第2章ベクトル

2.4 Products of Vectors2.4　ベクトルの積

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

本節を学ぶと、次のことができるようになる。

Explain the difference between the scalar product and the vector product of two vectors.
英語のヒント
二つのベクトルのスカラー積とベクトル積の違いを説明する。
Determine the scalar product of two vectors.
英語のヒント
二つのベクトルのスカラー積を求める。
Determine the vector product of two vectors.
英語のヒント
二つのベクトルのベクトル積を求める。
Describe how the products of vectors are used in physics.
英語のヒント
物理学でベクトルの積がどう使われるかを説明する。

A vector can be multiplied by another vector but may not be divided by another vector. There are two kinds of products of vectors used broadly in physics and engineering. One kind of multiplication is a scalar multiplication of two vectors. Taking a scalar product of two vectors results in a number (a scalar), as its name indicates. Scalar products are used to define work and energy relations. For example, the work that a force (a vector) performs on an object while causing its displacement (a vector) is defined as a scalar product of the force vector with the displacement vector. A quite different kind of multiplication is a vector multiplication of vectors. Taking a vector product of two vectors returns as a result a vector, as its name suggests. Vector products are used to define other derived vector quantities. For example, in describing rotations, a vector quantity called torque is defined as a vector product of an applied force (a vector) and its distance from pivot to force (a vector). It is important to distinguish between these two kinds of vector multiplications because the scalar product is a scalar quantity and a vector product is a vector quantity.

英語のヒント

ベクトルに別のベクトルを掛けることはできるが、別のベクトルで割ることはできない。物理学と工学で広く使われるベクトルの積には、二種類ある。一つは、二つのベクトルのスカラー乗算である。その名のとおり、スカラー積の結果は数（スカラー）となる。スカラー積は、仕事やエネルギーの関係を定義するために使う。例えば、力（ベクトル）が物体に変位（ベクトル）を生じさせるとき、その力のする仕事は、力ベクトルと変位ベクトルのスカラー積として定義される。それとは大きく異なるもう一つの乗算が、ベクトルどうしのベクトル乗算である。その名のとおり、ベクトル積の結果はベクトルとなる。ベクトル積は、別の組立ベクトル量を定義するために使う。例えば回転を記述するとき、トルクというベクトル量を、加えた力（ベクトル）と、支点から力の作用点までの距離（ベクトル）のベクトル積で定義する。スカラー積はスカラー量、ベクトル積はベクトル量なので、この二種類のベクトルの乗算を区別することが重要である。

The Scalar Product of Two Vectors (the Dot Product)二つのベクトルのスカラー積（内積）

Scalar multiplication of two vectors yields a scalar product.

英語のヒント

二つのベクトルのスカラー乗算から、スカラー積が得られる。

In the definition of the dot product, the direction of angle

φ

does not matter, and

φ

can be measured from either of the two vectors to the other because

cos φ = cos (− φ) = cos (2 π - φ)

. The dot product is a negative number when

90 ° < φ \leq 180 °

and is a positive number when

0 ° \leq φ < 90 °

. Moreover, the dot product of two parallel vectors is

\vec{A} \cdot \vec{B} = A B cos 0 ° = A B

, and the dot product of two antiparallel vectors is

\vec{A} \cdot \vec{B} = A B cos 180 ° = − A B

. The scalar product of two orthogonal vectors vanishes:

\vec{A} \cdot \vec{B} = A B cos 90 ° = 0

. The scalar product of a vector with itself is the square of its magnitude:

英語のヒント

内積の定義では、角

φ

の向きは関係なく、

φ

はどちらのベクトルから他方へ測ってもよい。

cos φ = cos (− φ) = cos (2 π - φ)

だからである。内積は

90 ° < φ \leq 180 °

で負、

0 ° \leq φ < 90 °

で正となる。さらに、平行な二つのベクトルの内積は

\vec{A} \cdot \vec{B} = A B cos 0 ° = A B

、反平行な二つのベクトルの内積は

\vec{A} \cdot \vec{B} = A B cos 180 ° = − A B

である。直交する二つのベクトルのスカラー積は0となり、

\vec{A} \cdot \vec{B} = A B cos 90 ° = 0

である。ベクトル自身とのスカラー積は、その大きさの2乗となる。

{\vec{A}}^{2} \equiv \vec{A} \cdot \vec{A} = A A cos 0 ° = A^{2} .

(2.28)

（a）AとBは尾をそろえて描かれ、Aのほうが長い。なす角はφ。（b）Bを破線で延長し、Aの頭からBの延長線へ、Bに垂直な破線を引く。AとBの尾が合う頂点から、垂線とBの延長線の交点までの距離A_⊥はA cos φに等しい。（c）Bの頭からAへ、Aに垂直な破線を引く。両ベクトルの尾から、この破線がBと交わる点までの距離B_⊥はB cos φに等しい。 — Figure 2.29図 2.29
The scalar product of two vectors. (a) The angle between the two vectors. (b) The orthogonal projection $A_{││}$ of vector $\vec{A}$ onto the direction of vector $\vec{B}$ . (c) The orthogonal projection $B_{││}$ of vector $\vec{B}$ onto the direction of vector $\vec{A}$ .
英語のヒント
二つのベクトルのスカラー積。（a）二つのベクトルのなす角。（b）ベクトル $\vec{A}$ をベクトル $\vec{B}$ の方向へ正射影した $A_{││}$ 。（c）ベクトル $\vec{B}$ をベクトル $\vec{A}$ の方向へ正射影した $B_{││}$ 。

Example 2.15例題 2.15

The Scalar Productスカラー積

For the vectors shown in Figure 2.13, find the scalar product

\vec{A} \cdot \vec{F}

英語のヒント

図2.13のベクトルについて、スカラー積

\vec{A} \cdot \vec{F}

を求めよ。

Strategy方針

From Figure 2.13, the magnitudes of vectors

\vec{A}

and

\vec{F}

are A = 10.0 and F = 20.0. Angle

θ

, between them, is the difference:

θ = φ - α = 110 ° - 35 ° = 75 °

. Substituting these values into Equation 2.27 gives the scalar product.

英語のヒント

図2.13より、ベクトル

\vec{A}

と

\vec{F}

の大きさはA = 10.0、F = 20.0である。両者のなす角

θ

は、その差

θ = φ - α = 110 ° - 35 ° = 75 °

である。これらの値を式2.27へ代入すると、スカラー積が得られる。

Solution解答

A straightforward calculation gives us

英語のヒント

単純な計算から、次を得る。

\vec{A} \cdot \vec{F} = A F cos θ = (10.0) (20.0) cos 75 ° = 51.76 .

In the Cartesian coordinate system, scalar products of the unit vector of an axis with other unit vectors of axes always vanish because these unit vectors are orthogonal:

英語のヒント

デカルト座標系では、ある軸の単位ベクトルと別の軸の単位ベクトルのスカラー積は、常に0となる。これらの単位ベクトルは直交するからである。

\begin{matrix} \hat{i} \cdot \hat{j} = | \hat{i} | | \hat{j} | cos 90 ° = (1) (1) (0) = 0, \\ \hat{i} \cdot \hat{k} = | \hat{i} | | \hat{k} | cos 90 ° = (1) (1) (0) = 0, \\ \hat{k} \cdot \hat{j} = | \hat{k} | | \hat{j} | cos 90 ° = (1) (1) (0) = 0 . \end{matrix}

(2.29)

In these equations, we use the fact that the magnitudes of all unit vectors are one:

| \hat{i} | = | \hat{j} | = | \hat{k} | = 1

. For unit vectors of the axes, Equation 2.28 gives the following identities:

英語のヒント

これらの式では、すべての単位ベクトルの大きさが1であること、すなわち

| \hat{i} | = | \hat{j} | = | \hat{k} | = 1

を使っている。軸の単位ベクトルについて、式2.28から次の恒等式を得る。

\hat{i} \cdot \hat{i} = i^{2} = \hat{j} \cdot \hat{j} = j^{2} = \hat{k} \cdot \hat{k} = k^{2} = 1 .

(2.30)

The scalar product

\vec{A} \cdot \vec{B}

can also be interpreted as either the product of B with the projection

A_{ǁ}

of vector

\vec{A}

onto the direction of vector

\vec{B}

(Figure 2.29(b)) or the product of A with the projection

B_{ǁ}

of vector

\vec{B}

onto the direction of vector

\vec{A}

(Figure 2.29(c)):

英語のヒント

スカラー積

\vec{A} \cdot \vec{B}

は、Bと、ベクトル

\vec{A}

を

\vec{B}

の方向へ射影した

A_{ǁ}

との積（図2.29（b））とも、Aと、ベクトル

\vec{B}

を

\vec{A}

の方向へ射影した

B_{ǁ}

との積（図2.29（c））とも解釈できる。

\begin{array}{l} \vec{A} \cdot \vec{B} & = A B cos φ \\ = B (A cos φ) = B A_{ǁ} \\ = A (B cos φ) = A B_{ǁ} . \end{array}

For example, in the rectangular coordinate system in a plane, the scalar x-component of a vector is its dot product with the unit vector

\hat{i}

, and the scalar y-component of a vector is its dot product with the unit vector

\hat{j}

英語のヒント

例えば、平面内の直交座標系では、ベクトルのスカラーx成分は、そのベクトルと単位ベクトル

\hat{i}

の内積であり、スカラーy成分は、単位ベクトル

\hat{j}

との内積である。

{\begin{cases} \vec{A} \cdot \hat{i} = | \vec{A} | | \hat{i} | cos θ_{A} = A cos θ_{A} = A_{x} \\ \vec{A} \cdot \hat{j} = | \vec{A} | | \hat{j} | cos (90 ° - θ_{A}) = A sin θ_{A} = A_{y} \end{cases} .

Scalar multiplication of vectors is commutative,

英語のヒント

ベクトルのスカラー乗算には交換法則が成り立ち、

and obeys the distributive law:

英語のヒント

分配法則にも従う。

We can use the commutative and distributive laws to derive various relations for vectors, such as expressing the dot product of two vectors in terms of their scalar components.

英語のヒント

交換法則と分配法則を使えば、ベクトルについてのさまざまな関係を導ける。例えば、二つのベクトルの内積を、スカラー成分で表せる。

When the vectors in Equation 2.27 are given in their vector component forms,

英語のヒント

式2.27のベクトルが、次の成分表示で与えられる場合、

\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k} and \vec{B} = B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k},

\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k} および \vec{B} = B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}

we can compute their scalar product as follows:

英語のヒント

スカラー積を次のように計算できる。

\begin{array}{l} \vec{A} \cdot \vec{B} & = & (A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}) \cdot (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}) \\ = & A_{x} B_{x} \hat{i} \cdot \hat{i} + A_{x} B_{y} \hat{i} \cdot \hat{j} + A_{x} B_{z} \hat{i} \cdot \hat{k} \\ + A_{y} B_{x} \hat{j} \cdot \hat{i} + A_{y} B_{y} \hat{j} \cdot \hat{j} + A_{y} B_{z} \hat{j} \cdot \hat{k} \\ + A_{z} B_{x} \hat{k} \cdot \hat{i} + A_{z} B_{y} \hat{k} \cdot \hat{j} + A_{z} B_{z} \hat{k} \cdot \hat{k} . \end{array}

Since scalar products of two different unit vectors of axes give zero, and scalar products of unit vectors with themselves give one (see Equation 2.29 and Equation 2.30), there are only three nonzero terms in this expression. Thus, the scalar product simplifies to

英語のヒント

異なる二つの軸の単位ベクトルのスカラー積は0、同じ単位ベクトルどうしのスカラー積は1となるため（式2.29と式2.30参照）、この式で0でない項は三つだけである。したがって、スカラー積は次のように簡単になる。

We can use Equation 2.33 for the scalar product in terms of scalar components of vectors to find the angle between two vectors. When we divide Equation 2.27 by AB, we obtain the equation for

cos φ

, into which we substitute Equation 2.33:

英語のヒント

ベクトルのスカラー成分でスカラー積を表す式2.33を使えば、二つのベクトルのなす角を求められる。式2.27をABで割ると

cos φ

の式が得られ、そこへ式2.33を代入する。

Angle

φ

between vectors

\vec{A}

and

\vec{B}

is obtained by taking the inverse cosine of the expression in Equation 2.34.

英語のヒント

ベクトル

\vec{A}

と

\vec{B}

のなす角

φ

は、式2.34の式の逆余弦を取れば得られる。

Example 2.16例題 2.16

Angle between Two Forces二つの力のなす角

Three dogs are pulling on a stick in different directions, as shown in Figure 2.30. The first dog pulls with force

{\vec{F}}_{1} = (10.0 \hat{i} - 20.4 \hat{j} + 2.0 \hat{k}) N

, the second dog pulls with force

{\vec{F}}_{2} = (−15.0 \hat{i} - 6.2 \hat{k}) N

, and the third dog pulls with force

{\vec{F}}_{3} = (5.0 \hat{i} + 12.5 \hat{j}) N

. What is the angle between forces

{\vec{F}}_{1}

and

{\vec{F}}_{2}

英語のヒント

図2.30のように、3匹の犬が棒を異なる方向へ引いている。1匹目の力は

{\vec{F}}_{1} = (10.0 \hat{i} - 20.4 \hat{j} + 2.0 \hat{k}) N

、2匹目は

{\vec{F}}_{2} = (−15.0 \hat{i} - 6.2 \hat{k}) N

、3匹目は

{\vec{F}}_{3} = (5.0 \hat{i} + 12.5 \hat{j}) N

である。力

{\vec{F}}_{1}

と

{\vec{F}}_{2}

のなす角はいくらか。

3匹の犬が棒を引っ張っている。 — Figure 2.30図 2.30
Three dogs are playing with a stick.
英語のヒント
3匹の犬が棒で遊んでいる。

Strategy方針

The components of force vector

{\vec{F}}_{1}

are

F_{1 x} = 10.0 N

F_{1 y} = −20.4 N

, and

F_{1 z} = 2.0 N

, whereas those of force vector

{\vec{F}}_{2}

are

F_{2 x} = −15.0 N

F_{2 y} = 0.0 N

, and

F_{2 z} = −6.2 N

. Computing the scalar product of these vectors and their magnitudes, and substituting into Equation 2.34 gives the angle of interest.

英語のヒント

力ベクトル

{\vec{F}}_{1}

の成分は

F_{1 x} = 10.0 N

、

F_{1 y} = −20.4 N

、

F_{1 z} = 2.0 N

で、力ベクトル

{\vec{F}}_{2}

の成分は

F_{2 x} = −15.0 N

、

F_{2 y} = 0.0 N

、

F_{2 z} = −6.2 N

である。両ベクトルのスカラー積とそれぞれの大きさを計算し、式2.34へ代入すると、求める角が得られる。

Solution解答

The magnitudes of forces

{\vec{F}}_{1}

and

{\vec{F}}_{2}

are

英語のヒント

力

{\vec{F}}_{1}

と

{\vec{F}}_{2}

の大きさは、次のようになる。

F_{1} = \sqrt{F_{1 x}^{2} + F_{1 y}^{2} + F_{1 z}^{2}} = \sqrt{{10.0}^{2} + {20.4}^{2} + {2.0}^{2}} N = 22.8 N

and

英語のヒント

および

F_{2} = \sqrt{F_{2 x}^{2} + F_{2 y}^{2} + F_{2 z}^{2}} = \sqrt{{15.0}^{2} + {6.2}^{2}} N = 16.2 N .

Substituting the scalar components into Equation 2.33 yields the scalar product

英語のヒント

スカラー成分を式2.33へ代入すると、次のスカラー積が得られる。

\begin{matrix} {\vec{F}}_{1} \cdot {\vec{F}}_{2} & = F_{1 x} F_{2 x} + F_{1 y} F_{2 y} + F_{1 z} F_{2 z} \\ = (10.0 N) (−15.0 N) + (−20.4 N) (0.0 N) + (2.0 N) (−6.2 N) \\ = −162.4 N^{2} . \end{matrix}

Finally, substituting everything into Equation 2.34 gives the angle

英語のヒント

最後に、すべてを式2.34へ代入すると、角が得られる。

cos φ = \frac{{\vec{F}}_{1} \cdot {\vec{F}}_{2}}{F_{1} F_{2}} = \frac{−162.4 N^{2}}{(22.8 N) (16.2 N)} = −0.439 \Rightarrow φ = {cos}^{−1} (−0.439) = 116.0 ° .

Significance意味の検討

Notice that when vectors are given in terms of the unit vectors of axes, we can find the angle between them without knowing the specifics about the geographic directions the unit vectors represent. Here, for example, the +x-direction might be to the east and the +y-direction might be to the north. But, the angle between the forces in the problem is the same if the +x-direction is to the west and the +y-direction is to the south.

英語のヒント

ベクトルが軸の単位ベクトルで与えられていれば、それらの単位ベクトルが具体的にどの方角を表すかを知らなくても、ベクトルどうしのなす角を求められることに注意しよう。例えば、ここでは+x方向が東、+y方向が北かもしれない。しかし、+x方向が西、+y方向が南であっても、問題中の力どうしのなす角は同じである。

Example 2.17例題 2.17

The Work of a Force力のする仕事

When force

\vec{F}

pulls on an object and when it causes its displacement

\vec{D}

, we say the force performs work. The amount of work the force does is the scalar product

\vec{F} \cdot \vec{D}

. If the stick in Example 2.16 moves momentarily and gets displaced by vector

\vec{D} = (−7.9 \hat{j} - 4.2 \hat{k}) cm

, how much work is done by the third dog in Example 2.16?

英語のヒント

力

\vec{F}

が物体を引き、変位

\vec{D}

を生じさせるとき、その力は仕事をするという。仕事の量はスカラー積

\vec{F} \cdot \vec{D}

である。例題2.16の棒が一瞬動き、ベクトル

\vec{D} = (−7.9 \hat{j} - 4.2 \hat{k}) cm

だけ変位したとき、例題2.16の3匹目の犬は、どれだけの仕事をするか。

Strategy方針

We compute the scalar product of displacement vector

\vec{D}

with force vector

{\vec{F}}_{3} = (5.0 \hat{i} + 12.5 \hat{j}) N

, which is the pull from the third dog. Let’s use

W_{3}

to denote the work done by force

{\vec{F}}_{3}

on displacement

\vec{D}

英語のヒント

変位ベクトル

\vec{D}

と、3匹目の犬の引く力ベクトル

{\vec{F}}_{3} = (5.0 \hat{i} + 12.5 \hat{j}) N

のスカラー積を計算する。力

{\vec{F}}_{3}

が変位

\vec{D}

に対してする仕事を、

W_{3}

で表そう。

Solution解答

Calculating the work is a straightforward application of the dot product:

英語のヒント

仕事の計算は、内積をそのまま適用すればよい。

\begin{matrix} W_{3} & = {\vec{F}}_{3} \cdot \vec{D} = F_{3 x} D_{x} + F_{3 y} D_{y} + F_{3 z} D_{z} \\ = (5.0 N) (0.0 cm) + (12.5 N) (−7.9 cm) + (0.0 N) (−4.2 cm) \\ = −98.7 N \cdot cm . \end{matrix}

Significance意味の検討

The SI unit of work is called the joule

(J)

, where 1 J = 1

N \cdot m

. The unit

cm \cdot N

can be written as

10^{−2} m \cdot N = 10^{−2} J

, so the answer can be expressed as

W_{3} = −0.9875 J \approx −1.0 J

英語のヒント

仕事のSI単位はジュール

(J)

で、1 J = 1

N \cdot m

である。単位

cm \cdot N

は

10^{−2} m \cdot N = 10^{−2} J

と書けるので、答えは

W_{3} = −0.9875 J \approx −1.0 J

と表せる。

第2章ベクトル

2.4 Products of Vectors2.4 ベクトルの積

Learning Objectives学習目標

The Scalar Product of Two Vectors (the Dot Product)二つのベクトルのスカラー積（内積）

The Scalar Productスカラー積

Strategy方針

Solution解答

Angle between Two Forces二つの力のなす角

Strategy方針

Solution解答

Significance意味の検討

The Work of a Force力のする仕事

Strategy方針

Solution解答

Significance意味の検討

2.4 Products of Vectors2.4　ベクトルの積