネルギー	$K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{p^{2}}{2 m}$
Work-energy theorem 仕事とエネルギーの定理	$W_{net} = K_{B} - K_{A}$ $W_{正味} = K_{B} - K_{A}$
Power as rate of doing work 仕事をする速さとしての仕事率	$P = \frac{d W}{d t}$
Power as the dot product of force and velocity 力と速度の内積としての仕事率	$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 61–66練習問題 61–66

Exercise 61問題 61

Most electrical appliances are rated in watts. Does this rating depend on how long the appliance is on? (When off, it is a zero-watt device.) Explain in terms of the definition of power.

英語のヒント

電気器具の多くは、定格がワットで表示される。この値は、器具をどれだけ長く使っているかに依存するか。（電源を切っているときは0 Wの装置である。）仕事率の定義から説明せよ。

Solution解き方

Appliances are rated in terms of the energy consumed in a relatively small time interval. It does not matter how long the appliance is on, only the rate of change of energy per unit time.

英語のヒント

器具の定格は、比較的短い時間間隔で消費するエネルギーに基づく。使っている時間の長さではなく、単位時間当たりのエネルギーの変化率が問題になる。

Exercise 62問題 62

Explain, in terms of the definition of power, why energy consumption is sometimes listed in kilowatt-hours rather than joules. What is the relationship between these two energy units?

英語のヒント

エネルギー消費量が、ジュールではなくキロワット時で表示されることがあるのはなぜか、仕事率の定義から説明せよ。この二つのエネルギー単位の関係は何か。

Exercise 63問題 63

A spark of static electricity, such as that you might receive from a doorknob on a cold dry day, may carry a few hundred watts of power. Explain why you are not injured by such a spark.

英語のヒント

寒く乾いた日にドアノブから受けるような静電気の火花は、数百ワットの仕事率をもつことがある。このような火花でけがをしない理由を説明せよ。

Solution解き方

The spark occurs over a relatively short time span, thereby delivering a very low amount of energy to your body.

英語のヒント

火花が続く時間は比較的短いので、体へ渡されるエネルギー量は非常に少ない。

Exercise 64問題 64

Does the work done in lifting an object depend on how fast it is lifted? Does the power expended depend on how fast it is lifted?

英語のヒント

物体を持ち上げる仕事は、持ち上げる速さに依存するか。使われる仕事率は、持ち上げる速さに依存するか。

Exercise 65問題 65

Can the power expended by a force be negative?

英語のヒント

力による仕事率が負になることはあるか。

Solution解き方

If the force is antiparallel or points in an opposite direction to the velocity, the power expended can be negative.

英語のヒント

力が速度と逆平行、つまり速度と反対向きなら、仕事率は負になりうる。

Exercise 66問題 66

How can a 50-W light bulb use more energy than a 1000-W oven?

英語のヒント

50 Wの電球が1000 Wのオーブンより多くのエネルギーを使うことは、どうすれば起こるか。

Problems問題

Exercises 67–83練習問題 67–83

Exercise 67問題 67

A person in good physical condition can put out 100 W of useful power for several hours at a stretch, perhaps by pedaling a mechanism that drives an electric generator. Neglecting any problems of generator efficiency and practical considerations such as resting time: (a) How many people would it take to run a 4.00-kW electric clothes dryer? (b) How many people would it take to replace a large electric power plant that generates 800 MW?

英語のヒント

体調のよい人なら、発電機を回す装置のペダルをこぐなどして、数時間続けて100 Wの有用な出力を出せる。発電機の効率や休憩時間などの実際上の問題を無視すると、(a) 4.00 kWの電気衣類乾燥機を動かすには何人必要か。(b) 800 MWを発電する大規模な発電所を置き換えるには何人必要か。

Solution解き方

a. 40; b. 8 million

英語のヒント

a. 40人、b. 800万人。

Exercise 68問題 68

What is the cost of operating a 3.00-W electric clock for a year if the cost of electricity is $0.0900 per

kW \cdot h

英語のヒント

電気料金が

kW \cdot h

当たり0.0900ドルのとき、3.00 Wの電気時計を1年間動かす費用はいくらか。

Exercise 69問題 69

A large household air conditioner may consume 15.0 kW of power. What is the cost of operating this air conditioner 3.00 h per day for 30.0 d if the cost of electricity is $0.110 per

kW \cdot h

英語のヒント

大型の家庭用エアコンは、15.0 kWを消費することがある。電気料金が

kW \cdot h

当たり0.110ドルなら、このエアコンを1日3.00 h、30.0日間動かす費用はいくらか。

Solution解き方

$149

149ドル

Exercise 70問題 70

(a) What is the average power consumption in watts of an appliance that uses 5.00

kW \cdot h

of energy per day? (b) How many joules of energy does this appliance consume in a year?

英語のヒント

(a) 1日に5.00

kW \cdot h

のエネルギーを使う器具の平均消費電力は何Wか。(b) この器具が1年間に消費するエネルギーは何Jか。

Exercise 71問題 71

(a) What is the average useful power output of a person who does

6.00 \times 10^{6} J

of useful work in 8.00 h? (b) Working at this rate, how long will it take this person to lift 2000 kg of bricks 1.50 m to a platform? (Work done to lift his body can be omitted because it is not considered useful output here.)

英語のヒント

(a) 8.00 hで

6.00 \times 10^{6} J

の有用な仕事をする人の、平均の有用な出力はいくらか。(b) この仕事率で働くと、2000 kgのれんがを1.50 m持ち上げて台に載せるのに何秒かかるか。（自身の体を持ち上げる仕事は、ここでは有用な出力に数えないので省略できる。）

Solution解き方

a. 208 W; b. 141 s

a. 208 W、b. 141 s

Exercise 72問題 72

A 500-kg dragster accelerates from rest to a final speed of 110 m/s in 400 m (about a quarter of a mile) and encounters an average frictional force of 1200 N. What is its average power output in watts and horsepower if this takes 7.30 s?

英語のヒント

質量500 kgのドラッグレース用車両が、静止状態から400 m（約4分の1マイル）で速さ110 m/sまで加速し、平均1200 Nの摩擦力を受ける。所要時間が7.30 sなら、平均出力をワットと馬力で求めよ。

Exercise 73問題 73

(a) How long will it take an 850-kg car with a useful power output of 40.0 hp (1 hp equals 746 W) to reach a speed of 15.0 m/s, neglecting friction? (b) How long will this acceleration take if the car also climbs a 3.00-m high hill in the process?

英語のヒント

(a) 有用な出力40.0 hp（1 hp＝746 W）、質量850 kgの車が、摩擦を無視して速さ15.0 m/sに達するまでに何秒かかるか。(b) その過程で高さ3.00 mの丘も上るなら、この加速に何秒かかるか。

Solution解き方

a. 3.20 s; b. 4.04 s

a. 3.20 s、b. 4.04 s

Exercise 74問題 74

(a) Find the useful power output of an elevator motor that lifts a 2500-kg load a height of 35.0 m in 12.0 s, if it also increases the speed from rest to 4.00 m/s. Note that the total mass of the counterbalanced system is 10,000 kg—so that only 2500 kg is raised in height, but the full 10,000 kg is accelerated. (b) What does it cost, if electricity is $0.0900 per

kW \cdot h

英語のヒント

(a) 2500 kgの荷を12.0 sで35.0 m持ち上げ、同時に静止状態から4.00 m/sへ加速するエレベーターのモーターの有用な出力を求めよ。釣り合いおもりを含む系の総質量は10,000 kgである。したがって、正味で2500 kgを持ち上げるが、加速するのは10,000 kg全体である。(b) 電気料金が

kW \cdot h

当たり0.0900ドルなら、費用はいくらか。

Exercise 75問題 75

(a) How long would it take a

1.50 \times 10^{5} -kg

airplane with engines that produce 100 MW of power to reach a speed of 250 m/s and an altitude of 12.0 km if air resistance were negligible? (b) If it actually takes 900 s, what is the power? (c) Given this power, what is the average force of air resistance if the airplane takes 1200 s? (Hint: You must find the distance the plane travels in 1200 s assuming constant acceleration.)

英語のヒント

(a) 質量

1.50 \times 10^{5} -kg

の飛行機が、出力100 MWのエンジンで、空気抵抗を無視して速さ250 m/s、高度12.0 kmに達するには何秒かかるか。(b) 実際には900 sかかるとき、仕事率はいくらか。(c) この仕事率で飛行機が1200 sかかるなら、平均の空気抵抗力はいくらか。（ヒント：等加速度を仮定して、1200 sの間に進む距離を求める必要がある。）

Solution解き方

a. 224 s; b. 24.8 MW; c. 49.7 kN

a. 224 s、b. 24.8 MW、c. 49.7 kN

Exercise 76問題 76

Calculate the power output needed for a 950-kg car to climb a

2.00 °

slope at a constant 30.0 m/s while encountering wind resistance and friction totaling 600 N.

英語のヒント

質量950 kgの車が、合計600 Nの空気抵抗と摩擦を受けながら、傾斜角

2.00 °

の坂を一定の速さ30.0 m/sで上るために必要な出力を求めよ。

Exercise 77問題 77

A man of mass 80 kg runs up a flight of stairs 20 m high in 10 s. (a) how much power is used to lift the man? (b) If the man’s body is 25% efficient, how much power does he expend?

英語のヒント

質量80 kgの男性が、高さ20 mの階段を10 sで駆け上がる。(a) 男性を持ち上げるための仕事率はいくらか。(b) 体の効率が25%なら、男性はどれだけの仕事率を費やすか。

Solution解き方

a. 1.57 kW; b. 6.28 kW

a. 1.57 kW、b. 6.28 kW

Exercise 78問題 78

The man of the preceding problem consumes approximately

1.05 \times 10^{7} J

(2500 food calories) of energy per day in maintaining a constant weight. What is the average power he produces over a day? Compare this with his power production when he runs up the stairs.

英語のヒント

前の問題の男性は、体重を一定に保つため、1日に約

1.05 \times 10^{7} J

（食品表示で2500カロリー）のエネルギーを消費する。1日を通じて生み出す平均の仕事率はいくらか。階段を駆け上がるときの仕事率と比較せよ。

Exercise 79問題 79

An electron in a television tube is accelerated uniformly from rest to a speed of

8.4 \times 10^{7} m/s

over a distance of 2.5 cm. What is the power delivered to the electron at the instant that its displacement is 1.0 cm?

英語のヒント

テレビのブラウン管内の電子が、2.5 cmの距離で静止状態から

8.4 \times 10^{7} m/s

まで一様に加速される。変位が1.0 cmとなる瞬間に、電子へ供給される仕事率はいくらか。

Solution解き方

6.83 μW

Exercise 80問題 80

Coal is lifted out of a mine a vertical distance of 50 m by an engine that supplies 500 W to a conveyor belt. How much coal per minute can be brought to the surface? Ignore the effects of friction.

英語のヒント

ベルトコンベヤーに500 Wを供給するエンジンが、炭鉱から石炭を鉛直に50 m持ち上げる。1分間にどれだけの石炭を地表へ運べるか。摩擦の影響は無視せよ。

Exercise 81問題 81

A girl pulls her 15-kg wagon along a flat sidewalk by applying a 10-N force at

37 °

to the horizontal. Assume that friction is negligible and that the wagon starts from rest. (a) How much work does the girl do on the wagon in the first 2.0 s. (b) How much instantaneous power does she exert at

t = 2.0 s

英語のヒント

少女が、水平面となす角

37 °

の向きに10 Nの力を加え、質量15 kgのワゴンを平らな歩道に沿って引く。摩擦は無視でき、ワゴンは静止状態から動き始めるとする。(a) 最初の2.0 sの間に、少女はワゴンにどれだけの仕事をするか。(b)

t = 2.0 s

での瞬間仕事率はいくらか。

Solution解き方

a. 8.51 J; b. 8.51 W

a. 8.51 J、b. 8.51 W

Exercise 82問題 82

A typical automobile engine has an efficiency of 25%. Suppose that the engine of a 1000-kg automobile has a maximum power output of 140 hp. What is the maximum grade that the automobile can climb at 50 km/h if the frictional retarding force on it is 300 N?

英語のヒント

一般的な自動車エンジンの効率は25%である。質量1000 kgの自動車のエンジンの最大出力が140 hpだとする。運動を妨げる摩擦力が300 Nなら、50 km/hで上れる最大勾配はいくらか。

Exercise 83問題 83

When jogging at 13 km/h on a level surface, a 70-kg man uses energy at a rate of approximately 850 W. Using the facts that the “human engine” is approximately 25% efficient, determine the rate at which this man uses energy when jogging up a

5.0 °

slope at this same speed. Assume that the frictional retarding force is the same in both cases.

英語のヒント

質量70 kgの男性が水平面を13 km/hでジョギングすると、約850 Wでエネルギーを使う。「人体というエンジン」の効率を約25%として、同じ速さで傾斜角

5.0 °

の坂を上るときのエネルギー消費率を求めよ。運動を妨げる摩擦力は両方で同じとする。

Solution解き方

1.7 kW