第11章角運動量

Summaryまとめ

When a gyroscope is set on a pivot near the surface of Earth, it precesses around a vertical axis, since the torque is always horizontal and perpendicular to $\vec{L} .$ If the gyroscope is not spinning, it acquires angular momentum in the direction of the torque, and it rotates about a horizontal axis, falling over just as we would expect.
英語のヒント
ジャイロスコープを地表近くの支点に置くと、トルクが常に水平で $\vec{L}$ に垂直なので、鉛直軸の周りを歳差運動する。回転していなければ、トルクの方向に角運動量を得て、予想どおり水平軸の周りを回って倒れる。
The precessional angular velocity is given by $ω_{P} = \frac{r M g}{I ω}$ , where r is the distance from the pivot to the center of mass of the gyroscope, I is the moment of inertia of the gyroscope’s spinning disk, M is its mass, and $ω$ is the angular frequency of the gyroscope disk.
英語のヒント
歳差の角速度は $ω_{P} = \frac{r M g}{I ω}$ で与えられる。rは支点から質量中心までの距離、Iは回転する円盤の慣性モーメント、Mはその質量、 $ω$ は円盤の角振動数である。

Key Equations重要な式

Velocity of center of mass of rolling object 転がる物体の質量中心の速度	$v_{CM} = R ω$
Acceleration of center of mass of rolling object 転がる物体の質量中心の加速度	$a_{CM} = R α$
Displacement of center of mass of rolling object 転がる物体の質量中心の変位	$d_{CM} = R θ$
Acceleration of an object rolling without slipping 滑らずに転がる物体の加速度	$a_{CM} = \frac{m g sin θ}{m + (I_{CM} / r^{2})}$
Angular momentum 角運動量	$\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$
Derivative of angular momentum equals torque 角運動量の微分はトルクに等しい	$\frac{d \vec{l}}{d t} = \sum \vec{τ}$
Angular momentum of a system of particles 粒子の系の角運動量	$\vec{L} = {\vec{l}}_{1} + {\vec{l}}_{2} + \dots + {\vec{l}}_{N}$
For a system of particles, derivative of angular momentum equals torque 粒子の系では、角運動量の微分がトルクに等しい	$\frac{d \vec{L}}{d t} = \sum \vec{τ}$
Angular momentum of a rotating rigid body 回転する剛体の角運動量	$L = I ω$
Conservation of angular momentum 角運動量保存	$\frac{d \vec{L}}{d t} = 0$
Conservation of angular momentum 角運動量保存	$\vec{L} = {\vec{l}}_{1} + {\vec{l}}_{2} + \dots + {\vec{l}}_{N} = constant$ $\vec{L} = {\vec{l}}_{1} + {\vec{l}}_{2} + \dots + {\vec{l}}_{N} = 一定$
Precessional angular velocity 歳差の角速度	$ω_{P} = \frac{r M g}{I ω}$

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 73–74練習問題 73–74

Exercise 73問題 73

Gyroscopes used in guidance systems to indicate directions in space must have an angular momentum that does not change in direction. When placed in the vehicle, they are put in a compartment that is separated from the main fuselage, such that changes in the orientation of the fuselage does not affect the orientation of the gyroscope. If the space vehicle is subjected to large forces and accelerations how can the direction of the gyroscopes angular momentum be constant at all times?

英語のヒント

誘導装置で空間内の方向を示すジャイロスコープは、向きの変わらない角運動量を持たなければならない。機体に取り付けるときは、胴体の向きの変化がジャイロスコープに影響しないよう、胴体から分離された区画に収める。宇宙機が大きな力や加速度を受けても、ジャイロスコープの角運動量の向きを常に一定に保てるのはなぜか。

Solution解き方

A torque is needed in the direction perpendicular to the angular momentum vector in order to change its direction. These forces on the space vehicle are external to the container in which the gyroscope is mounted and do not impart torques to the gyroscope’s rotating disk.

英語のヒント

角運動量ベクトルの向きを変えるには、それに垂直な方向のトルクが必要である。宇宙機に働くこれらの力は、ジャイロスコープを収めた容器の外部に働くため、回転する円盤にトルクを与えない。

Exercise 74問題 74

Earth precesses about its vertical axis with a period of 26,000 years. Discuss whether Equation 11.12 can be used to calculate the precessional angular velocity of Earth.

英語のヒント

地球は26,000年の周期で鉛直軸の周りを歳差運動する。歳差の角速度の式を用いて、地球の歳差の角速度を計算できるかを論じよ。

Problems問題

Exercises 75–77練習問題 75–77

Exercise 75問題 75

A gyroscope has a 0.5-kg disk that spins at 40 rev/s. The center of mass of the disk is 15 cm from a pivot with a radius of the disk of 10 cm. What is the precession angular velocity?

英語のヒント

ジャイロスコープの質量0.5 kgの円盤が、40 rev/sで回る。円盤の質量中心は支点から15 cmにあり、半径は10 cmである。歳差の角速度はいくらか。

Solution解き方

I = 2.5 \times 10^{−3} kg \cdot m^{2}

ω_{P} = 1.17 rad / s

Exercise 76問題 76

The precession angular velocity of a gyroscope is 1.0 rad/s. If the mass of the rotating disk is 0.4 kg and its radius is 30 cm, and the distance from the center of mass to the pivot is 40 cm, what is the rotation rate in rev/s of the disk?

英語のヒント

ジャイロスコープの歳差の角速度は1.0 rad/sである。回転する円盤の質量が0.4 kg、半径が30 cm、質量中心から支点までの距離が40 cmなら、円盤の回転数は何rev/sか。

Exercise 77問題 77

The axis of Earth makes a

23.5 °

angle with a direction perpendicular to the plane of Earth’s orbit. As shown below, this axis precesses, making one complete rotation in 25,780 y.

英語のヒント

地球の自転軸は、公転軌道面に垂直な方向と

23.5 °

の角をなす。下図のように、この軸は25,780年で1周する歳差運動を行う。

(a) Calculate the change in angular momentum in half this time.

英語のヒント

(a) この時間の半分で生じる角運動量の変化を計算せよ。

(b) What is the average torque producing this change in angular momentum?

英語のヒント

(b) この角運動量の変化を生む平均トルクはいくらか。

(c) If this torque were created by a pair of forces acting at the most effective point on the equator, what would the magnitude of each force be?

英語のヒント

地球の図で、公転軌道面を赤道位置の水平線として示す。南北の自転軸は鉛直から23.5度傾く。地球の中心から伸びるLとL′は、それぞれ鉛直から23.5度傾き、Lは北極を通る。両ベクトルの先端に、上から見て反時計回りの円が示される。その直径に沿って左を向く角運動量変化ΔLが描かれる。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

L_{Earth} = 7.06 × 10^{33} kg \cdot m^{2} / s

Δ L = 5.63 × 10^{33} kg \cdot m^{2} / s

;
b.

τ = 1.4 × 10^{22} N \cdot m

;
c. The two forces at the equator would have the same magnitude but different directions, one in the north direction and the other in the south direction on the opposite side of Earth. The angle between the forces and the lever arms to the center of Earth is

90 °

, so a given torque would have magnitude

τ = F R_{E} sin 90 ° = F R_{E}

. Both would provide a torque in the same direction:

τ = 2 F R_{E} \Rightarrow F = 1.1 × 10^{15} N

英語のヒント

(a)

L_{Earth} = 7.06 × 10^{33} kg \cdot m^{2} / s

、

Δ L = 5.63 × 10^{33} kg \cdot m^{2} / s

。(b)

τ = 1.4 × 10^{22} N \cdot m

。(c) 赤道の反対側にある二つの力は、等しい大きさで、一方が北向き、他方が南向きに働く。力と地球の中心への腕のなす角は

90 °

なので、一つの力によるトルクの大きさは

τ = F R_{E} sin 90 ° = F R_{E}

となる。両者は同じ向きのトルクを生むため、

τ = 2 F R_{E} \Rightarrow F = 1.1 × 10^{15} N

である。

Additional Problems追加問題

Exercises 78–94練習問題 78–94

Exercise 78問題 78

A marble is rolling across the floor at a speed of 7.0 m/s when it starts up a plane inclined at

30 °

to the horizontal. (a) How far along the plane does the marble travel before coming to a rest? (b) How much time elapses while the marble moves up the plane?

英語のヒント

床を7.0 m/sで転がるビー玉が、水平となす角

30 °

の斜面を上がり始める。(a) 止まるまでに斜面に沿ってどれだけ進むか。(b) 斜面を上がる間にどれだけの時間が経過するか。

Exercise 79問題 79

Repeat the preceding problem replacing the marble with a hollow sphere. Explain the new results.

英語のヒント

前問のビー玉を中空球に置き換えて、もう一度解け。新しい結果を説明せよ。

Solution解き方

a_{CM} = - \frac{3}{10} g

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a_{CM} x \Rightarrow v^{2} = (7.0 m / {s)}^{2} - 2 (\frac{3}{10} g) x,

v^{2} = 0 \Rightarrow x = 8.34 m;

t = \frac{v - v_{0}}{a_{CM}},

v = v_{0} + a_{CM} t \Rightarrow t = 2.38 s

;
The hollow sphere has a larger moment of inertia, and therefore is harder to bring to a rest than the marble, or solid sphere. The distance travelled is larger and the time elapsed is longer.

英語のヒント

(a)

a_{CM} = - \frac{3}{10} g

、

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a_{CM} x \Rightarrow v^{2} = (7.0 m / {s)}^{2} - 2 (\frac{3}{10} g) x

、

v^{2} = 0 \Rightarrow x = 8.34 m;

。(b)

t = \frac{v - v_{0}}{a_{CM}}

、

v = v_{0} + a_{CM} t \Rightarrow t = 2.38 s

。中空球は慣性モーメントが大きいため、ビー玉、すなわち中実球より止まりにくい。進む距離は長く、経過する時間も長くなる。

Exercise 80問題 80

The mass of a hoop of radius 1.0 m is 6.0 kg. It rolls across a horizontal surface with a speed of 10.0 m/s. (a) How much work is required to stop the hoop? (b) If the hoop starts up a surface at

30 °

to the horizontal with a speed of 10.0 m/s, how far along the incline will it travel before stopping and rolling back down?

英語のヒント

半径1.0 m、質量6.0 kgの輪が、水平面上を10.0 m/sで転がる。(a) 輪を止めるために必要な仕事はいくらか。(b) 輪が10.0 m/sで、水平となす角

30 °

の斜面を上がり始めると、止まって転がり戻るまでに、斜面に沿ってどれだけ進むか。

Exercise 81問題 81

Repeat the preceding problem for a hollow sphere of the same radius and mass and initial speed. Explain the differences in the results.

英語のヒント

前問を、半径、質量、初速が同じ中空球について解き直せ。結果の違いを説明せよ。

Solution解き方

W = −500.0 J

;
b.

K + U_{grav} = constant

500 J + 0 = 0 + (6.0 kg) (9.8 m / s^{2}) h

h = 8.5 m, d = 17.0 m

;
The moment of inertia is less for the hollow sphere, therefore less work is required to stop it. Likewise it rolls up the incline a shorter distance than the hoop.

英語のヒント

(a)

W = −500.0 J

。(b)

K + U_{grav} = 一定

より、

500 J + 0 = 0 + (6.0 kg) (9.8 m / s^{2}) h

、

h = 8.5 m, d = 17.0 m

となる。中空球の方が慣性モーメントが小さいので、止めるのに必要な仕事も少ない。同様に、斜面を転がり上がる距離も輪より短い。

Exercise 82問題 82

A particle has mass 0.5 kg and is traveling along the line

x = 5.0 m

at 2.0 m/s in the positive y-direction. What is the particle’s angular momentum about the origin?

英語のヒント

質量0.5 kgの粒子が、直線

x = 5.0 m

に沿い、yの正方向へ2.0 m/sで進む。原点に関する角運動量はいくらか。

Exercise 83問題 83

A 4.0-kg particle moves in a circle of radius 2.0 m. The angular momentum of the particle varies in time according to

l = 5.0 t^{2} .

(a) What is the torque on the particle about the center of the circle at

t = 3.4 s

? (b) What is the angular velocity of the particle at

t = 3.4 s

英語のヒント

質量4.0 kgの粒子が半径2.0 mの円上を動く。角運動量は時間とともに

l = 5.0 t^{2}

に従って変わる。(a)

t = 3.4 s

に、円の中心に関して粒子に働くトルクはいくらか。(b)

t = 3.4 s

での角速度はいくらか。

Solution解き方

τ = 34.0 N \cdot m

;
b.

l = m r^{2} ω \Rightarrow ω = 3.6 rad / s

(a)

τ = 34.0 N \cdot m

。(b)

l = m r^{2} ω \Rightarrow ω = 3.6 rad / s

。

Exercise 84問題 84

A proton is accelerated in a cyclotron to

5.0 × 10^{6} m / s

in 0.01 s. The proton follows a circular path. If the radius of the cyclotron is 0.5 km, (a) What is the angular momentum of the proton about the center at its maximum speed? (b) What is the torque on the proton about the center as it accelerates to maximum speed?

英語のヒント

陽子がサイクロトロンで0.01 sの間に

5.0 × 10^{6} m / s

まで加速され、円軌道を通る。サイクロトロンの半径を0.5 kmとする。(a) 最大速度での、中心に関する陽子の角運動量はいくらか。(b) 最大速度まで加速する間、中心に関して陽子に働くトルクはいくらか。

Exercise 85問題 85

(a) What is the angular momentum of the Moon in its orbit around Earth? (b) How does this angular momentum compare with the angular momentum of the Moon on its axis? Remember that the Moon keeps one side toward Earth at all times.

英語のヒント

(a) 地球の周りの公転による月の角運動量はいくらか。(b) これを、月の自転軸の周りの角運動量と比べるとどうなるか。月は常に同じ面を地球に向けていることを思い出そう。

Solution解き方

d_{M} = 3.85 × 10^{8} m

average distance to the Moon; orbital period

27.32 d = 2.36 × 10^{6} s

; speed of the Moon

\frac{2 π 3.85 × 10^{8} m}{2.36 × 10^{6} s} = 1.0 × 10^{3} m / s

; mass of the Moon

7.35 × 10^{22} kg

L = 2.90 × 10^{34} kg m^{2} / s

;
b. radius of the Moon

1.74 × 10^{6} m

; the orbital period is the same as (a):

ω = 2.66 × 10^{−6} rad / s

L = 2.37 × 10^{29} kg \cdot m^{2} / s

;
The orbital angular momentum is

1.22 \times 10^{5}

times larger than the rotational angular momentum for the Moon.

英語のヒント

(a) 月までの平均距離は

d_{M} = 3.85 × 10^{8} m

、公転周期は

27.32 d = 2.36 × 10^{6} s

、月の速さは

\frac{2 π 3.85 × 10^{8} m}{2.36 × 10^{6} s} = 1.0 × 10^{3} m / s

、質量は

7.35 × 10^{22} kg

で、

L = 2.90 × 10^{34} kg m^{2} / s

となる。(b) 月の半径は

1.74 × 10^{6} m

で、周期は(a)と同じである。

ω = 2.66 × 10^{−6} rad / s

、

L = 2.37 × 10^{29} kg \cdot m^{2} / s

となる。月の公転による角運動量は、自転による角運動量の

1.22 \times 10^{5}

倍である。

Exercise 86問題 86

A DVD is rotating at 500 rpm. What is the angular momentum of the DVD if has a radius of 6.0 cm and mass 20.0 g?

英語のヒント

DVDが500 rpmで回転している。半径が6.0 cm、質量が20.0 gなら、角運動量はいくらか。

Exercise 87問題 87

A potter’s disk spins from rest up to 10 rev/s in 15 s. The disk has a mass 3.0 kg and radius 30.0 cm. What is the angular momentum of the disk at

t = 5 s, t = 1 0 s

英語のヒント

陶芸用のろくろの円盤が、静止状態から15 sで10 rev/sまで回転を速める。質量は3.0 kg、半径は30.0 cmである。

t = 5 s, t = 1 0 s

での角運動量はいくらか。

Solution解き方

I = 0.135 kg \cdot m^{2}

α = 4.19 rad / s^{2},

ω = ω_{0} + α t

ω (5 s) = 21.0 rad / s,

L = 2.84 kg \cdot m^{2} / s

ω (10 s) = 41.9 rad / s,

L = 5.66 kg \cdot m / s^{2}

I = 0.135 kg \cdot m^{2}

α = 4.19 rad / s^{2}

ω = ω_{0} + α t

ω (5 s) = 21.0 rad / s

L = 2.84 kg \cdot m^{2} / s

ω (10 s) = 41.9 rad / s

L = 5.66 kg \cdot m / s^{2}

Exercise 88問題 88

Suppose you start an antique car by exerting a force of 300 N on its crank for 0.250 s. What is the angular momentum given to the engine if the handle of the crank is 0.300 m from the pivot and the force is exerted to create maximum torque the entire time?

英語のヒント

古い自動車のクランクに300 Nの力を0.250 s加えて、エンジンを始動するとする。クランクの取っ手は支点から0.300 mにあり、全時間を通してトルクが最大となるように力を加える。エンジンに与える角運動量はいくらか。

Exercise 89問題 89

A solid cylinder of mass 2.0 kg and radius 20 cm is rotating counterclockwise around a vertical axis through its center at 600 rev/min. A second solid cylinder of the same mass and radius is rotating clockwise around the same vertical axis at 900 rev/min. If the cylinders couple so that they rotate about the same vertical axis, what is the angular velocity of the combination?

英語のヒント

質量2.0 kg、半径20 cmの中実円柱が、中心を通る鉛直軸の周りを600 rev/minで反時計回りに回転している。同じ質量と半径の別の中実円柱は、同じ軸の周りを900 rev/minで時計回りに回転している。二つが結合して同じ鉛直軸の周りを回ると、全体の角速度はいくらになるか。

Solution解き方

In the conservation of angular momentum equation, the rotation rate appears on both sides so we keep the (rev/min) notation as the angular velocity can be multiplied by a constant to get (rev/min):

\begin{matrix} L_{i} & = & −0.04 kg \cdot m^{2} (300.0 rev / min), \\ L_{f} & = & 0.08 kg \cdot m^{2} f_{f} \Rightarrow f_{f} = −150.0 rev / min clockwise \end{matrix}

英語のヒント

角運動量保存の式では、回転数が両辺に現れる。角速度に一定の係数を掛ければrev/minへ換算できるので、そのままrev/minの表記を用いる。

\begin{matrix} L_{i} & = & −0.04 kg \cdot m^{2} (300.0 rev / min), \\ L_{f} & = & 0.08 kg \cdot m^{2} f_{f} \Rightarrow f_{f} = −150.0 rev / min 時計回り \end{matrix}

となる。

Exercise 90問題 90

A boy stands at the center of a platform that is rotating without friction at 1.0 rev/s. The boy holds weights as far from his body as possible. At this position the total moment of inertia of the boy, platform, and weights is

5.0 kg \cdot m^{2} .

The boy draws the weights in close to his body, thereby decreasing the total moment of inertia to

1.5 kg \cdot m^{2} .

(a) What is the final angular velocity of the platform? (b) By how much does the rotational kinetic energy increase?

英語のヒント

少年が、摩擦なく1.0 rev/sで回る台の中心に立ち、おもりを体からできるだけ遠くに持つ。このとき、少年、台、おもりの全慣性モーメントは

5.0 kg \cdot m^{2}

である。おもりを体の近くへ引き寄せ、全慣性モーメントを

1.5 kg \cdot m^{2}

まで減らす。(a) 台の最後の角速度はいくらか。(b) 回転の運動エネルギーはどれだけ増えるか。

Exercise 91問題 91

Eight children, each of mass 40 kg, climb on a small merry-go-round. They position themselves evenly on the outer edge and join hands. The merry-go-round has a radius of 4.0 m and a moment of inertia

1000.0 kg \cdot m^{2}

. After the merry-go-round is given an angular velocity of 6.0 rev/min, the children walk inward and stop when they are 0.75 m from the axis of rotation. What is the new angular velocity of the merry-go-round? Assume there is negligible frictional torque on the structure.

英語のヒント

質量40 kgの子ども8人が小さな回転遊具に乗り、外縁に等間隔で並んで手をつなぐ。遊具の半径は4.0 m、慣性モーメントは

1000.0 kg \cdot m^{2}

である。6.0 rev/minの角速度を与えた後、子どもたちは内側へ歩き、回転軸から0.75 mで止まる。新しい角速度はいくらか。摩擦によるトルクは無視できるものとする。

Solution解き方

I_{0} ω_{0} = I_{f} ω_{f}

I_{0} = 6120.0 kg \cdot m^{2}

I_{f} = 1180.0 kg \cdot m^{2}

ω_{f} = 31.1 rev / min

Exercise 92問題 92

A thin meter stick of mass 150 g rotates around an axis perpendicular to the stick’s long axis at an angular velocity of 240 rev/min. What is the angular momentum of the stick if the rotation axis (a) passes through the center of the stick? (b) Passes through one end of the stick?

英語のヒント

質量150 gの細い1 mの物差しが、長手方向に垂直な軸の周りを240 rev/minで回転している。回転軸が(a)物差しの中心を通る場合、(b)一端を通る場合について、角運動量はいくらか。

Exercise 93問題 93

A satellite in the shape of a sphere of mass 20,000 kg and radius 5.0 m is spinning about an axis through its center of mass. It has a rotation rate of 8.0 rev/s. Two antennas deploy in the plane of rotation extending from the center of mass of the satellite. Each antenna can be approximated as a rod has mass 200.0 kg and length 7.0 m. What is the new rotation rate of the satellite?

英語のヒント

質量20,000 kg、半径5.0 mの球形の人工衛星が、質量中心を通る軸の周りを8.0 rev/sで回転している。回転面内に、質量中心から伸びる2本のアンテナを展開する。各アンテナを質量200.0 kg、長さ7.0 mの棒で近似すると、衛星の新しい回転数はいくらか。

Solution解き方

L_{i} = 1.00 × 10^{7} kg \cdot m^{2} / s

I_{f} = 2.025 × 10^{5} kg \cdot m^{2}

ω_{f} = 7.86 rev / s

Exercise 94問題 94

A top has moment of inertia

3.2 × 10^{−4} kg \cdot m^{2}

and radius 4.0 cm from the center of mass to the pivot point. If it spins at 20.0 rev/s and is precessing, how many revolutions does it precess in 10.0 s?

英語のヒント

こまの慣性モーメントは

3.2 × 10^{−4} kg \cdot m^{2}

で、質量中心から支点までの距離は4.0 cmである。20.0 rev/sで回りながら歳差運動しているとき、10.0 sの間に歳差で何周するか。