第11章角運動量

11.4 Precession of a Gyroscope11.4　ジャイロスコープの歳差運動

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Describe the physical processes underlying the phenomenon of precession
英語のヒント
歳差運動という現象の基になる物理過程を説明する。
Calculate the precessional angular velocity of a gyroscope
英語のヒント
ジャイロスコープの歳差の角速度を計算する。

Figure 11.19 shows a gyroscope, defined as a spinning disk in which the axis of rotation is free to assume any orientation. When spinning, the orientation of the spin axis is unaffected by the orientation of the body that encloses it. The body or vehicle enclosing the gyroscope can be moved from place to place and the orientation of the spin axis will remain the same. This makes gyroscopes very useful in navigation, especially where magnetic compasses can’t be used, such as in piloted and unpiloted spacecrafts, intercontinental ballistic missiles, unmanned aerial vehicles, and satellites like the Hubble Space Telescope.

英語のヒント

図11.19はジャイロスコープを示す。これは、回転軸が任意の向きを自由に取れる、回転する円盤である。回転中は、周囲の装置の向きを変えても軸の向きは影響を受けない。ジャイロスコープを収めた装置や乗り物を移動させても、軸の向きは同じに保たれる。このため、ジャイロスコープは航法に非常に役立つ。特に、有人・無人宇宙機、大陸間弾道ミサイル、無人航空機、ハッブル宇宙望遠鏡などの人工衛星のように、磁気コンパスを使えない場面で有用である。

中心を通り円盤面に垂直な軸で、円盤が回転するジャイロスコープ。二つの輪が周囲を囲む。一つは円盤の上下で軸につながり、もう一つは最初の輪につながって、円盤と同じ平面で同心円状に配置される。 — Figure 11.19図 11.19
A gyroscope consists of a spinning disk about an axis that is free to assume any orientation.
英語のヒント
ジャイロスコープは、任意の向きを自由に取れる軸の周りを回転する円盤からなる。

We illustrate the precession of a gyroscope with an example of a top in the next two figures. If the top is placed on a flat surface near the surface of Earth at an angle to the vertical and is not spinning, it will fall over, due to the force of gravity producing a torque acting on its center of mass. This is shown in Figure 11.20(a). However, if the top is spinning on its axis, rather than topple over due to this torque, it precesses about the vertical, shown in part (b) of the figure. This is due to the torque on the center of mass, which provides the change in angular momentum.

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次の二つの図で、こまを例にジャイロスコープの歳差運動を説明する。地表近くの平らな面に、こまを鉛直から傾けて置く。回っていなければ、質量中心に働く重力がトルクを生み、図11.20(a)のように倒れる。しかし軸の周りを回っていれば、このトルクで倒れる代わりに、図(b)のように鉛直軸の周りを歳差運動する。質量中心に働く力によるトルクが、角運動量を変化させるためである。

(a) xは紙面の手前、yは右、zは上を向く座標系で、原点はO。こまの先端をOに置き、軸OO′を鉛直なz軸から傾ける。rはOから質量中心CMへ向かい、CMに下向きのMgが働く。Oの周りのトルクはr×Mgで、xy平面内にありrに垂直である。(b) 同じように傾いたこまが、OO′の周りを上から見て反時計回りに高速回転する。歳差運動はz軸を中心に上から見て反時計回りの円を描き、軸が描く円錐が破線で示される。 — Figure 11.20図 11.20
(a) If the top is not spinning, there is a torque $\vec{r} \times M \vec{g}$ about the origin, and the top falls over. (b) If the top is spinning about its axis $O O^{'},$ it doesn’t fall over but precesses about the z-axis.
英語のヒント
(a) こまが回っていなければ、原点の周りにトルク $\vec{r} \times M \vec{g}$ が働き、こまは倒れる。(b) 軸 $O O^{'}$ の周りを回っていれば、倒れずにz軸の周りを歳差運動する。

Figure 11.21 shows the forces acting on a spinning top. The torque produced is perpendicular to the angular momentum vector. This changes the direction of the angular momentum vector

\vec{L}

according to

d \vec{L} = \vec{τ} d t,

but not its magnitude. The top precesses around a vertical axis, since the torque is always horizontal and perpendicular to

\vec{L}

. If the top is not spinning, it acquires angular momentum in the direction of the torque, and it rotates around a horizontal axis, falling over just as we would expect.

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図11.21は、回るこまに働く力を示す。生じるトルクは角運動量ベクトルに垂直である。そのため、

d \vec{L} = \vec{τ} d t

に従って角運動量ベクトル

\vec{L}

の向きが変わるが、大きさは変わらない。トルクは常に水平で

\vec{L}

に垂直なので、こまは鉛直軸の周りを歳差運動する。こまが回っていなければ、トルクの方向に角運動量を得て、予想どおり水平軸の周りを回転して倒れる。

xは紙面の手前、yは右、zは上を向き、原点はO。こまの先端がOにあり、軸はz軸から図の右へ角θだけ傾く。rはOから質量中心CMへ向かい、CMに下向きのMgが働く。トルクτ=r×Mgはxy平面内でrに垂直な、紙面の奥向きである。こまは上から見て反時計回りの角速度ωで回り、角運動量Lはrと同方向、こまの軸に沿う上向きである。歳差運動の円がこまの上に水平に描かれ、角速度ω_pは上から見て反時計回りとなる。円の半径はL sinθで、接線方向のdLは紙面の奥を向きτdtに等しい。L sinθとdLを辺に持つ三角形で、dLに対する角がdφである。 — Figure 11.21図 11.21
The force of gravity acting on the center of mass produces a torque $\vec{τ}$ in the direction perpendicular to $\vec{L} .$ The magnitude of $\vec{L}$ doesn’t change but its direction does, and the top precesses about the z-axis.
英語のヒント
質量中心に働く重力が、 $\vec{L}$ に垂直な方向のトルク $\vec{τ}$ を生む。 $\vec{L}$ の大きさは変わらず、向きが変わるため、こまはz軸の周りを歳差運動する。

We can experience this phenomenon first hand by holding a spinning bicycle wheel and trying to rotate it about an axis perpendicular to the spin axis. As shown in Figure 11.22, the person applies forces perpendicular to the spin axis in an attempt to rotate the wheel, but instead, the wheel axis starts to change direction to her left due to the applied torque.

英語のヒント

回転する自転車の車輪を持ち、回転軸に垂直な軸の周りへ回そうとすると、この現象を直接体験できる。図11.22では、車輪を回そうとして軸に垂直な力を加えるが、加えたトルクによって、車輪の軸はその人の左へ向きを変え始める。

(a) こちらを向いた女性が、回転する半径rの自転車の車輪を車軸で支える。角速度ωと角運動量Lは車軸に沿い、女性の左、見る側の右を向く。車輪の下部は女性の方、紙面の奥へ動く。左手の力Fは下向き、右手の力は上向きで、トルクτは女性の方、紙面の奥へ向かう。(b) ベクトルLと、τに平行なΔLの和を示す。合成ベクトルはL+ΔLで、歳差の角速度ω_pは上から見て反時計回りである。 — Figure 11.22図 11.22
(a) A person holding the spinning bike wheel lifts it with her right hand and pushes down with her left hand in an attempt to rotate the wheel. This action creates a torque directly toward her. This torque causes a change in angular momentum $Δ \vec{L}$ in exactly the same direction. (b) A vector diagram depicting how $Δ \vec{L} and \vec{L}$ add, producing a new angular momentum pointing more toward the person. The wheel moves toward the person, perpendicular to the forces she exerts on it.
英語のヒント
(a) 回転する車輪を持つ人が、車輪を回そうとして右手で持ち上げ、左手で押し下げる。この動作は、その人へ向かうトルクを生み、まったく同じ向きの角運動量の変化 $Δ \vec{L}$ を生じさせる。(b) $Δ \vec{L} と \vec{L}$ を加え、新しい角運動量がよりその人の方を向く様子を示すベクトル図。車輪は、加えた力に垂直な向き、その人の方へ動く。

We all know how easy it is for a bicycle to tip over when sitting on it at rest. But when riding the bicycle at a good pace, tipping it over involves changing the angular momentum vector of the spinning wheels.

英語のヒント

止まった自転車にまたがると、簡単に倒れそうになることはよく知られている。しかし、十分な速さで走る自転車を傾けるには、回っている車輪の角運動量ベクトルを変えなければならない。

Additional Resources追加教材

Also, when a spinning disk is put in a box such as a Blu-Ray player, try to move it. It is easy to translate the box in a given direction but difficult to rotate it about an axis perpendicular to the axis of the spinning disk, since we are putting a torque on the box that will cause the angular momentum vector of the spinning disk to precess.

英語のヒント

回転するディスクを収めたブルーレイプレーヤーなどの箱も、動かしてみよう。箱をある方向へ並進させるのは容易だが、ディスクの回転軸に垂直な軸の周りへ回すのは難しい。箱に加えるトルクによって、ディスクの角運動量ベクトルが歳差運動するためである。

We can calculate the precession rate of the top in Figure 11.21. From Figure 11.21, we see that the magnitude of the torque is

英語のヒント

図11.21のこまの歳差の速さを計算しよう。この図から、トルクの大きさは次式で与えられる。

τ = r M g sin θ .

Thus,

英語のヒント

よって、

d L = r M g sin θ d t .

The angle the top precesses through in time dt is

英語のヒント

時間dtの間にこまが歳差運動で進む角度は、次のようになる。

d ϕ = \frac{d L}{L sin θ} = \frac{r M g sin θ}{L sin θ} d t = \frac{r M g}{L} d t .

The precession angular velocity is

ω_{P} = \frac{d ϕ}{d t}

and from this equation we see that

英語のヒント

歳差の角速度は

ω_{P} = \frac{d ϕ}{d t}

なので、この式から次の関係が分かる。

ω_{P} = \frac{r M g}{L} . or, since L = I ω,

ω_{P} = \frac{r M g}{L} . また、 L = I ω

であるため、

In this derivation, we assumed that

ω_{P} ≪ ω,

that is, that the precession angular velocity is much less than the angular velocity of the gyroscope disk. The precession angular velocity adds a small component to the angular momentum along the z-axis. This is seen in a slight bob up and down as the gyroscope precesses, referred to as nutation.

英語のヒント

この導出では、

ω_{P} ≪ ω

、すなわち歳差の角速度がジャイロスコープの円盤の角速度より十分小さいと仮定した。歳差の角速度は、角運動量にz軸方向の小さな成分を加える。これは、歳差運動中にジャイロスコープがわずかに上下へ揺れる動きとして現れ、章動と呼ばれる。

Earth itself acts like a gigantic gyroscope. Its angular momentum is along its axis and currently points at Polaris, the North Star. But Earth is slowly precessing (once in about 26,000 years) due to the torque of the Sun and the Moon on its nonspherical shape.

英語のヒント

地球そのものも、巨大なジャイロスコープとして働く。角運動量は自転軸に沿い、現在は北極星ポラリスを指す。しかし地球は球形からずれているため、太陽と月によるトルクを受け、約26,000年に1回というゆっくりした歳差運動をしている。

Example 11.10例題 11.10

Period of Precession歳差の周期

A gyroscope spins with its tip on the ground and is spinning with negligible frictional resistance. The disk of the gyroscope has mass 0.3 kg and is spinning at 20 rev/s. Its center of mass is 5.0 cm from the pivot and the radius of the disk is 5.0 cm. What is the precessional period of the gyroscope?

英語のヒント

ジャイロスコープが先端を地面に置き、摩擦抵抗を無視できる状態で回る。円盤の質量は0.3 kg、回転数は20 rev/sである。質量中心は支点から5.0 cmにあり、円盤の半径も5.0 cmである。歳差の周期はいくらか。

Strategy方針

We use Equation 11.12 to find the precessional angular velocity of the gyroscope. This allows us to find the period of precession.

英語のヒント

歳差の角速度の式で、ジャイロスコープの歳差の角速度を求める。そこから歳差の周期を求められる。

Solution解答

The moment of inertia of the disk is

英語のヒント

円盤の慣性モーメントは、次の値である。

I = \frac{1}{2} m r^{2} = \frac{1}{2} (0.30 kg) (0.05 {m)}^{2} = 3.75 \times 10^{−4} kg \cdot m^{2} .

The angular velocity of the disk is

英語のヒント

円盤の角速度は、次の値である。

20.0 rev / s = 20.0 (2 π) rad / s = 125.66 rad / s .

We can now substitute in Equation 11.12. The precessional angular velocity is

英語のヒント

歳差の角速度の式に代入する。歳差の角速度は次のようになる。

ω_{P} = \frac{r M g}{I ω} = \frac{(0.05 m) (0.3 kg) (9.8 m / s^{2})}{(3.75 \times 10^{−4} kg \cdot m^{2}) (125.66 rad / s)} = 3.12 rad / s .

The precessional period of the gyroscope is

英語のヒント

ジャイロスコープの歳差の周期は、次の値である。

T_{P} = \frac{2 π}{3.12 rad / s} = 2.0 s .

Significance考察

The precessional angular frequency of the gyroscope, 3.12 rad/s, or about 0.5 rev/s, is much less than the angular velocity 20 rev/s of the gyroscope disk. Therefore, we don’t expect a large component of the angular momentum to arise due to precession, and Equation 11.12 is a good approximation of the precessional angular velocity.

英語のヒント

ジャイロスコープの歳差の角振動数は3.12 rad/s、約0.5 rev/sであり、円盤の角速度20 rev/sより十分小さい。したがって、歳差によって大きな角運動量成分が生じるとは考えられず、歳差の角速度の式はよい近似となる。

A top has a precession frequency of 5.0 rad/s on Earth. What is its precession frequency on the Moon?

英語のヒント

地球上で歳差の角振動数が5.0 rad/sのこまは、月面でどれだけの歳差の角振動数を持つか。

Solution解き方

The Moon’s gravity is 1/6 that of Earth’s. By examining Equation 11.12, we see that the top’s precession frequency is linearly proportional to the acceleration of gravity. All other quantities, mass, moment of inertia, and spin rate are the same on the Moon. Thus, the precession frequency on the Moon is

ω_{P} (Moon) = \frac{1}{6} ω_{P} (Earth) = \frac{1}{6} (5.0 rad / s) = 0.83 rad / s .

英語のヒント

月の重力は地球の1/6である。歳差の角速度の式を見ると、こまの歳差の角振動数は重力加速度に比例する。他の量、すなわち質量、慣性モーメント、回転数は月でも同じである。したがって、月での歳差の角振動数は

ω_{P} （月） = \frac{1}{6} ω_{P} （地球） = \frac{1}{6} (5.0 rad / s) = 0.83 rad / s

となる。

第11章角運動量

11.4 Precession of a Gyroscope11.4 ジャイロスコープの歳差運動

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Period of Precession歳差の周期

Strategy方針

Solution解答

Significance考察

11.4 Precession of a Gyroscope11.4　ジャイロスコープの歳差運動