第11章角運動量

Challenge Problems発展問題

Exercises 95–98練習問題 95–98

Exercise 95問題 95

The truck shown below is initially at rest with solid cylindrical roll of paper sitting on its bed. If the truck moves forward with a uniform acceleration a, what distance s does it move before the paper rolls off its back end? (Hint: If the roll accelerates forward with

a^{'}

, then is accelerates backward relative to the truck with an acceleration

a - a^{'}

. Also,

R α = a - a^{'}

英語のヒント

下図のトラックは初め静止し、荷台に中実円柱状の紙のロールを載せている。一定の加速度aで前進するとき、紙が荷台の後端から転がり落ちるまでに、トラックが進む距離sはいくらか。（ヒント：ロールが前向きに

a^{'}

で加速するなら、トラックに対しては後ろ向きに

a - a^{'}

で加速する。また、

R α = a - a^{'}

である。）

水平な道路を加速度aで前進する平ボディのトラック。荷台の後端から距離dの位置に円柱が載っている。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

Assume the roll accelerates forward with respect to the ground with an acceleration

a^{'}

. Then it accelerates backwards relative to the truck with an acceleration

(a - a^{'})

英語のヒント

ロールが地面に対して前向きに加速度

a^{'}

で動くとする。すると、トラックに対しては後ろ向きに加速度

(a - a^{'})

で動く。

水平面上の半径R、慣性モーメント(1/2)mR²の円柱。中心を原点とし、xの正を右、yの正を上とする。中心に下向きのmgが働く。面との接点には、上向きのNと右向きのf_sが働く。

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Also,

R α = a - a^{'} I = \frac{1}{2} m R^{2} \sum F_{x} = f_{s} = m a^{'}

\sum τ = f_{s} R = I α = I \frac{a - a^{'}}{R} f_{s} = \frac{I}{R^{2}} (a - a^{'}) = \frac{1}{2} m (a - a^{'})

,
Solving for

a^{'}

f_{s} = \frac{1}{2} m (a - a^{'})

;

a^{'} = \frac{a}{3}

x - x_{0} = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}; d = \frac{1}{3} a t^{2}; t = \sqrt{\frac{3 d}{a}};

therefore,

s = 1.5 d

英語のヒント

また、

R α = a - a^{'} I = \frac{1}{2} m R^{2} \sum F_{x} = f_{s} = m a^{'}

、

\sum τ = f_{s} R = I α = I \frac{a - a^{'}}{R} f_{s} = \frac{I}{R^{2}} (a - a^{'}) = \frac{1}{2} m (a - a^{'})

である。

a^{'}

について解くと、

f_{s} = \frac{1}{2} m (a - a^{'})

、

a^{'} = \frac{a}{3}

を得る。さらに

x - x_{0} = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}; d = \frac{1}{3} a t^{2}; t = \sqrt{\frac{3 d}{a}};

より、

s = 1.5 d

となる。

Exercise 96問題 96

A bowling ball of radius 8.5 cm is tossed onto a bowling lane with speed 9.0 m/s. The direction of the toss is to the left, as viewed by the observer, so the bowling ball starts to rotate counterclockwise when in contact with the floor. The coefficient of kinetic friction on the lane is 0.3. (a) What is the time required for the ball to come to the point where it is not slipping? What is the distance d to the point where the ball is rolling without slipping?

英語のヒント

半径8.5 cmのボウリングの球を、9.0 m/sでレーンに投げ入れる。観測者から見て左へ投げるので、床に触れると反時計回りに回転し始める。レーンとの動摩擦係数は0.3である。(a) 球が滑らなくなるまでの時間はいくらか。滑らずに転がるようになる点までの距離dはいくらか。

Exercise 97問題 97

A small ball of mass 0.50 kg is attached by a massless string to a vertical rod that is spinning as shown below. When the rod has an angular velocity of 6.0 rad/s, the string makes an angle of

30 °

with respect to the vertical. (a) If the angular velocity is increased to 10.0 rad/s, what is the new angle of the string? (b) Calculate the initial and final angular momenta of the ball. (c) Can the rod spin fast enough so that the ball is horizontal?

英語のヒント

質量0.50 kgの小球を、質量のない糸で、下図のように回転する鉛直な棒につなぐ。棒の角速度が6.0 rad/sのとき、糸は鉛直となす角

30 °

を持つ。(a) 角速度を10.0 rad/sへ増やすと、糸の角度はいくらになるか。(b) 小球の初めと最後の角運動量を計算せよ。(c) 小球が水平になるほど速く棒を回せるか。

鉛直な棒が自分の軸の周りを回る。棒の上端に糸の一端が付き、他端に球がある。糸は棒から斜め下へ伸びる。

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Solution解き方

a. The tension in the string provides the centripetal force such that

T sin θ = m r_{⊥} ω^{2}

. The component of the tension that is vertical opposes the gravitational force such that

T cos θ = m g

. This gives

T = 5.7 N

. We solve for

r_{⊥} = 0.16 m

. This gives the length of the string as

r = 0.32 m

.
At

ω = 10.0 rad / s

, there is a new angle, tension, and perpendicular radius to the rod. Dividing the two equations involving the tension to eliminate it, we have

\frac{sin θ}{cos θ} = \frac{(0.32 m sin θ) ω^{2}}{g} \Rightarrow \frac{1}{cos θ} = \frac{0.32 m ω^{2}}{g}

;

cos θ = 0.31 \Rightarrow θ = 72.2 °

; b.

l_{initial} = 0.08 kg \cdot m^{2} / s

l_{final} = 0.46 kg \cdot m^{2} / s

; c. No, the cosine of the angle is inversely proportional to the square of the angular velocity, therefore in order for

θ \to 90 °, ω \to \infty

. The rod would have to spin infinitely fast.

英語のヒント

(a) 糸の張力が向心力を与えるので、

T sin θ = m r_{⊥} ω^{2}

となる。張力の鉛直成分は重力とつり合うので、

T cos θ = m g

である。これより

T = 5.7 N

を得る。

r_{⊥} = 0.16 m

と求まり、糸の長さは

r = 0.32 m

となる。

ω = 10.0 rad / s

では、角度、張力、棒からの垂直な半径が変わる。張力を含む二つの式の比を取り、張力を消去すると、

\frac{sin θ}{cos θ} = \frac{(0.32 m sin θ) ω^{2}}{g} \Rightarrow \frac{1}{cos θ} = \frac{0.32 m ω^{2}}{g}

、

cos θ = 0.31 \Rightarrow θ = 72.2 °

となる。(b)

l_{initial} = 0.08 kg \cdot m^{2} / s

、

l_{final} = 0.46 kg \cdot m^{2} / s

。(c) できない。角度の余弦は角速度の2乗に反比例するので、

θ \to 90 °, ω \to \infty

となる。棒を無限に速く回転させる必要がある。

Exercise 98問題 98

A bug flying horizontally at 1.0 m/s collides and sticks to the end of a uniform stick hanging vertically. After the impact, the stick swings out to a maximum angle of

5.0 °

from the vertical before rotating back. If the mass of the stick is 10 times that of the bug, calculate the length of the stick.

英語のヒント

1.0 m/sで水平に飛ぶ虫が、鉛直につるした一様な棒の端に衝突して付着する。衝突後、棒は鉛直から最大角

5.0 °

まで振れ、戻る。棒の質量が虫の10倍なら、棒の長さを計算せよ。

precession

歳差運動

circular motion of the pole of the axis of a spinning object around another axis due to a torque

英語のヒント

トルクによって、回転する物体の軸の先端が別の軸の周りを円運動すること。