第12章静的つり合いと弾性

Challenge Problems発展問題

Exercises 75–81練習問題 75–81

Exercise 75問題 75

A horizontal force

\vec{F}

is applied to a uniform sphere in direction exact toward the center of the sphere, as shown below. Find the magnitude of this force so that the sphere remains in static equilibrium. What is the frictional force of the incline on the sphere?

英語のヒント

下図のように、一様な球に、球の中心へ正確に向かう水平な力

\vec{F}

を加える。球が静的つり合いを保つための力の大きさを求めよ。斜面が球に及ぼす摩擦力はいくらか。

半径R、質量Mの球を、水平とθの角度をなす三角形の斜面に置いた図。球に力Fが加わっている。

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Solution解き方

F = Mg tan θ; f = 0

Exercise 76問題 76

When a motor is set on a pivoted mount seen below, its weight can be used to maintain tension in the drive belt. When the motor is not running the tensions

T_{1}

and

T_{2}

are equal. The total mass of the platform and the motor is 100.0 kg, and the diameter of the drive belt pulley is

16.0 cm.

when the motor is off, find: (a) the tension in the belt, and (b) the force at the hinged platform support at point C. Assume that the center of mass of the motor plus platform is at the center of the motor.

英語のヒント

下図のように、回転できる支持台にモーターを載せると、その重さで駆動ベルトの張力を保てる。モーターが停止しているとき、張力

T_{1}

と

T_{2}

は等しい。台とモーターの合計質量は100.0 kgで、駆動ベルトのプーリーの直径は

16.0 cm

である。停止中の(a) ベルトの張力と、(b) 点Cにある台のちょうつがい付き支持部の力を求めよ。モーターと台を合わせた重心は、モーターの中心にあるとする。

回転できる台に載せたモーター。モーターの中心は支持点Cから上へ25 cm、右へ30 cmにある。張力T_1は水平と40度、T_2は水平と15度の角度をなす。

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Exercise 77問題 77

Two wheels A and B with weights w and 2w, respectively, are connected by a uniform rod with weight w/2, as shown below. The wheels are free to roll on the sloped surfaces. Determine the angle that the rod forms with the horizontal when the system is in equilibrium. Hint: There are five forces acting on the rod, which is two weights of the wheels, two normal reaction forces at points where the wheels make contacts with the wedge, and the weight of the rod.

英語のヒント

下図のように、重さがそれぞれw、2wの二つの車輪A、Bを、重さw/2の一様な棒でつなぐ。車輪は斜面上を自由に転がる。系がつり合うとき、棒が水平となす角度を求めよ。ヒント：棒には五つの力が働く。二つの車輪の重さ、車輪がくさびに接する各点での二つの垂直抗力、そして棒の重さである。

直角三角形の両側の斜面に置いた車輪A、Bを棒でつないだ図。Aが載る斜面は水平と60度、Bが載る斜面は水平と30度の角度をなす。

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Solution解き方

with the horizontal,

θ = 42.2 °;

α = 17.8 °

with the steeper side of the wedge

英語のヒント

水平となす角は

θ = 42.2 °;

、くさびの急な斜面となす角は

α = 17.8 °

。

Exercise 78問題 78

Weights are gradually added to a pan until a wheel of mass M and radius R is pulled over an obstacle of height d, as shown below. What is the minimum mass of the weights plus the pan needed to accomplish this?

英語のヒント

下図のように、皿に少しずつおもりを加え、質量M、半径Rの車輪を高さdの障害物の上へ引き上げる。このために必要な、おもりと皿の合計質量の最小値はいくらか。

皿と車輪を針金でつないだ図。車輪の質量はM、半径はRで、車輪と皿の間に高さdの障害物がある。

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Exercise 79問題 79

In order to lift a shovelful of dirt, a gardener pushes downward on the end of the shovel and pulls upward at distance

l_{2}

from the end, as shown below. The weight of the shovel is

m \vec{g}

and acts at the point of application of

{\vec{F}}_{2} .

Calculate the magnitudes of the forces

{\vec{F}}_{1}

and

{\vec{F}}_{2}

as functions of

l_{1},

l_{2},

mg, and the weight W of the load. Why do your answers not depend on the angle

θ

that the shovel makes with the horizontal?

英語のヒント

シャベル一杯の土を持ち上げるため、庭師が下図のように、柄の端を押し下げ、その端から距離

l_{2}

の位置を引き上げる。シャベルの重さ

m \vec{g}

は、

{\vec{F}}_{2}

の作用点に働く。力

{\vec{F}}_{1}

、

{\vec{F}}_{2}

の大きさを、

l_{1}

、

l_{2}

、mg、土の重さWの関数として求めよ。答えが、シャベルと水平のなす角

θ

に依存しないのはなぜか。

土を載せたシャベルを両手で持ち上げる庭師。後ろの手がF_1、前の手がF_2を加え、土を載せた先端には重さWが働く。後ろの手から先端までの距離はl_1、両手の間隔はl_2で、シャベルが水平となす角はθである。

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Solution解き方

W (l_{1} / l_{2} - 1); W l_{1} / l_{2} + m g

Exercise 80問題 80

A uniform rod of length 2R and mass M is attached to a small collar C and rests on a cylindrical surface of radius R, as shown below. If the collar can slide without friction along the vertical guide, find the angle

θ

for which the rod is in static equilibrium.

英語のヒント

下図のように、長さ2R、質量Mの一様な棒を、小さなカラーCに取り付け、半径Rの円筒面に載せる。カラーが鉛直なガイドに沿って摩擦なく滑れる場合、棒が静的につり合う角度

θ

を求めよ。

長さ2R、質量Mの一様な棒を小さなカラーCに取り付け、半径Rの円筒面に載せた図。棒が水平となす角はθである。

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Exercise 81問題 81

The pole shown below is at a

90.0 °

bend in a power line and is therefore subjected to more shear force than poles in straight parts of the line. The tension in each line is

4.00 \times 1 0^{4} N,

at the angles shown. The pole is 15.0 m tall, has an 18.0 cm diameter, and can be considered to have half the strength of hardwood. (a) Calculate the compression of the pole. (b) Find how much it bends and in what direction. (c) Find the tension in a guy wire used to keep the pole straight if it is attached to the top of the pole at an angle of

30.0 °

with the vertical. The guy wire is in the opposite direction of the bend.

英語のヒント

下図の電柱は、送電線が

90.0 °

曲がる場所にあり、直線部分の電柱より大きなせん断力を受ける。各線の張力は

4.00 \times 1 0^{4} N

で、図に示す角度をなす。電柱は高さ15.0 m、直径18.0 cmで、強度は硬木の半分とみなせる。(a) 電柱の圧縮量を求めよ。(b) どの方向に、どれだけたわむか求めよ。(c) 電柱をまっすぐに保つため、上端に支線を取り付ける。支線が鉛直と

30.0 °

の角度をなし、たわむ向きと逆向きに張られるとき、その張力を求めよ。

二つの力Tと、支線の力T_gwが働く電柱。二つのTの間の角度は90度、Tが働く平面と電柱との角度は80度、T_gwと電柱との角度は30度である。

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Solution解き方

a. 1.1 mm; b. 6.6 mm to the right; c.

1.11 \times 10^{5} N

英語のヒント

a. 1.1 mm。b. 右へ6.6 mm。c.

1.11 \times 10^{5} N

breaking stress (ultimate stress)

破断応力（極限応力）

value of stress at the fracture point

英語のヒント

破断点での応力の値。

elastic

弾性を持つ

object that comes back to its original size and shape when the load is no longer present

英語のヒント

荷重がなくなると、元の大きさと形に戻る物体。

elastic limit

弾性限界

stress value beyond which material no longer behaves elastically and becomes permanently deformed

英語のヒント

材料が弾性的に振る舞う限界の応力値。これを超えると永久変形する。

linearity limit (proportionality limit)

比例限界

largest stress value beyond which stress is no longer proportional to strain

英語のヒント

応力がひずみに比例する範囲の、最大の応力値。これを超えると比例しなくなる。

plastic behavior

塑性の振る舞い

material deforms irreversibly, does not go back to its original shape and size when load is removed and stress vanishes

英語のヒント

材料が不可逆的に変形し、荷重を取り除いて応力がなくなっても、元の形と大きさに戻らないこと。

stress-strain diagram

応力–ひずみ線図

graph showing the relationship between stress and strain, characteristic of a material

英語のヒント

応力とひずみの関係を示すグラフ。材料に固有の形を持つ。