プリンキピア

第8章位置エネルギーとエネルギー保存

Summaryまとめ

  • For a single-particle system, the difference of potential energy is the opposite of the work done by the forces acting on the particle as it moves from one position to another.
    英語のヒント
    一粒子系では、位置エネルギーの差は、ある位置から別の位置へ動く間に粒子に働く力がする仕事の符号を反転したものに等しい。
  • Since only differences of potential energy are physically meaningful, the zero of the potential energy function can be chosen at a convenient location.
    英語のヒント
    物理的に意味があるのは位置エネルギーの差だけなので、位置エネルギー関数のゼロ点は都合のよい場所に選べる。
  • The potential energies for Earth’s constant gravity, near its surface, and for a Hooke’s law force are linear and quadratic functions of position, respectively.
    英語のヒント
    地表付近の一定の重力と、フックの法則に従う力の位置エネルギーは、位置の関数として、それぞれ1次関数と2次関数になる。

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 1–6練習問題 1–6
Exercise 1問題 1
The kinetic energy of a system must always be positive or zero. Explain whether this is true for the potential energy of a system.
英語のヒント
系の運動エネルギーは、常に正またはゼロでなければならない。系の位置エネルギーについてもそうか、説明せよ。
Solution解き方
The potential energy of a system can be negative because its value is relative to a defined point.
英語のヒント
系の位置エネルギーは、定めた点を基準とする値なので、負になりうる。
Exercise 2問題 2
The force exerted by a diving board is conservative, provided the internal friction is negligible. Assuming friction is negligible, describe changes in the potential energy of a diving board as a swimmer drives from it, starting just before the swimmer steps on the board until just after their feet leave it.
英語のヒント
飛び込み板が及ぼす力は、内部摩擦を無視できるなら保存力である。摩擦を無視し、選手が板に乗る直前から足が離れた直後まで、飛び込む際の板の位置エネルギーの変化を説明せよ。
Exercise 3問題 3
Describe the gravitational potential energy transfers and transformations for a javelin, starting from the point at which an athlete picks up the javelin and ending when the javelin is stuck into the ground after being thrown.
英語のヒント
選手がやりを拾い上げた時点から、投げたやりが地面に刺さるまでの、やりの重力による位置エネルギーの移動と変換を説明せよ。
Solution解き方
If the reference point of the ground is zero gravitational potential energy, the javelin first increases its gravitational potential energy, followed by a decrease in its gravitational potential energy as it is thrown until it hits the ground. The overall change in gravitational potential energy of the javelin is zero unless the center of mass of the javelin is lower than from where it is initially thrown, and therefore would have slightly less gravitational potential energy.
英語のヒント
地面を重力による位置エネルギーのゼロ点とすると、やりの位置エネルギーはまず増え、投げられて地面に当たるまでに減る。やりの重心が、初めに投げた位置より低くならない限り、重力による位置エネルギーの全体の変化はゼロである。低くなるなら、位置エネルギーはわずかに小さくなる。
Exercise 4問題 4
A couple of soccer balls of equal mass are kicked off the ground at the same speed but at different angles. Soccer ball A is kicked off at an angle slightly above the horizontal, whereas ball B is kicked slightly below the vertical. How do each of the following compare for ball A and ball B? (a) The initial kinetic energy and (b) the change in gravitational potential energy from the ground to the highest point? If the energy in part (a) differs from part (b), explain why there is a difference between the two energies.
英語のヒント
同じ質量の二つのサッカーボールを、地面から同じ速さ、異なる角度で蹴る。Aは水平より少し上、Bは鉛直より少し低い角度に蹴り上げる。(a) 初めの運動エネルギーと、(b) 地面から最高点までの重力による位置エネルギーの変化は、AとBでそれぞれどう比較できるか。(a)と(b)のエネルギーが異なるなら、その理由を説明せよ。
Exercise 5問題 5
What is the dominant factor that affects the speed of an object that started from rest down a frictionless incline if the only work done on the object is from gravitational forces?
英語のヒント
物体が摩擦のない斜面を静止状態から滑り下り、仕事をするのが重力だけなら、物体の速さを決める主要な要因は何か。
Solution解き方
the vertical height from the ground to the object
英語のヒント
地面から物体までの鉛直の高さ。
Exercise 6問題 6
Two people observe a leaf falling from a tree. One person is standing on a ladder and the other is on the ground. If each person were to compare the energy of the leaf observed, would each person find the following to be the same or different for the leaf, from the point where it falls off the tree to when it hits the ground: (a) the kinetic energy of the leaf; (b) the change in gravitational potential energy; (c) the final gravitational potential energy?
英語のヒント
二人が、木から落ちる葉を観察する。一人ははしごの上、もう一人は地面に立っている。葉が木を離れてから地面に当たるまで、二人が観測した葉のエネルギーを比べたら、次の値は同じか、異なるか。(a) 運動エネルギー。(b) 重力による位置エネルギーの変化。(c) 最後の重力による位置エネルギー。

Problems問題

Exercises 7–11練習問題 7–11
Exercise 7問題 7
Using values from Table 8.1, how many DNA molecules could be broken by the energy carried by a single electron in the beam of an old-fashioned TV tube? (These electrons were not dangerous in themselves, but they did create dangerous X-rays. Later-model tube TVs had shielding that absorbed X-rays before they escaped and exposed viewers.)
英語のヒント
表8.1の値から、昔のテレビのブラウン管の電子線に含まれる1個の電子のエネルギーで、何個のDNA分子を切断できるか。（電子自体は危険ではなかったが、危険なX線を発生させた。後期のブラウン管テレビには、X線が外へ出て視聴者を被曝させる前に吸収する遮蔽があった。）
Solution解き方
40,000
Exercise 8問題 8
If the energy in fusion bombs were used to supply the energy needs of the world, how many of the 9-megaton variety would be needed for a year’s supply of energy (using data from this equation)?
英語のヒント
核融合爆弾のエネルギーで世界のエネルギー需要をまかなうなら、9メガトン型が1年間に何個必要か。この式のデータを使え。
Exercise 9問題 9
A camera weighing 10 N falls from a small drone hovering 20m overhead and enters free fall. What is the gravitational potential energy change of the camera from the drone to the ground if you take a reference point of (a) the ground being zero gravitational potential energy? (b) The drone being zero gravitational potential energy? What is the gravitational potential energy of the camera (c) before it falls from the drone and (d) after the camera lands on the ground if the reference point of zero gravitational potential energy is taken to be a second person looking out of a building 30m from the ground?
英語のヒント
重さ10 Nのカメラが、頭上20mでホバリングする小型ドローンから落ち、自由落下する。ドローンから地面までの重力による位置エネルギーの変化は、(a) 地面をゼロ点、(b) ドローンをゼロ点とした場合、それぞれいくらか。建物内の地上30mの位置から外を見る別の人の位置をゼロ点とした場合、カメラの位置エネルギーは、(c) ドローンから落ちる前と、(d) 地面に着いた後でそれぞれいくらか。
Solution解き方
a.−200J;b.−200J;c.−100J;d.−300J
Exercise 10問題 10
Someone drops a 50−g pebble off of a docked cruise ship, 70.0m above the water level. A person on a dock 3.0m above the water level holds out a net to catch the pebble. (a) How much work is done on the pebble by gravity during the drop? (b) What is the change in the gravitational potential energy during the drop? If the gravitational potential energy is zero at the water line, what is the gravitational potential energy (c) when the pebble is dropped? (d) When it reaches the net? What if the gravitational potential energy was 30.0 Joules at water level? (e) Find the answers to the same questions in (c) and (d).
英語のヒント
停泊中のクルーズ船で、水面から70.0mの位置から、50−gの小石を落とす。水面から3.0mの岸壁にいる人が、網を差し出して小石を受ける。(a) 落下中に重力が小石にする仕事はいくらか。(b) 重力による位置エネルギーの変化はいくらか。水面で位置エネルギーをゼロとすると、(c) 落としたときと、(d) 網に達したときの位置エネルギーはいくらか。(e) 水面での位置エネルギーを30.0 Jとした場合、(c)と(d)の答えはどうなるか。
Exercise 11問題 11
A cat’s crinkle ball toy of mass 15g is thrown straight up with an initial speed of 3m/s. Assume in this problem that air drag is negligible. (a) What is the kinetic energy of the ball as it leaves the hand? (b) How much work is done by the gravitational force during the ball’s rise to its peak? (c) What is the change in the gravitational potential energy of the ball during the rise to its peak? (d) If the gravitational potential energy is taken to be zero at the point where it leaves your hand, what is the gravitational potential energy when it reaches the maximum height? (e) What if the gravitational potential energy is taken to be zero at the maximum height the ball reaches, what would the gravitational potential energy be when it leaves the hand? (f) What is the maximum height the ball reaches?
英語のヒント
質量15gの、カサカサ音のする猫用ボールを、初速度3m/sで真上に投げる。空気抵抗を無視する。(a) 手を離れたときの運動エネルギーはいくらか。(b) 最高点まで上がる間に重力がする仕事はいくらか。(c) その間の重力による位置エネルギーの変化はいくらか。(d) 手を離れる位置をゼロ点とすると、最高点での位置エネルギーはいくらか。(e) 最高点をゼロ点とすると、手を離れる位置での位置エネルギーはいくらか。(f) ボールが達する最大の高さはいくらか。
Solution解き方
a.0.068J;b.−0.068J;c.0.068J;d.0.068J;e.−0.068J;f.46cm
potential energy
位置エネルギー
function of position, energy possessed by an object relative to the system considered
英語のヒント
位置の関数。考えている系に対して物体がもつエネルギー。
potential energy difference
位置エネルギー差
negative of the work done acting between two points in space
英語のヒント
空間の二点の間でされた仕事の符号を反転したもの。