第2章ベクトル

In many applications, the magnitudes and directions of vector quantities are known and we need to find the resultant of many vectors. For example, imagine 400 cars moving on the Golden Gate Bridge in San Francisco in a strong wind. Each car gives the bridge a different push in various directions and we would like to know how big the resultant push can possibly be. We have already gained some experience with the geometric construction of vector sums, so we know the task of finding the resultant by drawing the vectors and measuring their lengths and angles may become intractable pretty quickly, leading to huge errors. Worries like this do not appear when we use analytical methods. The very first step in an analytical approach is to find vector components when the direction and magnitude of a vector are known.

英語のヒント

多くの応用では、ベクトル量の大きさと方向が与えられ、多数のベクトルの合ベクトルを求める必要がある。例えば、強風の中、サンフランシスコのゴールデンゲート橋を400台の車が走っているところを想像しよう。各車はさまざまな方向に異なる力で橋を押す。その合力がどれほど大きくなりうるかを知りたい。すでにベクトル和の作図を経験したので、各ベクトルを描き、長さと角度を測って合ベクトルを求める作業が、たちまち手に負えなくなり、大きな誤差を生みうることはわかるだろう。解析的方法なら、このような心配は生じない。解析的方法の最初の段階は、ベクトルの方向と大きさが与えられたとき、その成分を求めることである。

Let us return to the right triangle in Figure 2.18. The quotient of the adjacent side

A_{x}

to the hypotenuse A is the cosine function of direction angle

θ_{A}

A_{x} / A = cos θ_{A}

, and the quotient of the opposite side

A_{y}

to the hypotenuse A is the sine function of

θ_{A}

A_{y} / A = sin θ_{A}

. When magnitude A and direction

θ_{A}

are known, we can solve these relations for the scalar components:

英語のヒント

図2.18の直角三角形へ戻ろう。隣辺

A_{x}

を斜辺Aで割った商は、方向角

θ_{A}

の余弦関数、

A_{x} / A = cos θ_{A}

である。対辺

A_{y}

を斜辺Aで割った商は、

θ_{A}

の正弦関数、

A_{y} / A = sin θ_{A}

である。大きさAと方向

θ_{A}

がわかれば、これらの関係をスカラー成分について解ける。

When calculating vector components with Equation 2.17, care must be taken with the angle. The direction angle

θ_{A}

of a vector is the angle measured counterclockwise from the positive direction on the x-axis to the vector. The clockwise measurement gives a negative angle.

英語のヒント

式2.17でベクトル成分を計算するとき、角度に注意しなければならない。ベクトルの方向角

θ_{A}

は、x軸の正方向からベクトルまで、反時計回りに測った角である。時計回りに測ると負の角になる。

Example 2.5例題 2.5

Components of Displacement Vectors変位ベクトルの成分

A rescue party for a missing child follows a search dog named Trooper. Trooper wanders a lot and makes many trial sniffs along many different paths. Trooper eventually finds the child and the story has a happy ending, but his displacements on various legs seem to be truly convoluted. On one of the legs he walks 200.0 m southeast, then he runs north some 300.0 m. On the third leg, he examines the scents carefully for 50.0 m in the direction

30 °

west of north. On the fourth leg, Trooper goes directly south for 80.0 m, picks up a fresh scent and turns

23 °

west of south for 150.0 m. Find the scalar components of Trooper’s displacement vectors and his displacement vectors in vector component form for each leg.

英語のヒント

行方不明の子どもを捜す救助隊が、トルーパーという捜索犬に続く。トルーパーはあちこち歩き、多くの異なる経路で何度もにおいを嗅いで試す。やがて子どもを見つけ、無事に終わるが、各区間の変位は実に入り組んでいる。最初の区間では南東へ200.0 m歩き、次に北へ約300.0 m走る。第3区間では、北から西へ

30 °

の方向へ50.0 m進みながら、慎重ににおいを調べる。第4区間では真南へ80.0 m進み、新しいにおいを見つけると、南から西へ

23 °

の方向へ曲がって150.0 m進む。各区間について、トルーパーの変位ベクトルのスカラー成分と、ベクトル成分表示を求めよ。

Strategy方針

Let’s adopt a rectangular coordinate system with the positive x-axis in the direction of geographic east, with the positive y-direction pointed to geographic north. Explicitly, the unit vector

\hat{i}

of the x-axis points east and the unit vector

\hat{j}

of the y-axis points north. Trooper makes five legs, so there are five displacement vectors. We start by identifying their magnitudes and direction angles, then we use Equation 2.17 to find the scalar components of the displacements and Equation 2.12 for the displacement vectors.

英語のヒント

x軸の正方向を東、y軸の正方向を北とする直交座標系を選ぼう。明確にいえば、x軸の単位ベクトル

\hat{i}

は東、y軸の単位ベクトル

\hat{j}

は北を向く。トルーパーは五つの区間を進むので、変位ベクトルは五つある。まず、それぞれの大きさと方向角を特定する。次に、式2.17で変位のスカラー成分を求め、式2.12で変位ベクトルを求める。

Solution解答

On the first leg, the displacement magnitude is

L_{1} = 200.0 m

and the direction is southeast. For direction angle

θ_{1}

we can take either

45 °

measured clockwise from the east direction or

45 ° + 270 °

measured counterclockwise from the east direction. With the first choice,

θ_{1} = −45 °

. With the second choice,

θ_{1} = + 315 °

. We can use either one of these two angles. The components are

英語のヒント

第1区間の変位の大きさは

L_{1} = 200.0 m

、方向は南東である。方向角

θ_{1}

には、東から時計回りに測る

45 °

、または東から反時計回りに測る

45 ° + 270 °

を使える。前者を選べば

θ_{1} = −45 °

、後者なら

θ_{1} = + 315 °

である。どちらの角でもよい。成分は次のようになる。

\begin{array}{l} L_{1 x} = L_{1} cos θ_{1} = (200.0 m) cos 315 ° = 141.4 m, \\ L_{1 y} = L_{1} sin θ_{1} = (200.0 m) sin 315 ° = −141.4 m . \end{array}

The displacement vector of the first leg is

英語のヒント

第1区間の変位ベクトルは、次のようになる。

{\vec{L}}_{1} = L_{1 x} \hat{i} + L_{1 y} \hat{j} = (141.4 \hat{i} - 141.4 \hat{j}) m .

On the second leg of Trooper’s wanderings, the magnitude of the displacement is

L_{2} = 300.0 m

and the direction is north. The direction angle is

θ_{2} = + 90 °

. We obtain the following results:

英語のヒント

トルーパーが歩き回る第2区間では、変位の大きさは

L_{2} = 300.0 m

、方向は北である。方向角は

θ_{2} = + 90 °

で、次の結果が得られる。

\begin{matrix} L_{2 x} & = & L_{2} cos θ_{2} = (300.0 m) cos 90 ° = 0.0, \\ L_{2 y} & = & L_{2} sin θ_{2} = (300.0 m) sin 90 ° = 300.0 m, \\ {\vec{L}}_{2} & = & L_{2 x} \hat{i} + L_{2 y} \hat{j} = (300.0 m) \hat{j} . \end{matrix}

On the third leg, the displacement magnitude is

L_{3} = 50.0 m

and the direction is

30 °

west of north. The direction angle measured counterclockwise from the eastern direction is

θ_{3} = 30 ° + 90 ° = + 120 °

. This gives the following answers:

英語のヒント

第3区間では、変位の大きさは

L_{3} = 50.0 m

、方向は北から西へ

30 °

である。東から反時計回りに測る方向角は

θ_{3} = 30 ° + 90 ° = + 120 °

で、次の答えが得られる。

\begin{matrix} L_{3 x} & = & L_{3} cos θ_{3} = (50.0 m) cos 120 ° = −25.0 m, \\ L_{3 y} & = & L_{3} sin θ_{3} = (50.0 m) sin 120 ° = + 43.3 m, \\ {\vec{L}}_{3} & = & L_{3 x} \hat{i} + L_{3 y} \hat{j} = (−25.0 \hat{i} + 43.3 \hat{j}) m . \end{matrix}

On the fourth leg of the excursion, the displacement magnitude is

L_{4} = 80.0 m

and the direction is south. The direction angle can be taken as either

θ_{4} = −90 °

θ_{4} = + 270 °

. We obtain

英語のヒント

この移動の第4区間では、変位の大きさは

L_{4} = 80.0 m

、方向は南である。方向角には

θ_{4} = −90 °

または

θ_{4} = + 270 °

を使える。次を得る。

\begin{matrix} L_{4 x} & = & L_{4} cos θ_{4} = (80.0 m) cos (−90 °) = 0, \\ L_{4 y} & = & L_{4} sin θ_{4} = (80.0 m) sin (−90 °) = −80.0 m, \\ {\vec{L}}_{4} & = & L_{4 x} \hat{i} + L_{4 y} \hat{j} = (−80.0 m) \hat{j} . \end{matrix}

On the last leg, the magnitude is

L_{5} = 150.0 m

and the angle is

θ_{5} = −23 ° + 270 ° = + 247 °

(23 °

west of south), which gives

英語のヒント

最後の区間では、大きさは

L_{5} = 150.0 m

、角度は

θ_{5} = −23 ° + 270 ° = + 247 °

(23 °

だけ南から西へ傾いた方向）である。したがって、次を得る。

\begin{matrix} L_{5 x} & = & L_{5} cos θ_{5} = (150.0 m) cos 247 ° = −58.6 m, \\ L_{5 y} & = & L_{5} sin θ_{5} = (150.0 m) sin 247 ° = −138.1 m, \\ {\vec{L}}_{5} & = & L_{5 x} \hat{i} + L_{5 y} \hat{j} = (−58.6 \hat{i} - 138.1 \hat{j}) m . \end{matrix}