第12章静的つり合いと弾性

12.2 Examples of Static Equilibrium12.2　静的つり合いの例

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Identify and analyze static equilibrium situations
英語のヒント
静的つり合いの状況を特定し、解析する。
Set up a free-body diagram for an extended object in static equilibrium
英語のヒント
静的つり合いにある、広がりを持つ物体の力の図を作る。
Set up and solve static equilibrium conditions for objects in equilibrium in various physical situations
英語のヒント
さまざまな物理的状況でつり合う物体について、静的つり合いの条件を立てて解く。

All examples in this chapter are planar problems. Accordingly, we use equilibrium conditions in the component form of Equation 12.7 to Equation 12.9. We introduced a problem-solving strategy in Example 12.1 to illustrate the physical meaning of the equilibrium conditions. Now we generalize this strategy in a list of steps to follow when solving static equilibrium problems for extended rigid bodies. We proceed in five practical steps.

英語のヒント

この章の例題はすべて平面問題なので、式12.7から式12.9の成分で表したつり合いの条件を使う。例題12.1では、つり合いの条件の物理的意味を示すために、問題解決の手順を導入した。ここでは、その手順を一般化し、広がりを持つ剛体の静的つり合いを解く際の五つの手順にまとめる。

Static Equilibrium静的つり合い

Identify the object to be analyzed. For some systems in equilibrium, it may be necessary to consider more than one object. Identify all forces acting on the object. Identify the questions you need to answer. Identify the information given in the problem. In realistic problems, some key information may be implicit in the situation rather than provided explicitly.
英語のヒント
解析する物体を特定する。系によっては、つり合いにある複数の物体を考える必要がある。物体に働くすべての力、答えるべき問い、問題で与えられた情報を確認する。実際の問題では、重要な情報が明記されず、状況に暗黙に含まれることもある。
Set up a free-body diagram for the object. (a) Choose the xy-reference frame for the problem. Draw a free-body diagram for the object, including only the forces that act on it. When suitable, represent the forces in terms of their components in the chosen reference frame. As you do this for each force, cross out the original force so that you do not erroneously include the same force twice in equations. Label all forces—you will need this for correct computations of net forces in the x- and y-directions. For an unknown force, the direction must be assigned arbitrarily; think of it as a ‘working direction’ or ‘suspected direction.’ The correct direction is determined by the sign that you obtain in the final solution. A plus sign $(+)$ means that the working direction is the actual direction. A minus sign $(-)$ means that the actual direction is opposite to the assumed working direction. (b) Choose the location of the rotation axis; in other words, choose the pivot point with respect to which you will compute torques of acting forces. On the free-body diagram, indicate the location of the pivot and the lever arms of acting forces—you will need this for correct computations of torques. In the selection of the pivot, keep in mind that the pivot can be placed anywhere you wish, but the guiding principle is that the best choice will simplify as much as possible the calculation of the net torque along the rotation axis.
英語のヒント
物体の力の図を作る。(a) 問題のxy基準系を選ぶ。物体に実際に働く力だけを描き、必要なら選んだ基準系の成分で表す。成分へ分けた力は元の矢印を消し、同じ力を式で二重に数えないようにする。すべての力に記号を付ける。これはx、y方向の合力を正しく計算するために必要である。未知の力の向きは、まず仮に決めてよい。「仮の向き」と考える。正しい向きは最終的に得られる符号で決まり、正 $(+)$ なら仮定どおり、負 $(-)$ なら仮定と反対向きである。(b) 回転軸の位置、すなわち力のトルクを計算する基準となる支点を選ぶ。力の図に、支点と各力の腕の長さを示す。支点はどこに置いてもよいが、回転軸に沿う合トルクの計算をできるだけ簡単にする点を選ぶのが原則である。
Set up the equations of equilibrium for the object. (a) Use the free-body diagram to write a correct equilibrium condition Equation 12.7 for force components in the x-direction. (b) Use the free-body diagram to write a correct equilibrium condition Equation 12.11 for force components in the y-direction. (c) Use the free-body diagram to write a correct equilibrium condition Equation 12.9 for torques along the axis of rotation. Use Equation 12.10 to evaluate torque magnitudes and senses.
英語のヒント
物体のつり合いの式を立てる。(a) 力の図を使い、x方向の力の成分について式12.7のつり合いの条件を正しく書く。(b) y方向の成分について式12.11の条件を書く。(c) 回転軸方向のトルクについて式12.9の条件を書く。式12.10でトルクの大きさと向きを求める。
Simplify and solve the system of equations for equilibrium to obtain unknown quantities. At this point, your work involves algebra only. Keep in mind that the number of equations must be the same as the number of unknowns. If the number of unknowns is larger than the number of equations, the problem cannot be solved.
英語のヒント
つり合いの連立方程式を整理して解き、未知量を求める。この段階の作業は代数計算だけである。方程式の数は未知量の数と同じでなければならない。未知量の方が多ければ、問題は解けない。
Evaluate the expressions for the unknown quantities that you obtained in your solution. Your final answers should have correct numerical values and correct physical units. If they do not, then use the previous steps to track back a mistake to its origin and correct it. Also, you may independently check for your numerical answers by shifting the pivot to a different location and solving the problem again, which is what we did in Example 12.1.
英語のヒント
解いて得た未知量の式に値を入れ、結果を求める。最後の答えが、正しい数値と物理単位を持つことを確認する。そうでなければ、前の手順をたどって誤りの出所を見つけ、修正する。例題12.1のように、支点を別の位置へ移して解き直し、数値の答えを独立に確かめることもできる。

Note that setting up a free-body diagram for a rigid-body equilibrium problem is the most important component in the solution process. Without the correct setup and a correct diagram, you will not be able to write down correct conditions for equilibrium. Also note that a free-body diagram for an extended rigid body that may undergo rotational motion is different from a free-body diagram for a body that experiences only translational motion (as you saw in the chapters on Newton’s laws of motion). In translational dynamics, a body is represented as its CM, where all forces on the body are attached and no torques appear. This does not hold true in rotational dynamics, where an extended rigid body cannot be represented by one point alone. The reason for this is that in analyzing rotation, we must identify torques acting on the body, and torque depends both on the acting force and on its lever arm. Here, the free-body diagram for an extended rigid body helps us identify external torques.

英語のヒント

剛体のつり合いを解く過程で最も重要なのは、力の図を正しく作ることである。設定と図が正しくなければ、正しいつり合いの条件を書けない。回転しうる、広がりを持つ剛体の力の図は、ニュートンの運動の法則の章で見た、並進運動だけをする物体の図とは異なる。並進の動力学では、物体をCMで代表させ、すべての力をそこに置く。トルクは現れない。回転の動力学では、広がりを持つ剛体を一点だけで表せない。回転を解析するには、物体に働くトルクを定める必要があり、トルクは力とその腕の長さの両方に依存するからである。剛体全体を示す力の図は、外力によるトルクを特定する助けとなる。

Example 12.3例題 12.3

The Torque Balanceてこのつり合い

Three masses are attached to a uniform meter stick, as shown in Figure 12.9. The mass of the meter stick is 150.0 g and the masses to the left of the fulcrum are

m_{1} = 50.0 g

and

m_{2} = 75.0 g .

Find the mass

m_{3}

that balances the system when it is attached at the right end of the stick, and the normal reaction force at the fulcrum when the system is balanced.

英語のヒント

図12.9のように、一様な1 mの物差しに三つのおもりを取り付ける。物差しの質量は150.0 g、支点の左側のおもりの質量は

m_{1} = 50.0 g

と

m_{2} = 75.0 g

である。物差しの右端に付けたときに系をつり合わせる質量

m_{3}

と、つり合ったときの支点の垂直抗力を求めよ。

支点Sで水平な棒を支え、その両側に三つのおもりを付けたてこの模式図。おもり3はSの右30 cm、おもり2はSの左40 cm、おもり1はおもり2の左30 cmにある。 — Figure 12.9図 12.9
In a torque balance, a horizontal beam is supported at a fulcrum (indicated by S) and masses are attached to both sides of the fulcrum. The system is in static equilibrium when the beam does not rotate. It is balanced when the beam remains level.
英語のヒント
てこでは、水平な棒を支点Sで支え、両側におもりを付ける。棒が回転しなければ、系は静的つり合いにある。棒が水平を保つとき、つり合っている。

Strategy方針

For the arrangement shown in the figure, we identify the following five forces acting on the meter stick:

英語のヒント

図の配置で、物差しに働く次の五つの力を特定する。

w_{1} = m_{1} g

is the weight of mass

m_{1};

w_{2} = m_{2} g

is the weight of mass

m_{2};

英語のヒント

w_{1} = m_{1} g

は質量

m_{1};

の重力、

w_{2} = m_{2} g

は質量

m_{2};

の重力である。

w = m g

is the weight of the entire meter stick;

w_{3} = m_{3} g

is the weight of unknown mass

m_{3};

英語のヒント

w = m g

は物差し全体の重力、

w_{3} = m_{3} g

は未知の質量

m_{3};

の重力である。

F_{S}

is the normal reaction force at the support point S.

英語のヒント

F_{S}

は、支持点Sでの垂直抗力である。

We choose a frame of reference where the direction of the y-axis is the direction of gravity, the direction of the x-axis is along the meter stick, and the axis of rotation (the z-axis) is perpendicular to the x-axis and passes through the support point S. In other words, we choose the pivot at the point where the meter stick touches the support. This is a natural choice for the pivot because this point does not move as the stick rotates. Now we are ready to set up the free-body diagram for the meter stick. We indicate the pivot and attach five vectors representing the five forces along the line representing the meter stick, locating the forces with respect to the pivot Figure 12.10. At this stage, we can identify the lever arms of the five forces given the information provided in the problem. For the three hanging masses, the problem is explicit about their locations along the stick, but the information about the location of the weight w is given implicitly. The key word here is “uniform.” We know from our previous studies that the CM of a uniform stick is located at its midpoint, so this is where we attach the weight w, at the 50-cm mark.

英語のヒント

y軸を重力の向き、x軸を物差しに沿う向きに取り、回転軸であるz軸はx軸に垂直で支持点Sを通るようにする。つまり、物差しが支えに接する点を支点に選ぶ。この点は物差しが回転しても動かないので、自然な選び方である。力の図に支点を示し、物差しを表す線上に五つの力のベクトルを配置する。支点との位置関係も示す（図12.10）。これで、問題の情報から五つの力の腕の長さを求められる。三つのおもりの位置は明示されているが、重力wの作用点は暗黙に与えられている。鍵となる語は「一様な」である。一様な棒のCMは中点にあるので、重力wを50 cmの目盛の位置に置く。

てこの力の図。水平な棒はSで支えられ、Sに上向きのF_Sが働く。Sの右、距離r_3に下向きのw_3がある。Sの左に、距離r、r_2、r_1でそれぞれ下向きのw、w_2、w_1が働く。 — Figure 12.10図 12.10
Free-body diagram for the meter stick. The pivot is chosen at the support point S.
英語のヒント
物差しの力の図。支点は支持点Sに選ぶ。

Solution解答

With Figure 12.9 and Figure 12.10 for reference, we begin by finding the lever arms of the five forces acting on the stick:

英語のヒント

図12.9と図12.10を参照し、まず物差しに働く五つの力の腕の長さを求める。

\begin{matrix} r_{1} & = & 30.0 cm + 40.0 cm = 70.0 cm \\ r_{2} & = & 40.0 cm \\ r & = & 50.0 cm - 30.0 cm = 20.0 cm \\ r_{S} & = & 0.0 cm (because F_{S} is attached at the pivot) \\ r_{3} & = & 30.0 cm. \end{matrix}

\begin{matrix} r_{1} & = & 30.0 cm + 40.0 cm = 70.0 cm \\ r_{2} & = & 40.0 cm \\ r & = & 50.0 cm - 30.0 cm = 20.0 cm \\ r_{S} & = & 0.0 cm （ F_{S} が支点に働くため） \\ r_{3} & = & 30.0 cm. \end{matrix}

Now we can find the five torques with respect to the chosen pivot:

英語のヒント

選んだ支点に関して、五つのトルクを求める。

\begin{matrix} τ_{1} & = & + r_{1} w_{1} sin 90 ° = + r_{1} m_{1} g & (counterclockwise rotation, positive sense) \\ τ_{2} & = & + r_{2} w_{2} sin 90 ° = + r_{2} m_{2} g & (counterclockwise rotation, positive sense) \\ τ & = & + r w sin 90 ° = + r m g & (gravitational torque) \\ τ_{S} & = & r_{S} F_{S} sin θ_{S} = 0 & (because r_{S} = 0 cm) \\ τ_{3} & = & − r_{3} w_{3} sin 90 ° = − r_{3} m_{3} g & (clockwise rotation, negative sense) \end{matrix}

\begin{matrix} τ_{1} & = & + r_{1} w_{1} sin 90 ° = + r_{1} m_{1} g & （反時計回り、正） \\ τ_{2} & = & + r_{2} w_{2} sin 90 ° = + r_{2} m_{2} g & （反時計回り、正） \\ τ & = & + r w sin 90 ° = + r m g & （重力によるトルク） \\ τ_{S} & = & r_{S} F_{S} sin θ_{S} = 0 & （ r_{S} = 0 cmのため） \\ τ_{3} & = & − r_{3} w_{3} sin 90 ° = − r_{3} m_{3} g & （時計回り、負） \end{matrix}

The second equilibrium condition (equation for the torques) for the meter stick is

英語のヒント

物差しについての第2条件、トルクのつり合いの式は、次のとおりである。

τ_{1} + τ_{2} + τ + τ_{S} + τ_{3} = 0 .

When substituting torque values into this equation, we can omit the torques giving zero contributions. In this way the second equilibrium condition is

英語のヒント

この式にトルクを代入するとき、ゼロとなる項は省ける。すると、第2条件は次のようになる。

+ r_{1} m_{1} g + r_{2} m_{2} g + r m g - r_{3} m_{3} g = 0 .

(12.17)

Selecting the

+ y

-direction to be parallel to

{\vec{F}}_{S},

the first equilibrium condition for the stick is

英語のヒント

+ y

方向を

{\vec{F}}_{S}

と平行に選ぶと、物差しの第1条件は次のようになる。

− w_{1} - w_{2} - w + F_{S} - w_{3} = 0 .

Substituting the forces, the first equilibrium condition becomes

英語のヒント

力を代入すると、第1条件は次のようになる。

− m_{1} g - m_{2} g - m g + F_{S} - m_{3} g = 0 .

(12.18)

We solve these equations simultaneously for the unknown values

m_{3}

and

F_{S} .

In Equation 12.17, we cancel the g factor and rearrange the terms to obtain

英語のヒント

これらの式を連立して解き、未知の

m_{3}

と

F_{S}

を求める。式12.17で共通因子gを約分し、項を整理すると、次式を得る。

r_{3} m_{3} = r_{1} m_{1} + r_{2} m_{2} + r m .

To obtain

m_{3}

we divide both sides by

r_{3},

so we have

英語のヒント

m_{3}

を求めるため、両辺を

r_{3}

で割ると、次のようになる。

\begin{matrix} m_{3} & = \frac{r_{1}}{r_{3}} m_{1} + \frac{r_{2}}{r_{3}} m_{2} + \frac{r}{r_{3}} m \\ = \frac{70}{30} (50.0 g) + \frac{40}{30} (75.0 g) + \frac{20}{30} (150.0 g) = 316.0 \frac{2}{3} g ≃ 317 g. \end{matrix}

(12.19)

To find the normal reaction force, we rearrange the terms in Equation 12.18, converting grams to kilograms:

英語のヒント

垂直抗力を求めるため、式12.18の項を整理し、グラムをキログラムへ換算する。

\begin{matrix} F_{S} & = (m_{1} + m_{2} + m + m_{3}) g \\ = (50.0 + 75.0 + 150.0 + 316.7) \times 10^{−3} kg \times 9.8 \frac{m}{s^{2}} = 5.8 N . \end{matrix}

(12.20)

Significance考察

Notice that Equation 12.17 is independent of the value of g. The torque balance may therefore be used to measure mass, since variations in g-values on Earth’s surface do not affect these measurements. This is not the case for a spring balance because it measures the force.

英語のヒント

式12.17はgの値に依存しない。このため、てこを用いるはかりは質量を測定でき、地表でgが変化しても測定に影響しない。力を測定するばねばかりでは、そうはいかない。

第12章静的つり合いと弾性

12.2 Examples of Static Equilibrium12.2 静的つり合いの例

Learning Objectives学習目標

The Torque Balanceてこのつり合い

Strategy方針

Solution解答

Significance考察

12.2 Examples of Static Equilibrium12.2　静的つり合いの例