第11章角運動量

11.2 Angular Momentum11.2　角運動量

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Describe the vector nature of angular momentum
英語のヒント
角運動量のベクトルとしての性質を説明する。
Find the total angular momentum and torque about a designated origin of a system of particles
英語のヒント
指定した原点に関して、粒子の系の全角運動量とトルクを求める。
Calculate the angular momentum of a rigid body rotating about a fixed axis
英語のヒント
固定軸の周りを回転する剛体の角運動量を計算する。
Calculate the torque on a rigid body rotating about a fixed axis
英語のヒント
固定軸の周りを回転する剛体に働くトルクを計算する。
Use conservation of angular momentum in the analysis of objects that change their rotation rate
英語のヒント
回転の速さが変化する物体を、角運動量保存を使って解析する。

Why does Earth keep on spinning? What started it spinning to begin with? Why doesn’t Earth’s gravitational attraction bring the Moon crashing in toward Earth? And how does an ice skater manage to spin faster and faster simply by pulling her arms in? Why does she not have to exert a torque to spin faster?

英語のヒント

地球はなぜ回り続けるのか。そもそも何が地球を回転させ始めたのか。地球の重力に引かれて、月が地球へ落ちてこないのはなぜか。スケート選手は、腕を引き寄せるだけで、どうしてますます速く回転できるのか。速く回るためにトルクを加える必要がないのはなぜか。

Questions like these have answers based in angular momentum, the rotational analog to linear momentum. In this chapter, we first define and then explore angular momentum from a variety of viewpoints. First, however, we investigate the angular momentum of a single particle. This allows us to develop angular momentum for a system of particles and for a rigid body that is cylindrically symmetric.

英語のヒント

こうした問いには、運動量に対応する回転の量である、角運動量を基に答えられる。この章では、まず角運動量を定義し、さまざまな観点から調べる。そのために最初に、一つの粒子の角運動量を考える。これにより、粒子の系や、円筒対称な剛体へと角運動量の考え方を発展させられる。

Angular Momentum of a Single Particle一つの粒子の角運動量

Figure 11.9 shows a particle at a position

\vec{r}

with linear momentum

\vec{p} = m \vec{v}

with respect to the origin. Even if the particle is not rotating about the origin, we can still define an angular momentum in terms of the position vector and the linear momentum.

英語のヒント

図11.9は、原点に対して位置

\vec{r}

にあり、運動量

\vec{p} = m \vec{v}

を持つ粒子を示す。粒子が原点の周りを回転していなくても、位置ベクトルと運動量を使って角運動量を定義できる。

xは紙面の手前向き、yは右向き、zは上向きの座標系。rは原点からxy平面の第1象限の点へ向かう。pはrの先端から、上から見てrの向きから反時計回りに角度θをなす向きに出る。rとpはともにxy平面内にある。lはその平面に垂直な上向きである。右手の指を上から見て反時計回りに曲げると、親指はlの向きである上を指す。rのうちpに平行な成分と垂直な成分も示され、r_⊥はpに垂直な向きへのrの射影である。 — Figure 11.9図 11.9
In three-dimensional space, the position vector $\vec{r}$ locates a particle in the xy-plane with linear momentum $\vec{p}$ . The angular momentum with respect to the origin is $\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$ , which is in the z-direction. The direction of $\vec{l}$ is given by the right-hand rule, as shown.
英語のヒント
3次元空間で、位置ベクトル $\vec{r}$ はxy平面上の粒子の位置を示し、粒子は運動量 $\vec{p}$ を持つ。原点に関する角運動量は $\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$ で、z方向を向く。図のように、 $\vec{l}$ の向きは右手の規則で決まる。

The intent of choosing the direction of the angular momentum to be perpendicular to the plane containing

\vec{r}

and

\vec{p}

is similar to choosing the direction of torque to be perpendicular to the plane of

\vec{r} and \vec{F},

as discussed in Fixed-Axis Rotation. The magnitude of the angular momentum is found from the definition of the cross-product,

英語のヒント

角運動量を

\vec{r}

と

\vec{p}

を含む平面に垂直な向きに定める考え方は、「固定軸の周りの回転」でトルクの向きを

\vec{r} と \vec{F}

の平面に垂直に定めたのと同様である。角運動量の大きさは、外積の定義から求められる。

l = r p sin θ,

where

θ

is the angle between

\vec{r}

and

\vec{p} .

The units of angular momentum are

kg \cdot m^{2} / s

英語のヒント

ここで、

θ

は

\vec{r}

と

\vec{p}

のなす角である。角運動量の単位は

kg \cdot m^{2} / s

である。

As with the definition of torque, we can define a lever arm

r_{⊥}

that is the perpendicular distance from the momentum vector

\vec{p}

to the origin,

r_{⊥} = r sin θ .

With this definition, the magnitude of the angular momentum becomes

英語のヒント

トルクの定義と同様に、運動量ベクトル

\vec{p}

の作用線から原点までの垂直距離を、腕の長さ

r_{⊥}

として定められる。すなわち、

r_{⊥} = r sin θ

である。この定義を使うと、角運動量の大きさは次のようになる。

l = r_{⊥} p = r_{⊥} m v .

We see that if the direction of

\vec{p}

is such that it passes through the origin, then

θ = 0,

and the angular momentum is zero because the lever arm is zero. In this respect, the magnitude of the angular momentum depends on the choice of origin.

英語のヒント

\vec{p}

の向きが原点を通るような場合には、

θ = 0

となる。腕の長さがゼロなので、角運動量もゼロである。このように、角運動量の大きさは原点の選び方に依存する。

If we take the time derivative of the angular momentum, we arrive at an expression for the torque on the particle:

英語のヒント

角運動量を時間で微分すると、粒子に働くトルクの式を得る。

\frac{d \vec{l}}{d t} = \frac{d \vec{r}}{d t} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{d t} = \vec{v} \times m \vec{v} + \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{d t} = \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{d t} .

Here we have used the definition of

\vec{p}

and the fact that a vector crossed into itself is zero. From Newton’s second law,

\frac{d \vec{p}}{d t} = \sum \vec{F},

the net force acting on the particle, and the definition of the net torque, we can write

英語のヒント

ここでは、

\vec{p}

の定義と、ベクトルとそれ自身の外積がゼロになることを使った。ニュートンの第2法則によれば、

\frac{d \vec{p}}{d t} = \sum \vec{F}

は粒子に働く合力である。さらに、合トルクの定義から次のように書ける。

Note the similarity with the linear result of Newton’s second law,

\frac{d \vec{p}}{d t} = \sum \vec{F}

. The following problem-solving strategy can serve as a guideline for calculating the angular momentum of a particle.

英語のヒント

並進運動でのニュートンの第2法則、

\frac{d \vec{p}}{d t} = \sum \vec{F}

との類似に注目しよう。次の問題解決の手順は、粒子の角運動量を計算する指針となる。

Angular Momentum of a Particle粒子の角運動量

Choose a coordinate system about which the angular momentum is to be calculated.
英語のヒント
角運動量を求める基準となる座標系を選ぶ。
Write down the radius vector to the point particle in unit vector notation.
英語のヒント
質点への位置ベクトルを、単位ベクトル表記で書く。
Write the linear momentum vector of the particle in unit vector notation.
英語のヒント
粒子の運動量ベクトルを、単位ベクトル表記で書く。
Take the cross product $\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$ and use the right-hand rule to establish the direction of the angular momentum vector.
英語のヒント
外積 $\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$ を計算し、右手の規則を使って角運動量ベクトルの向きを定める。
See if there is a time dependence in the expression of the angular momentum vector. If there is, then a torque exists about the origin, and use $\frac{d \vec{l}}{d t} = \sum \vec{τ}$ to calculate the torque. If there is no time dependence in the expression for the angular momentum, then the net torque is zero.
英語のヒント
角運動量ベクトルの式に時間依存性があるかを確認する。あるなら、原点の周りにトルクが働くので、 $\frac{d \vec{l}}{d t} = \sum \vec{τ}$ でトルクを計算する。時間依存性がなければ、合トルクはゼロである。

Example 11.4例題 11.4

Angular Momentum and Torque on a Meteor流星の角運動量とトルク

A meteor enters Earth’s atmosphere (Figure 11.10) and is observed by someone on the ground before it burns up in the atmosphere. The vector

\vec{r} = 25 km \hat{i} + 25 km \hat{j}

gives the position of the meteor with respect to the observer. At the instant the observer sees the meteor, it has linear momentum

\vec{p} = 15.0 kg (−2.0 km / s \hat{j})

, and it is accelerating at a constant

2.0 m / s^{2} (− \hat{j})

along its path, which for our purposes can be taken as a straight line. (a) What is the angular momentum of the meteor about the origin, which is at the location of the observer? (b) What is the torque on the meteor about the origin?

英語のヒント

地球の大気に流星が入り（図11.10）、燃え尽きる前に地上の観測者がそれを見つけた。観測者に対する流星の位置は、ベクトル

\vec{r} = 25 km \hat{i} + 25 km \hat{j}

で与えられる。見つけた瞬間の流星の運動量は

\vec{p} = 15.0 kg (−2.0 km / s \hat{j})

であり、軌道に沿って一定の

2.0 m / s^{2} (− \hat{j})

の加速度を持つ。ここでの目的には、軌道を直線とみなせる。(a) 観測者の位置を原点とすると、流星の原点に関する角運動量はいくらか。(b) 原点に関して、流星に働くトルクはいくらか。

地面に沿う右向きをxの正、鉛直上向きをyの正とするxy座標系。観測者は原点の近くにいる。rは原点から、x、yがともに大きな正の値となる位置の流星へ向かう。流星の位置で、pは下向きである。 — Figure 11.10図 11.10
An observer on the ground sees a meteor at position $\vec{r}$ with linear momentum $\vec{p}$ .
英語のヒント
地上の観測者が、位置 $\vec{r}$ にあり運動量 $\vec{p}$ を持つ流星を見る。

Strategy方針

We resolve the acceleration into x- and y-components and use the kinematic equations to express the velocity as a function of acceleration and time. We insert these expressions into the linear momentum and then calculate the angular momentum using the cross-product. Since the position and momentum vectors are in the xy-plane, we expect the angular momentum vector to be along the z-axis. To find the torque, we take the time derivative of the angular momentum.

英語のヒント

加速度をx成分とy成分に分解し、運動学の式で速度を加速度と時間の関数として表す。これを運動量に代入し、外積を使って角運動量を計算する。位置ベクトルと運動量ベクトルはxy平面内にあるので、角運動量ベクトルはz軸方向を向くはずである。トルクは、角運動量を時間で微分して求める。

Solution解答

The meteor is entering Earth’s atmosphere at an angle of

90.0 °

below the horizontal, so the components of the acceleration in the x- and y-directions are

英語のヒント

流星は水平から下へ

90.0 °

の角度で地球の大気に入ってくる。したがって、加速度のx成分とy成分は次のようになる。

a_{x} = 0, a_{y} = −2.0 m / s^{2} .

We write the velocities using the kinematic equations.

英語のヒント

運動学の式を使って速度を表す。

v_{x} = 0, v_{y} = −2.0 \times 10^{3} m / s - (2.0 m / s^{2}) t .

The angular momentum is
英語のヒント
角運動量は次のようになる。

$\begin{matrix} \vec{l} & = \vec{r} \times \vec{p} = (25.0 km \hat{i} + 25.0 km \hat{j}) \times 15.0 kg (0 \hat{i} + v_{y} \hat{j}) \\ = 15.0 kg [25.0 km (v_{y}) \hat{k}] \\ = 15.0 kg[2.50 \times 10^{4} m (−2.0 \times 10^{3} m / s - (2.0 m / s^{2}) t) \hat{k}] . \end{matrix}$

At $t = 0$ , the angular momentum of the meteor about the origin is
英語のヒント
$t = 0$ での流星の原点に関する角運動量は、次の値となる。

${\vec{l}}_{0} = 15.0 kg [2.50 \times 10^{4} m (−2.0 \times 10^{3} m / s) \hat{k}] = 7.50 \times 10^{8} kg \cdot m^{2} / s (− \hat{k}) .$

This is the instant that the observer sees the meteor.
英語のヒント
これは、観測者が流星を見つける瞬間である。
To find the torque, we take the time derivative of the angular momentum. Taking the time derivative of $\vec{l}$ as a function of time, which is the second equation immediately above, we have
英語のヒント
トルクを求めるため、角運動量を時間で微分する。すぐ上の二つ目の式で、時間の関数として表されている $\vec{l}$ を微分すると、次のようになる。

$\frac{d \vec{l}}{d t} = −15.0 kg (2.50 \times 10^{4} m) (2.0 m / s^{2}) \hat{k} .$

Then, since $\frac{d \vec{l}}{d t} = \sum \vec{τ}$ , we have
英語のヒント
すると、 $\frac{d \vec{l}}{d t} = \sum \vec{τ}$ より、次の結果を得る。

$\sum \vec{τ} = −7. 5 \times 10^{5} N \cdot m \hat{k} .$

The units of torque are given as newton-meters, not to be confused with joules. As a check, we note that the lever arm is the x-component of the vector $\vec{r}$ in Figure 11.10 since it is perpendicular to the force acting on the meteor, which is along its path. By Newton’s second law, this force is
英語のヒント
トルクの単位はニュートンメートルで表され、ジュールと混同してはならない。確認のために図11.10を見ると、腕の長さは、ベクトル $\vec{r}$ のx成分である。これは、流星の軌道に沿って働く力に垂直だからである。ニュートンの第2法則によれば、この力は次のようになる。

$\vec{F} = m a (− \hat{j}) = 15.0 kg (2.0 m / s^{2}) (− \hat{j}) = 30.0 kg \cdot m / s^{2} (− \hat{j}) .$

The lever arm is
英語のヒント
腕の長さは次の値である。

${\vec{r}}_{⊥} = 2.5 \times 10^{4} m \hat{i} .$

Thus, the torque is
英語のヒント
したがって、トルクは次のようになる。

$\begin{matrix} \sum \vec{τ} = {\vec{r}}_{⊥} \times \vec{F} & = (2.5 \times 10^{4} m \hat{i}) \times (−30.0 kg \cdot m / s^{2} \hat{j}), \\ = 7.5 \times 10^{5} N \cdot m (− \hat{k}) . \end{matrix}$

Significance考察

Since the meteor is accelerating downward toward Earth, its radius and velocity vector are changing. Therefore, since

\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}

, the angular momentum is changing as a function of time. The torque on the meteor about the origin, however, is constant, because the lever arm

{\vec{r}}_{⊥}

and the force on the meteor are constants. This example is important in that it illustrates that the angular momentum depends on the choice of origin about which it is calculated. The methods used in this example are also important in developing angular momentum for a system of particles and for a rigid body.

英語のヒント

流星は地球へ向かって下向きに加速するので、位置ベクトルと速度ベクトルが変化する。したがって、

\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}

より、角運動量は時間の関数として変化する。しかし、原点に関して流星に働くトルクは一定である。腕の長さ

{\vec{r}}_{⊥}

と流星に働く力が一定だからである。この例題は、角運動量が計算の基準となる原点の選び方に依存することを示す点で重要である。用いた方法は、粒子の系や剛体の角運動量を考える上でも重要となる。

A proton spiraling around a magnetic field executes circular motion in the plane of the paper, as shown below. The circular path has a radius of 0.4 m and the proton has velocity

4.0 \times 10^{6} m / s

. What is the angular momentum of the proton about the origin?

英語のヒント

磁場の周りをらせん状に進む陽子が、下図のように紙面内で円運動を行う。円軌道の半径は0.4 m、陽子の速度は

4.0 \times 10^{6} m / s

である。原点に関する陽子の角運動量はいくらか。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

From the figure, we see that the cross product of the radius vector with the momentum vector gives a vector directed out of the page. Inserting the radius and momentum into the expression for the angular momentum, we have

\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} = (0.4 m \hat{i}) \times (1.67 \times 10^{−27} kg (4.0 \times 10^{6} m / s) \hat{j}) = 2.7 \times 10^{−21} kg \cdot m^{2} / s \hat{k}

英語のヒント

図から、位置ベクトルと運動量ベクトルの外積は、紙面の手前向きになることが分かる。角運動量の式に半径と運動量を代入すると、

\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} = (0.4 m \hat{i}) \times (1.67 \times 10^{−27} kg (4.0 \times 10^{6} m / s) \hat{j}) = 2.7 \times 10^{−21} kg \cdot m^{2} / s \hat{k}

となる。

第11章角運動量

11.2 Angular Momentum11.2 角運動量

Learning Objectives学習目標

Angular Momentum of a Single Particle一つの粒子の角運動量

Angular Momentum and Torque on a Meteor流星の角運動量とトルク

Strategy方針

Solution解答

Significance考察

11.2 Angular Momentum11.2　角運動量