第11章角運動量

Summaryまとめ

• In rolling motion without slipping, a static friction force is present between the rolling object and the surface. The relations $v_{\text{CM}}=R\omega ,a_{\text{CM}}=R\alpha ,\text{and}{d}_{\text{CM}}=R\theta$ all apply, such that the linear velocity, acceleration, and distance of the center of mass are the angular variables multiplied by the radius of the object.

  英語のヒント

  滑らない転がりでは、転がる物体と面の間に静止摩擦力が働く。$v_{\text{CM}}=R\omega ,a_{\text{CM}}=R\alpha ,\text{と}{d}_{\text{CM}}=R\theta$がすべて成り立つ。つまり、質量中心の直線速度、加速度、移動距離は、それぞれ対応する角運動の量に半径を掛けたものとなる。
• In rolling motion with slipping, a kinetic friction force arises between the rolling object and the surface. In this case, $v_{\text{CM}}\ne R\omega ,a_{\text{CM}}\ne R\alpha ,\text{and}{d}_{\text{CM}}\ne R\theta$.

  英語のヒント

  滑りを伴う転がりでは、物体と面の間に動摩擦力が生じる。この場合、$v_{\text{CM}}\ne R\omega ,a_{\text{CM}}\ne R\alpha ,\text{と}{d}_{\text{CM}}\ne R\theta$となる。
• Energy conservation can be used to analyze rolling motion. Energy is conserved in rolling motion without slipping. Energy is not conserved in rolling motion with slipping due to the heat generated by kinetic friction.

  英語のヒント

  転がり運動はエネルギー保存を使って解析できる。滑らない転がりではエネルギーが保存される。滑りを伴う場合は、動摩擦によって熱が生じるため、エネルギーは保存されない。

Conceptual Questions概念に関する問題

Problems問題

Exercises 6–20練習問題 6–20

Exercise 6問題 6

What is the angular velocity of a 75.0-cm-diameter tire on an automobile traveling at 90.0 km/h?

英語のヒント

90.0 km/hで進む自動車の、直径75.0 cmのタイヤの角速度はいくらか。

Solution解き方

$v_{\text{CM}}=R\omega \Rightarrow \omega =66.7\text{rad/s}$

Exercise 7問題 7

A boy rides his bicycle 2.00 km. The wheels have radius 30.0 cm. What is the total angle the tires rotate through during his trip?

英語のヒント

少年が自転車で2.00 km走る。車輪の半径は30.0 cmである。この間にタイヤが回転した角度の合計はいくらか。

Exercise 8問題 8

If the boy on the bicycle in the preceding problem accelerates from rest to a speed of 10.0 m/s in 10.0 s, what is the angular acceleration of the tires?

英語のヒント

前問の少年が、静止状態から10.0 sで10.0 m/sへ加速するとき、タイヤの角加速度はいくらか。

Solution解き方

$\alpha =3.3\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$

Exercise 9問題 9

Formula One race cars have 66-cm-diameter tires. If a Formula One averages a speed of 300 km/h during a race, what is the angular displacement in revolutions of the wheels if the race car maintains this speed for 1.5 hours?

英語のヒント

F1レーシングカーのタイヤの直径は66 cmである。レース中の平均の速さが300 km/hで、この速さを1.5時間保ったなら、車輪の角変位は何回転に相当するか。

Exercise 10問題 10

A marble rolls down an incline at $30\text{°}$ from rest. (a) What is its acceleration? (b) How far does it go in 3.0 s?

英語のヒント

ビー玉が、静止状態から$30\text{°}$の斜面を転がり下りる。(a) 加速度はいくらか。(b) 3.0 sでどれだけ進むか。

Solution解き方

$I_{\text{CM}}=\frac{2}{5}m{r}^2,a_{\text{CM}}=3.5\text{m}\text{/}{\text{s}}^2;x=15.75\text{m}$

Exercise 11問題 11

Repeat the preceding problem replacing the marble with a solid cylinder. Explain the new result.

英語のヒント

ビー玉を中実円柱に置き換えて前問を解き直し、新たな結果を説明せよ。

Exercise 12問題 12

A rigid body with a cylindrical cross-section is released from the top of a $30\text{°}$ incline. It rolls 10.0 m to the bottom in 2.60 s. Find the moment of inertia of the body in terms of its mass m and radius r.

英語のヒント

円筒形の断面を持つ剛体を、$30\text{°}$の斜面の上端から放す。剛体は10.0 mを転がり、2.60 sで下端に着く。慣性モーメントを、質量mと半径rで表せ。

Solution解き方

positive is down the incline plane;
$a_{\text{CM}}=\frac{mg\text{sin}\theta }{m+(I_{\text{CM}}\text{/}{r}^2)}\Rightarrow I_{\text{CM}}=r^2\left[\frac{mg\text{sin}30}{a_{\text{CM}}}-m\right]$,
$x-x_0=v_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{\text{CM}}{t}^2\Rightarrow a_{\text{CM}}=2.96{\text{m/s}}^2,$
$I_{\text{CM}}=0.66m{r}^2$

英語のヒント

斜面の下向きを正とすると、$a_{\text{CM}}=\frac{mg\text{sin}\theta }{m+(I_{\text{CM}}\text{/}{r}^2)}\Rightarrow I_{\text{CM}}=r^2\left[\frac{mg\text{sin}30}{a_{\text{CM}}}-m\right]$、$x-x_0=v_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{\text{CM}}{t}^2\Rightarrow a_{\text{CM}}=2.96{\text{m/s}}^2$、$I_{\text{CM}}=0.66m{r}^2$となる。

Exercise 13問題 13

A yo-yo can be thought of a solid cylinder of mass m and radius r that has a light string wrapped around its circumference (see below). One end of the string is held fixed in space. If the cylinder falls as the string unwinds without slipping, what is the acceleration of the cylinder?

英語のヒント

ヨーヨーは、質量m、半径rの中実円柱の円周に軽い糸を巻いたものと考えられる（下図）。糸の一端を空間に固定する。糸が滑らずにほどけながら円柱が落ちるとき、円柱の加速度はいくらか。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 14問題 14

A solid cylinder of radius 10.0 cm rolls down an incline with slipping. The angle of the incline is $30\text{°}.$ The coefficient of kinetic friction on the surface is 0.400. What is the angular acceleration of the solid cylinder? What is the linear acceleration?

英語のヒント

半径10.0 cmの中実円柱が、滑りながら斜面を転がり下りる。斜面の角度は$30\text{°}$、面の動摩擦係数は0.400である。円柱の角加速度はいくらか。直線加速度はいくらか。

Solution解き方

$\alpha =67.9\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$,
${(a_{\text{CM}})}_x=1.5\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$

$\alpha =67.9\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$、${(a_{\text{CM}})}_x=1.5\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$

Exercise 15問題 15

A bowling ball rolls up a ramp 0.5 m high without slipping to storage. It has an initial velocity of its center of mass of 3.0 m/s. (a) What is its velocity at the top of the ramp? (b) If the ramp is 1 m high does it make it to the top?

英語のヒント

ボウリングの球を片付けるため、高さ0.5 mの傾斜路を滑らずに転がり上がらせる。初めの質量中心の速度は3.0 m/sである。(a) 傾斜路の上端での速度はいくらか。(b) 傾斜路の高さが1 mなら、上端まで到達するか。

Exercise 16問題 16

A 40.0-kg solid cylinder is rolling across a horizontal surface at a speed of 6.0 m/s. How much work is required to stop it?

英語のヒント

質量40.0 kgの中実円柱が、水平面上を6.0 m/sの速さで転がっている。止めるにはどれだけの仕事が必要か。

Solution解き方

$W=\mathrm{-1080.0}\text{J}$

Exercise 17問題 17

A 40.0-kg solid sphere is rolling across a horizontal surface with a speed of 6.0 m/s. How much work is required to stop it? Compare results with the preceding problem.

英語のヒント

質量40.0 kgの中実球が、水平面上を6.0 m/sの速さで転がっている。止めるにはどれだけの仕事が必要か。前問の結果と比較せよ。

Exercise 18問題 18

A solid cylinder rolls up an incline at an angle of $20\text{°}.$ If it starts at the bottom with a speed of 10 m/s, how far up the incline does it travel?

英語のヒント

中実円柱が、角度$20\text{°}$の斜面を転がり上がる。下端での速さが10 m/sなら、斜面に沿ってどこまで進むか。

Solution解き方

Mechanical energy at the bottom equals mechanical energy at the top;
$\frac{1}{2}m{v}_0^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}m{r}^2\right){\left(\frac{v_0}{r}\right)}^2=mgh\Rightarrow h=\frac{1}{g}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)v_0^2$,
$h=7.7\text{m,}$ so the distance up the incline is $22.5\text{m}$.

英語のヒント

下端での力学的エネルギーは、到達した最高点での力学的エネルギーに等しい。$\frac{1}{2}m{v}_0^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}m{r}^2\right){\left(\frac{v_0}{r}\right)}^2=mgh\Rightarrow h=\frac{1}{g}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)v_0^2$、$h=7.7\text{m}$となるので、斜面に沿って進む距離は$22.5\text{m}$である。

Exercise 19問題 19

A solid cylindrical wheel of mass M and radius R is pulled by a force $\overrightarrow{F}$ applied to the center of the wheel at $37\text{°}$ to the horizontal (see the following figure). If the wheel is to roll without slipping, what is the maximum value of $\left|\overrightarrow{F}\right|?$ The coefficients of static and kinetic friction are ${\mu }_{\text{S}}=0.40\text{and}{\mu }_{\text{k}}=0.30.$

英語のヒント

質量M、半径Rの中実円柱形の車輪を、中心に加えた力$\overrightarrow{F}$で引く。力は水平となす角$37\text{°}$の方向に働く（下図）。車輪が滑らずに転がるための$\left|\overrightarrow{F}\right|$の最大値はいくらか。静止摩擦係数と動摩擦係数は${\mu }_{\text{S}}=0.40\text{と}{\mu }_{\text{k}}=0.30$である。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 20問題 20

A hollow cylinder that is rolling without slipping is given an initial velocity and rolls up an incline to a vertical height of 1.0 m. If a hollow sphere of the same mass and radius is given the same initial velocity, how high vertically does it roll up the incline?

英語のヒント

中空円柱に初速度を与えると、滑らずに斜面を転がり上がり、鉛直方向に1.0 mの高さに達した。同じ質量、同じ半径の中空球に同じ初速度を与えると、鉛直方向にどれだけの高さまで上がるか。

Solution解き方

Use energy conservation
$\frac{1}{2}m{v}_0^2+\frac{1}{2}{I}_{\text{Cyl}}{\omega }_0^2=mg{h}_{\text{Cyl}}$,
$\frac{1}{2}m{v}_0^2+\frac{1}{2}{I}_{\text{Sph}}{\omega }_0^2=mg{h}_{\text{Sph}}$.
Subtracting the two equations, eliminating the initial translational energy, we have
$h_{\mathrm{Cyl}}=\frac{v_0^2}{g}$,
$h_{\mathrm{Sph}}=\frac{5v_0^2}{6g}$,
The ratio of the height reached by the sphere to the height reached by the cylinder is $\frac{h_{\text{Sph}}}{h_{\text{Cyl}}}=\frac{5}{6}.$
So the sphere reaches a lower height of $\frac{5}{6}\left(1.0\text{m}\right)=0.83\text{m.}$

英語のヒント

エネルギー保存を使うと、$\frac{1}{2}m{v}_0^2+\frac{1}{2}{I}_{\text{Cyl}}{\omega }_0^2=mg{h}_{\text{Cyl}}$、$\frac{1}{2}m{v}_0^2+\frac{1}{2}{I}_{\text{Sph}}{\omega }_0^2=mg{h}_{\text{Sph}}$となる。二つの式の差を取り、初めの並進の運動エネルギーを消去すると、$h_{\mathrm{Cyl}}=\frac{v_0^2}{g}$、$h_{\mathrm{Sph}}=\frac{5v_0^2}{6g}$を得る。円柱が達する高さに対する球が達する高さの比は$\frac{h_{\text{Sph}}}{h_{\text{Cyl}}}=\frac{5}{6}$なので、球が達する高さは$\frac{5}{6}\left(1.0\text{m}\right)=0.83\text{m}$となり、円柱より低い。