第7章仕事と運動エネルギー

Summaryまとめ

• The infinitesimal increment of work done by a force, acting over an infinitesimal displacement, is the dot product of the force and the displacement.

  英語のヒント

  微小変位の間に力がする仕事の微小増分は、力と変位の内積である。
• The work done by a force, acting over a finite path, is the integral of the infinitesimal increments of work done along the path.

  英語のヒント

  有限の経路に沿って力がする仕事は、その経路上の微小な仕事の増分を積分したものである。
• The work done against a force is the negative of the work done by the force.

  英語のヒント

  力に逆らってする仕事は、その力がする仕事の符号を逆にしたものである。
• The work done by a normal or frictional contact force must be determined in each particular case.

  英語のヒント

  垂直抗力や摩擦などの接触力の仕事は、個々の場合ごとに判断しなければならない。
• The work done by the force of gravity, on an object near the surface of Earth, depends only on the weight of the object and the difference in height through which it moved.

  英語のヒント

  地表近くの物体に重力がする仕事は、重さと移動前後の高さの差だけで決まる。
• The work done by a spring force, acting from an initial position to a final position, depends only on the spring constant and the squares of those positions.

  英語のヒント

  初期位置から最終位置までにばねの力がする仕事は、ばね定数と、それらの位置の2乗だけで決まる。

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 1–7練習問題 1–7

Exercise 1問題 1

Give an example of something we think of as work in everyday circumstances that is not work in the scientific sense. Is energy transferred or changed in form in your example? If so, explain how this is accomplished without doing work.

英語のヒント

日常では仕事と考えるが、科学的な意味では仕事ではない例を挙げよ。その例では、エネルギーの移動や形態の変化は起こるか。起こるなら、仕事をせずにどう実現するか説明せよ。

Solution解き方

When you push on the wall, this “feels” like work; however, there is no displacement so there is no physical work. Energy is consumed, but no energy is transferred.

英語のヒント

壁を押すと、仕事をしたように「感じる」。しかし変位がないので、物理的な仕事はない。エネルギーは消費されるが、移動してはいない。

Exercise 2問題 2

Give an example of a situation in which there is a force and a displacement, but the force does no work. Explain why it does no work.

英語のヒント

力も変位もあるが、その力が仕事をしない状況を挙げ、理由を説明せよ。

Exercise 3問題 3

Describe a situation in which a force is exerted for a long time but does no work. Explain.

英語のヒント

長時間力を及ぼすが仕事はしない状況を挙げ、説明せよ。

Solution解き方

If you continue to push on a wall without breaking through the wall, you continue to exert a force with no displacement, so no work is done.

英語のヒント

壁を突き破らずに押し続ければ、変位のないまま力を及ぼし続けるので、仕事はしない。

Exercise 4問題 4

A body moves in a circle at constant speed. Does the centripetal force that accelerates the body do any work? Explain.

英語のヒント

物体が一定の速さで円を動く。加速させる向心力は仕事をするか。説明せよ。

Exercise 5問題 5

Suppose you throw a ball upward and catch it when it returns at the same height. How much work does the gravitational force do on the ball over its entire trip?

英語のヒント

球を上へ投げ、同じ高さに戻ったときにつかむ。往復全体で、重力が球にする仕事はいくらか。

Solution解き方

The total displacement of the ball is zero, so no work is done.

英語のヒント

球の全変位は0なので、仕事はしない。

Exercise 6問題 6

Why is it more difficult to do sit-ups while on a slant board than on a horizontal surface? (See below.)

英語のヒント

水平面より傾斜板の上のほうが、腹筋運動をするのが難しいのはなぜか。下図を参照せよ。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 7問題 7

As a young man, Tarzan climbed up a vine to reach his tree house. As he got older, he decided to build and use a staircase instead. Since the work of the gravitational force mg is path independent, what did the King of the Apes gain in using stairs?

英語のヒント

若いターザンは、つるを登って木の上の家へ行っていた。年を取ると、階段を作って使うことにした。重力mgの仕事は経路によらないのに、階段を使うことで「類人猿の王」は何を得たのか。

Solution解き方

Both require the same gravitational work, but the stairs allow Tarzan to take this work over a longer time interval and hence gradually exert his energy, rather than dramatically by climbing a vine.

英語のヒント

必要な重力に関する仕事は同じだが、階段なら長い時間をかけられる。つるを登って急にエネルギーを使う代わりに、少しずつ使える。

Problems問題

Exercises 8–28練習問題 8–28

Exercise 8問題 8

How much work does a supermarket checkout attendant do on a can of soup he pushes 0.600 m horizontally with a force of 5.00 N?

英語のヒント

スーパーのレジ係が、スープ缶を5.00 Nの力で水平に0.600 m押す。缶にする仕事はいくらか。

Solution解き方

3.00 J

Exercise 9問題 9

A 75.0-kg person climbs stairs, gaining 2.50 m in height. Find the work done to accomplish this task.

英語のヒント

質量75.0 kgの人が階段を上り、高さが2.50 m増す。そのためにした仕事を求めよ。

Exercise 10問題 10

(a) Calculate the work done on a 1500-kg elevator car by its cable to lift it 40.0 m at constant speed, assuming friction averages 100 N. (b) What is the work done on the elevator car by the gravitational force in this process? (c) What is the total work done on the elevator car?

英語のヒント

(a) 質量1500 kgのエレベーターを、平均100 Nの摩擦に逆らい、一定の速さで40.0 m持ち上げる。ケーブルがエレベーターにする仕事を求めよ。(b) この間に重力がする仕事はいくらか。(c) エレベーターにされた仕事の合計はいくらか。

Solution解き方

a. 592 kJ; b. –588 kJ; c. 0 J

a. 592 kJ、b. −588 kJ、c. 0 J

Exercise 11問題 11

Suppose a car travels 108 km at a speed of 30.0 m/s, and uses 2.0 gal of gasoline. Only 30% of the gasoline goes into useful work by the force that keeps the car moving at constant speed despite friction. (The energy content of gasoline is about 140 MJ/gal.) (a) What is the magnitude of the force exerted to keep the car moving at constant speed? (b) If the required force is directly proportional to speed, how many gallons will be used to drive 108 km at a speed of 28.0 m/s?

英語のヒント

車が30.0 m/sで108 km走り、ガソリンを2.0 gal使う。摩擦があっても一定の速さを保つ力の有用な仕事になるのは、ガソリンのエネルギーの30%だけである。ガソリンのエネルギーは約140 MJ/galである。(a) 一定の速さを保つための力の大きさはいくらか。(b) 必要な力が速さに正比例するなら、28.0 m/sで108 km走るのに何ガロン使うか。

Exercise 12問題 12

An 85.0-kg man who pushes a crate 4.00 m up along a ramp that makes an angle of $20.0\text{°}$ with the horizontal (see below). He exerts a force of 500 N on the crate parallel to the ramp and moves at a constant speed. Find the total work done on the crate and the man.

英語のヒント

質量85.0 kgの男性が、水平と$20.0\text{°}$の角をなす斜面に沿って木箱を4.00 m押し上げる（下図）。箱に斜面に平行な500 Nの力を及ぼし、一定の速さで進む。木箱と男性にされた仕事の合計を求めよ。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

3.14 kJ

Exercise 13問題 13

How much work is done by the boy pulling his sister 30.0 m in a wagon as shown below?

英語のヒント

下図のように、少年が妹を乗せたワゴンを30.0 m引く。少年のする仕事はいくらか。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 14問題 14

A shopper pushes a grocery cart 20.0 m at constant speed on level ground, against a 35.0 N frictional force. He pushes in a direction $25.0\text{°}$ below the horizontal. (a) What is the work done on the cart by friction? (b) What is the work done on the cart by the gravitational force? (c) What is the work done on the cart by the shopper? (d) Find the force the shopper exerts, using energy considerations. (e) What is the total work done on the cart?

英語のヒント

買い物客が水平な地面で、35.0 Nの摩擦に逆らってカートを一定の速さで20.0 m押す。押す向きは水平より$25.0\text{°}$下向きである。(a) 摩擦のする仕事、(b) 重力のする仕事、(c) 買い物客のする仕事を求めよ。(d) エネルギーを考えて、押す力を求めよ。(e) カートにされた仕事の合計はいくらか。

Solution解き方

a. –700 J; b. 0 J; c. 700 J; d. 38.6 N; e. 0 J

a. −700 J、b. 0 J、c. 700 J、d. 38.6 N、e. 0 J

Exercise 15問題 15

Suppose the ski patrol lowers a rescue sled and victim, having a total mass of 90.0 kg, down a $60.0\text{°}$ slope at constant speed, as shown below. The coefficient of friction between the sled and the snow is 0.100. (a) How much work is done by friction as the sled moves 30.0 m along the hill? (b) How much work is done by the rope on the sled in this distance? (c) What is the work done by the gravitational force on the sled? (d) What is the total work done?

英語のヒント

スキーパトロールが、救助される人と合わせて質量90.0 kgのそりを、下図のように$60.0\text{°}$の斜面で一定の速さで下ろす。そりと雪の摩擦係数は0.100である。(a) 斜面に沿って30.0 m進む間の摩擦の仕事はいくらか。(b) 同じ距離でロープがする仕事、(c) 重力がする仕事、(d) 仕事の合計を求めよ。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 16問題 16

A constant 20-N force pushes a small ball in the direction of the force over a distance of 5.0 m. What is the work done by the force?

英語のヒント

一定の20 Nの力で、小球を力と同じ向きに5.0 m動かす。力のする仕事はいくらか。

Solution解き方

100 J

Exercise 17問題 17

A toy cart is pulled a distance of 6.0 m in a straight line across the floor. The force pulling the cart has a magnitude of 20 N and is directed at $37\text{°}$ above the horizontal. What is the work done by this force?

英語のヒント

おもちゃの台車を、床の上で一直線に6.0 m引く。力の大きさは20 N、向きは水平より$37\text{°}$上向きである。この力のする仕事はいくらか。

Exercise 18問題 18

A 5.0-kg box rests on a horizontal surface. The coefficient of kinetic friction between the box and surface is ${\mu }_K=0.50.$ A horizontal force pulls the box at constant velocity for 10 cm. Find the work done by (a) the applied horizontal force, (b) the frictional force, and (c) the net force.

英語のヒント

質量5.0 kgの箱が水平面上にあり、動摩擦係数は${\mu }_K=0.50$である。水平な力で一定の速度を保って10 cm引く。(a) 加えた水平な力、(b) 摩擦力、(c) 合力がする仕事を求めよ。

Solution解き方

a. 2.45 J; b. – 2.45 J; c. 0 J

a. 2.45 J、b. −2.45 J、c. 0 J

Exercise 19問題 19

A sled plus passenger with total mass 50 kg is pulled 20 m across the snow $({\mu }_k=0.20)$ at constant velocity by a force directed $25\text{°}$ above the horizontal. Calculate (a) the work of the applied force, (b) the work of friction, and (c) the total work.

英語のヒント

乗客と合わせて質量50 kgのそりを、水平より$25\text{°}$上向きの力で、雪上$({\mu }_k=0.20)$を一定の速度で20 m引く。(a) 加えた力の仕事、(b) 摩擦の仕事、(c) 仕事の合計を求めよ。

Exercise 20問題 20

Suppose that the sled plus passenger of the preceding problem is pushed 20 m across the snow at constant velocity by a force directed $30\text{°}$ below the horizontal. Calculate (a) the work of the applied force, (b) the work of friction, and (c) the total work.

英語のヒント

前問のそりと乗客を、今度は水平より$30\text{°}$下向きの力で押し、一定の速度で雪上を20 m進ませる。(a) 加えた力の仕事、(b) 摩擦の仕事、(c) 仕事の合計を求めよ。

Solution解き方

a. 2.22 kJ; b. −2.22 kJ; c. 0 J

a. 2.22 kJ、b. −2.22 kJ、c. 0 J

Exercise 21問題 21

How much work does the force $F(x)=(\mathrm{-2.0}\text{/}x)\text{N}$ do on a particle as it moves from $x=2.0\text{m}$ to $x=5.0\text{m?}$

英語のヒント

粒子が$x=2.0\text{m}$から$x=5.0\text{m}$へ動くとき、力$F(x)=(\mathrm{-2.0}\text{/}x)\text{N}$がする仕事はいくらか。

Exercise 22問題 22

How much work is done against the gravitational force on a 5.0-kg briefcase when it is carried from the ground floor to the roof of the Empire State Building, a vertical climb of 380 m?

英語のヒント

5.0 kgの書類かばんを、エンパイア・ステート・ビルの地上階から屋上まで、鉛直に380 m運ぶ。重力に逆らってする仕事はいくらか。

Solution解き方

18.6 kJ

Exercise 23問題 23

It takes 500 J of work to compress a spring 10 cm. What is the force constant of the spring?

英語のヒント

ばねを10 cm縮めるのに500 Jの仕事を要する。このばねのばね定数はいくらか。

Exercise 24問題 24

A bungee cord is essentially a very long rubber band that can stretch up to four times its unstretched length. However, its spring constant varies over its stretch [see Menz, P.G. “The Physics of Bungee Jumping.” The Physics Teacher (November 1993) 31: 483-487]. Take the length of the cord to be along the x-direction and define the stretch x as the length of the cord l minus its un-stretched length $l_0;$ that is, $x=l-l_0$ (see below). Suppose a particular bungee cord has a spring constant, for $0\le x\le 4.88\text{m}$, of $k_1=204\text{N/m}$ and for $x\ge 4.88\text{m}$, of $k_2=111\text{N/m}\text{.}$ (Recall that the spring constant is the slope of the force F(x) versus its stretch x.) (a) What is the tension in the cord when the stretch is 16.7 m (the maximum desired for a given jump)? (b) How much work must be done against the elastic force of the bungee cord to stretch it 16.7 m?

英語のヒント

バンジーコードは、基本的には非常に長いゴムひもで、伸びていない長さの4倍まで伸びる。しかし、ばね定数は伸びに応じて変わる［Menz, P.G., “The Physics of Bungee Jumping,” The Physics Teacher, 1993年11月, 31: 483–487参照］。コードの長さの方向をx方向とし、伸びxを、コードの長さlから自然長$l_0;$を引いた値、すなわち$x=l-l_0$と定義する（下図）。あるバンジーコードのばね定数が、$0\le x\le 4.88\text{m}$では$k_1=204\text{N/m}$、$x\ge 4.88\text{m}$では$k_2=111\text{N/m}$だとする。ばね定数は、力F(x)を伸びxに対して描いたグラフの傾きであることを思い出そう。(a) 伸びが16.7 m（このジャンプで許容する最大の伸び）のとき、コードの張力はいくらか。(b) このコードを16.7 m伸ばすには、弾性力に逆らっていくらの仕事をする必要があるか。

Image omitted because its reuse rights could not be verified.権利の確認ができないため画像を割愛。

Solution解き方

a. 2.32 kN; b. 22.0 kJ

a. 2.32 kN、b. 22.0 kJ

Exercise 25問題 25

A bungee cord exerts a nonlinear elastic force of magnitude $F(x)=k_{1}x+k_2{x}^3,$ where x is the distance the cord is stretched, $k_1=204\text{N/m}$ and $k_2=\mathrm{-0.233}{\text{N/m}}^3.$ How much work must be done on the cord to stretch it 16.7 m?

英語のヒント

バンジーコードが及ぼす非線形の弾性力の大きさは$F(x)=k_{1}x+k_2{x}^3$である。ここでxはコードの伸びで、$k_1=204\text{N/m}$、$k_2=\mathrm{-0.233}{\text{N/m}}^3$である。このコードを16.7 m伸ばすには、コードにいくらの仕事をしなければならないか。

Exercise 26問題 26

Engineers desire to model the magnitude of the elastic force of a bungee cord using the equation
$F(x)=a\left[\frac{x+9\text{m}}{9\text{m}}-{\left(\frac{9\text{m}}{x+9\text{m}}\right)}^2\right]$,
where x is the stretch of the cord along its length and a is a constant. If it takes 22.0 kJ of work to stretch the cord by 16.7 m, determine the value of the constant a.

英語のヒント

技術者が、バンジーコードの弾性力の大きさを式$F(x)=a\left[\frac{x+9\text{m}}{9\text{m}}-{\left(\frac{9\text{m}}{x+9\text{m}}\right)}^2\right]$でモデル化しようとしている。xはコードの長さ方向の伸び、aは定数である。コードを16.7 m伸ばすのに22.0 kJの仕事を要するなら、定数aの値を求めよ。

Solution解き方

835 N

Exercise 27問題 27

A particle moving in the xy-plane is subject to a force
$\overrightarrow{F}(x,y)=(50\text{N}/\text{m})(x\widehat{i}+\frac{y^2}{3\text{m}}\widehat{j})$
where x and y are in meters. Calculate the work done on the particle by this force, as it moves in a straight line from the point (3 m, 4 m) to the point (6 m, 8 m).

英語のヒント

xy平面内を動く粒子に、力$\overrightarrow{F}(x,y)=(50\text{N}/\text{m})(x\widehat{i}+\frac{y^2}{3\text{m}}\widehat{j})$が働く。xとyの単位はmである。粒子が点(3 m, 4 m)から点(6 m, 8 m)へ直線に沿って動くとき、この力が粒子にする仕事を求めよ。

Exercise 28問題 28

A particle moves along a curved path $y(x)=(10\text{m})\{1+\text{cos}[(0.1{\text{m}}^{\mathrm{-1}})x]\},$ from $x=0$ to $x=10\pi \text{m,}$ subject to a tangential force of variable magnitude $F(x)=(10\text{N})\text{sin}[(0.1{\text{m}}^{\mathrm{-1}})x].$ How much work does the force do? (Hint: Consult a table of integrals or use a numerical integration program.)

英語のヒント

粒子が曲線$y(x)=(10\text{m})\{1+\text{cos}[(0.1{\text{m}}^{\mathrm{-1}})x]\}$に沿って$x=0$から$x=10\pi \text{m}$まで動き、大きさが$F(x)=(10\text{N})\text{sin}[(0.1{\text{m}}^{\mathrm{-1}})x]$と変化する接線方向の力を受ける。この力はどれだけの仕事をするか。（ヒント：積分表を調べるか、数値積分プログラムを使う。）

Solution解き方

257 J