第2章ベクトル

Notice that in Equation 2.39, the three unit vectors

\hat{i}

\hat{j}

, and

\hat{k}

appear in the cyclic order shown in a diagram in Figure 2.34(a). The cyclic order means that in the product formula,

\hat{i}

follows

\hat{k}

and comes before

\hat{j}

, or

\hat{k}

follows

\hat{j}

and comes before

\hat{i}

, or

\hat{j}

follows

\hat{i}

and comes before

\hat{k}

. The cross product of two different unit vectors is always a third unit vector. When two unit vectors in the cross product appear in the cyclic order, the result of such a multiplication is the remaining unit vector, as illustrated in Figure 2.34(b). When unit vectors in the cross product appear in a different order, the result is a unit vector that is antiparallel to the remaining unit vector (i.e., the result is with the minus sign, as shown by the examples in Figure 2.34(c) and Figure 2.34(d). In practice, when the task is to find cross products of vectors that are given in vector component form, this rule for the cross-multiplication of unit vectors is very useful.

英語のヒント

式2.39では、三つの単位ベクトル

\hat{i}

、

\hat{j}

、

\hat{k}

が、図2.34（a）に示す循環順序で現れることに注意しよう。循環順序とは、積の式で

\hat{i}

が

\hat{k}

の後かつ

\hat{j}

の前に来る、または

\hat{k}

が

\hat{j}

の後かつ

\hat{i}

の前に来る、または

\hat{j}

が

\hat{i}

の後かつ

\hat{k}

の前に来ることをいう。異なる二つの単位ベクトルの外積は、常に第3の単位ベクトルになる。積の二つの単位ベクトルが循環順序で並べば、図2.34（b）のように、残りの単位ベクトルが結果になる。それと異なる順序なら、残りの単位ベクトルに反平行な単位ベクトルになる。つまり、図2.34（c）と図2.34（d）のように、負号が付く。成分表示されたベクトルの外積を求めるとき、この単位ベクトルの外積の規則は非常に役立つ。

（a）xyz座標系の単位ベクトルiハット、jハット、kハットと、i→j→k→iという順序を示す矢印。（b）同じ単位ベクトルが描かれ、i = j × k、j = k × i、k = i × jと示される。（c）i、jと下向きの−kが描かれ、−k = j × i。（d）i、kと左向きの−jが描かれ、−j = i × k。すべて単位ベクトルを表す。 — Figure 2.34図 2.34
(a) The diagram of the cyclic order of the unit vectors of the axes. (b) The only cross products where the unit vectors appear in the cyclic order. These products have the positive sign. (c, d) Two examples of cross products where the unit vectors do not appear in the cyclic order. These products have the negative sign.
英語のヒント
（a）軸の単位ベクトルの循環順序を示す図。（b）単位ベクトルが循環順序に並ぶ外積の全例。これらの積は正符号を持つ。（c、d）循環順序に並ばない外積の二例。これらの積は負符号を持つ。

Suppose we want to find the cross product

\vec{A} \times \vec{B}

for vectors

\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}

and

\vec{B} = B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}

. We can use the distributive property (Equation 2.37), the anticommutative property (Equation 2.36), and the results in Equation 2.38 and Equation 2.39 for unit vectors to perform the following algebra:

英語のヒント

ベクトル

\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}

と

\vec{B} = B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}

の外積

\vec{A} \times \vec{B}

を求めるとしよう。分配法則（式2.37）、反可換性（式2.36）、単位ベクトルについての式2.38と式2.39を使い、次の代数計算を行える。

\begin{matrix} \vec{A} \times \vec{B} & = & (A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}) \times (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}) \\ = & A_{x} \hat{i} \times (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}) + A_{y} \hat{j} \times (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}) + A_{z} \hat{k} \times (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}) \\ = & A_{x} B_{x} \hat{i} \times \hat{i} + A_{x} B_{y} \hat{i} \times \hat{j} + A_{x} B_{z} \hat{i} \times \hat{k} \\ + A_{y} B_{x} \hat{j} \times \hat{i} + A_{y} B_{y} \hat{j} \times \hat{j} + A_{y} B_{z} \hat{j} \times \hat{k} \\ + A_{z} B_{x} \hat{k} \times \hat{i} + A_{z} B_{y} \hat{k} \times \hat{j} + A_{z} B_{z} \hat{k} \times \hat{k} \\ = & A_{x} B_{x} (0) + A_{x} B_{y} (+ \hat{k}) + A_{x} B_{z} (− \hat{j}) \\ + A_{y} B_{x} (− \hat{k}) + A_{y} B_{y} (0) + A_{y} B_{z} (+ \hat{i}) \\ + A_{z} B_{x} (+ \hat{j}) + A_{z} B_{y} (− \hat{i}) + A_{z} B_{z} (0) . \end{matrix}

When performing algebraic operations involving the cross product, be very careful about keeping the correct order of multiplication because the cross product is anticommutative. The last two steps that we still have to do to complete our task are, first, grouping the terms that contain a common unit vector and, second, factoring. In this way we obtain the following very useful expression for the computation of the cross product:

英語のヒント

外積を含む代数演算では、乗算の正しい順序を保つことに十分注意する。外積は反可換だからである。計算を完成させるために残る最後の二段階は、第1に共通の単位ベクトルを含む項をまとめ、第2に因数でくくることである。こうして、外積の計算に非常に便利な次の式を得る。

In this expression, the scalar components of the cross-product vector are

英語のヒント

この式で、外積ベクトルのスカラー成分は次のとおりである。

{\begin{matrix} C_{x} = A_{y} B_{z} - A_{z} B_{y}, \\ C_{y} = A_{z} B_{x} - A_{x} B_{z}, \\ C_{z} = A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x} . \end{matrix}

(2.41)

When finding the cross product, in practice, we can use either Equation 2.35 or Equation 2.40, depending on which one of them seems to be less complex computationally. They both lead to the same final result. One way to make sure if the final result is correct is to use them both.

英語のヒント

実際に外積を求めるときには、計算が簡単なほうを選び、式2.35または式2.40を使える。どちらでも同じ最終結果になる。結果が正しいか確認する方法の一つは、両方を使うことである。

Example 2.19例題 2.19

A Particle in a Magnetic Field磁場中の粒子

When moving in a magnetic field, some particles may experience a magnetic force. Without going into details—a detailed study of magnetic phenomena comes in later chapters—let’s acknowledge that the magnetic field

\vec{B}

is a vector, the magnetic force

\vec{F}

is a vector, and the velocity

\vec{u}

of the particle is a vector. The magnetic force vector is proportional to the vector product of the velocity vector with the magnetic field vector, which we express as

\vec{F} = ζ \vec{u} \times \vec{B}

. In this equation, a constant

ζ

takes care of the consistency in physical units, so we can omit physical units on vectors

\vec{u}

and

\vec{B}

. In this example, let’s assume the constant

ζ

is positive.

英語のヒント

磁場の中を動くと、磁気力を受ける粒子がある。磁気現象は後の章で詳しく学ぶので、ここでは詳細に立ち入らず、磁場

\vec{B}

、磁気力

\vec{F}

、粒子の速度

\vec{u}

が、いずれもベクトルであることを確認しておこう。磁気力ベクトルは、速度ベクトルと磁場ベクトルのベクトル積に比例し、

\vec{F} = ζ \vec{u} \times \vec{B}

と表す。この式の定数

ζ

が物理単位の整合性を担うため、ベクトル

\vec{u}

と

\vec{B}

の物理単位を省略できる。この例では、定数

ζ

を正とする。

A particle moving in space with velocity vector

\vec{u} = −5.0 \hat{i} - 2.0 \hat{j} + 3.5 \hat{k}

enters a region with a magnetic field and experiences a magnetic force. Find the magnetic force

\vec{F}

on this particle at the entry point to the region where the magnetic field vector is (a)

\vec{B} = 7.2 \hat{i} - \hat{j} - 2.4 \hat{k}

and (b)

\vec{B} = 4.5 \hat{k}

. In each case, find magnitude F of the magnetic force and angle

θ

the force vector

\vec{F}

makes with the given magnetic field vector

\vec{B}

英語のヒント

速度ベクトル

\vec{u} = −5.0 \hat{i} - 2.0 \hat{j} + 3.5 \hat{k}

で空間を動く粒子が、磁場のある領域へ入り、磁気力を受ける。磁場ベクトルが（a）

\vec{B} = 7.2 \hat{i} - \hat{j} - 2.4 \hat{k}

、（b）

\vec{B} = 4.5 \hat{k}

の場合について、領域へ入った地点で粒子に働く磁気力

\vec{F}

を求めよ。それぞれの場合に、磁気力の大きさFと、力ベクトル

\vec{F}

が磁場ベクトル

\vec{B}

となす角

θ

を求めよ。

Strategy方針

First, we want to find the vector product

\vec{u} \times \vec{B}

, because then we can determine the magnetic force using

\vec{F} = ζ \vec{u} \times \vec{B}

. Magnitude F can be found either by using components,

F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}

, or by computing the magnitude

| \vec{u} \times \vec{B} |

directly using Equation 2.35. In the latter approach, we would have to find the angle between vectors

\vec{u}

and

\vec{B}

. When we have

\vec{F}

, the general method for finding the direction angle

θ

involves the computation of the scalar product

\vec{F} \cdot \vec{B}

and substitution into Equation 2.34. To compute the vector product we can either use Equation 2.40 or compute the product directly, whichever way is simpler.

英語のヒント

まずベクトル積

\vec{u} \times \vec{B}

を求める。それがわかれば、

\vec{F} = ζ \vec{u} \times \vec{B}

を使って磁気力を求められる。大きさFは、成分を用いて

F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}

から求めても、式2.35で大きさ

| \vec{u} \times \vec{B} |

を直接計算してもよい。後者では、ベクトル

\vec{u}

と

\vec{B}

のなす角を求める必要がある。

\vec{F}

が求まったとき、方向角

θ

を求める一般的な方法は、スカラー積

\vec{F} \cdot \vec{B}

を計算し、式2.34へ代入することである。ベクトル積の計算には、式2.40を用いても、直接展開してもよく、簡単なほうを選べる。

Solution解答

The components of the velocity vector are

u_{x} = −5.0

u_{y} = −2.0

, and

u_{z} = 3.5

英語のヒント

速度ベクトルの成分は、

u_{x} = −5.0

、

u_{y} = −2.0

、

u_{z} = 3.5

である。

(a) The components of the magnetic field vector are

B_{x} = 7.2

B_{y} = −1.0

, and

B_{z} = −2.4

. Substituting them into Equation 2.41 gives the scalar components of vector

\vec{F} = ζ \vec{u} \times \vec{B}

英語のヒント

（a）磁場ベクトルの成分は

B_{x} = 7.2

、

B_{y} = −1.0

、

B_{z} = −2.4

である。式2.41へ代入すると、ベクトル

\vec{F} = ζ \vec{u} \times \vec{B}

のスカラー成分が得られる。

{\begin{array}{l} F_{x} = ζ (u_{y} B_{z} - u_{z} B_{y}) = ζ [(−2.0) (−2.4) - (3.5) (−1.0)] = 8.3 ζ \\ F_{y} = ζ (u_{z} B_{x} - u_{x} B_{z}) = ζ [(3.5) (7.2) - (−5.0) (−2.4)] = 13.2 ζ \\ F_{z} = ζ (u_{x} B_{y} - u_{y} B_{x}) = ζ [(−5.0) (−1.0) - (−2.0) (7.2)] = 19.4 ζ \end{array} .

Thus, the magnetic force is

\vec{F} = ζ (8.3 \hat{i} + 13.2 \hat{j} + 19.4 \hat{k})

and its magnitude is

英語のヒント

したがって、磁気力は

\vec{F} = ζ (8.3 \hat{i} + 13.2 \hat{j} + 19.4 \hat{k})

で、その大きさは次のようになる。

F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = ζ \sqrt{{(8.3)}^{2} + {(13.2)}^{2} + {(19.4)}^{2}} = 24.9 ζ .

To compute angle

θ

, we may need to find the magnitude of the magnetic field vector,

英語のヒント

角

θ

を計算するには、磁場ベクトルの大きさと、

B = \sqrt{B_{x}^{2} + B_{y}^{2} + B_{z}^{2}} = \sqrt{{(7.2)}^{2} + {(−1.0)}^{2} + {(−2.4)}^{2}} = 7.6,

and the scalar product

\vec{F} \cdot \vec{B}

英語のヒント

スカラー積

\vec{F} \cdot \vec{B}

を求める必要がある。

\vec{F} \cdot \vec{B} = F_{x} B_{x} + F_{y} B_{y} + F_{z} B_{z} = (8.3 ζ) (7.2) + (13.2 ζ) (−1.0) + (19.4 ζ) (−2.4) = 0 .

Now, substituting into Equation 2.34 gives angle

θ

英語のヒント

これらを式2.34へ代入すると、角

θ

を得る。

cos θ = \frac{\vec{F} \cdot \vec{B}}{F B} = \frac{0}{(24.9 ζ) (7.6)} = 0 \Rightarrow θ = 90 ° .

Hence, the magnetic force vector is perpendicular to the magnetic field vector. (We could have saved some time if we had computed the scalar product earlier.)

英語のヒント

したがって、磁気力ベクトルは磁場ベクトルに垂直である。（先にスカラー積を計算していれば、少し時間を節約できた。）

(b) Because vector

\vec{B} = 4.5 \hat{k}

has only one component, we can perform the algebra quickly and find the vector product directly:

英語のヒント

（b）ベクトル

\vec{B} = 4.5 \hat{k}

は成分を一つしか持たないので、代数計算を手早く行い、ベクトル積を直接求められる。

\begin{array}{l} \vec{F} & = ζ \vec{u} \times \vec{B} = ζ (−5.0 \hat{i} - 2.0 \hat{j} + 3.5 \hat{k}) \times (4.5 \hat{k}) \\ = ζ [(−5.0) (4.5) \hat{i} \times \hat{k} + (−2.0) (4.5) \hat{j} \times \hat{k} + (3.5) (4.5) \hat{k} \times \hat{k}] \\ = ζ [−22.5 (− \hat{j}) - 9.0 (+ \hat{i}) + 0] = ζ (−9.0 \hat{i} + 22.5 \hat{j}) . \end{array}

The magnitude of the magnetic force is

英語のヒント

磁気力の大きさは、次のとおりである。

F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = ζ \sqrt{{(−9.0)}^{2} + {(22.5)}^{2} + {(0.0)}^{2}} = 24.2 ζ .

Because the scalar product is

英語のヒント

スカラー積が次のようになるので、

\vec{F} \cdot \vec{B} = F_{x} B_{x} + F_{y} B_{y} + F_{z} B_{z} = (−9.0 ζ) (0) + (22.5 ζ) (0) + (0) (4.5) = 0,

the magnetic force vector

\vec{F}

is perpendicular to the magnetic field vector

\vec{B}

英語のヒント

磁気力ベクトル

\vec{F}

は、磁場ベクトル

\vec{B}

に垂直である。

Significance意味の検討

Even without actually computing the scalar product, we can predict that the magnetic force vector must always be perpendicular to the magnetic field vector because of the way this vector is constructed. Namely, the magnetic force vector is the vector product

\vec{F} = ζ \vec{u} \times \vec{B}

and, by the definition of the vector product (see Figure 2.31), vector

\vec{F}

must be perpendicular to both vectors

\vec{u}

and

\vec{B}

英語のヒント

スカラー積を実際に計算しなくても、磁気力ベクトルの作り方から、それが常に磁場ベクトルに垂直でなければならないと予測できる。すなわち、磁気力ベクトルはベクトル積

\vec{F} = ζ \vec{u} \times \vec{B}

であり、ベクトル積の定義（図2.31）によれば、

\vec{F}

は

\vec{u}

と

\vec{B}

の両方に垂直でなければならない。

In conclusion to this section, we want to stress that “dot product” and “cross product” are entirely different mathematical objects that have different meanings. The dot product is a scalar; the cross product is a vector. Later chapters use the terms dot product and scalar product interchangeably. Similarly, the terms cross product and vector product are used interchangeably.

英語のヒント

本節の最後に、「内積」と「外積」はまったく異なる数学的対象であり、意味も異なることを強調しておく。内積はスカラー、外積はベクトルである。後の章では、内積とスカラー積という用語を同じ意味で使う。同様に、外積とベクトル積も同じ意味で使う。