第8章位置エネルギーとエネルギー保存

Summaryまとめ

• Interpreting a one-dimensional potential energy diagram allows you to obtain qualitative, and some quantitative, information about the motion of a particle.

  英語のヒント

  1次元の位置エネルギー図を読み取ると、粒子運動について定性的な情報と、いくらかの定量的な情報が得られる。
• At a turning point, the potential energy equals the mechanical energy and the kinetic energy is zero, indicating that the direction of the velocity reverses there.

  英語のヒント

  折り返し点では、位置エネルギーが力学的エネルギーに等しく、運動エネルギーはゼロである。これは、その点で速度の向きが反転することを示す。
• The negative of the slope of the potential energy curve, for a particle, equals the one-dimensional component of the conservative force on the particle. At an equilibrium point, the slope is zero and is a stable (unstable) equilibrium for a potential energy minimum (maximum).

  英語のヒント

  粒子の位置エネルギー曲線の傾きの符号を反転したものは、粒子に働く保存力の1次元成分に等しい。つり合いの位置では傾きがゼロで、位置エネルギーが極小なら安定、極大なら不安定なつり合いである。

Problems問題

Exercises 45–51練習問題 45–51

Exercise 45問題 45

A mysterious constant force of 10 N acts horizontally on everything. The direction of the force is found to be always pointed toward a wall in a big hall. Find the potential energy of a particle due to this force when it is at a distance x from the wall, assuming the potential energy at the wall to be zero.

英語のヒント

不思議な一定の力10 Nが、あらゆるものに水平方向へ働く。力は大きなホールのある壁へ常に向く。壁での位置エネルギーをゼロとすると、壁から距離xにある粒子の、この力による位置エネルギーを求めよ。

Solution解き方

10x with x-axis pointed away from the wall and origin at the wall

英語のヒント

壁を原点とし、壁から離れる向きをx軸の正にとると、10xである。

Exercise 46問題 46

A single force $F\left(x\right)=\mathrm{-4.0}x$ (in newtons) acts on a 1.0-kg body. When $x=3.5\text{m,}$ the speed of the body is 4.0 m/s. What is its speed at $x=2.0\text{m?}$

英語のヒント

質量1.0 kgの物体に、一つの力$F\left(x\right)=\mathrm{-4.0}x$（N）が働く。$x=3.5\text{m}$での速さが4.0 m/sなら、$x=2.0\text{m}$での速さはいくらか。

Exercise 47問題 47

A particle of mass 4.0 kg is constrained to move along the x-axis under a single force $F\left(x\right)=\text{−}c{x}^3,$ where $c=8.0{\text{N/m}}^3.$ The particle’s speed at A, where $x_A=1.0\text{m,}$ is 6.0 m/s. What is its speed at B, where $x_B=\mathrm{-2.0}\text{m?}$

英語のヒント

質量4.0 kgの粒子がx軸に沿って動くよう拘束され、一つの力$F\left(x\right)=\text{−}c{x}^3$を受ける。ここで$c=8.0{\text{N/m}}^3$である。$x_A=1.0\text{m}$であるAでの速さは6.0 m/s。$x_B=\mathrm{-2.0}\text{m}$であるBでの速さはいくらか。

Solution解き方

4.6 m/s

Exercise 48問題 48

The force on a particle of mass 2.0 kg varies with position according to $F\left(x\right)=\mathrm{-3.0}{x}^2$ (x in meters, F(x) in newtons). The particle’s velocity at $x=2.0\text{m}$ is 5.0 m/s. Calculate the mechanical energy of the particle using (a) the origin as the reference point and (b) $x=4.0\text{m}$ as the reference point. (c) Find the particle’s velocity at $x=1.0\text{m}.$ Do this part of the problem for each reference point.

英語のヒント

質量2.0 kgの粒子に働く力は、位置に応じて$F\left(x\right)=\mathrm{-3.0}{x}^2$と変わる。xの単位はm、F(x)の単位はNである。$x=2.0\text{m}$での速度は5.0 m/sである。(a) 原点、(b) $x=4.0\text{m}$を基準点として、粒子の力学的エネルギーを求めよ。(c) $x=1.0\text{m}$での速度を、両方の基準点を使って求めよ。

Exercise 49問題 49

A 4.0-kg particle moving along the x-axis is acted upon by the force whose functional form appears below. The velocity of the particle at $x=0$ is $v=6.0\text{m/s}.$ Find the particle’s speed at $x=\left(\text{a}\right)2.0\text{m},\left(\text{b}\right)4.0\text{m},\left(\text{c}\right)10.0\text{m},\left(\text{d}\right)$ Does the particle turn around at some point and head back toward the origin? (e) Repeat part (d) if $v=2.0\text{m/s}\text{at}x=0.$

英語のヒント

x軸に沿って動く質量4.0 kgの粒子に、下図の関数形の力が働く。$x=0$での速度は$v=6.0\text{m/s}$である。$x=\left(\text{a}\right)2.0\text{m},\left(\text{b}\right)4.0\text{m},\left(\text{c}\right)10.0\text{m},\left(\text{d}\right)$での速さを求めよ。途中のどこかで折り返し、原点へ戻るか。(e) $v=2.0\text{m/s}\text{at}x=0$の場合に(d)を繰り返せ。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

a. 5.6 m/s; b. 5.2 m/s; c. 6.4 m/s; d. no; e. yes

英語のヒント

a. 5.6 m/s、b. 5.2 m/s、c. 6.4 m/s、d. 戻らない、e. 戻る。

Exercise 50問題 50

A particle of mass 0.50 kg moves along the x-axis with a potential energy whose dependence on x is shown below. (a) What is the force on the particle at $x=2.0,5.0,8.0,\text{and}$ 12 m? (b) If the total mechanical energy E of the particle is −6.0 J, what are the minimum and maximum positions of the particle? (c) What are these positions if $E=2.0\text{J?}$ (d) If $E=16\text{J}$, what are the speeds of the particle at the positions listed in part (a)?

英語のヒント

質量0.50 kgの粒子がx軸に沿って動き、位置エネルギーは下図のようにxに依存する。(a) $x=2.0,5.0,8.0,\text{and}$、12 mでの力はいくらか。(b) 全力学的エネルギーEが−6.0 Jなら、粒子がとる位置の最小値と最大値はいくらか。(c) $E=2.0\text{J}$ならどうか。(d) $E=16\text{J}$のとき、(a)の各位置での速さはいくらか。

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Exercise 51問題 51

(a) Sketch a graph of the potential energy function $U\left(x\right)=k{x}^2\text{/}2+A{e}^{\text{−}\alpha x^2},$ where $k,A,\text{and}\alpha$ are constants. (b) What is the force corresponding to this potential energy? (c) Suppose a particle of mass m moving with this potential energy has a velocity $v_a$ when its position is $x=a$. Show that the particle does not pass through the origin unless

英語のヒント

(a) 定数$k,A,\text{and}\alpha$を含む位置エネルギー関数$U\left(x\right)=k{x}^2\text{/}2+A{e}^{\text{−}\alpha x^2}$のグラフを描け。(b) 対応する力は何か。(c) この位置エネルギーのもとで動く質量mの粒子が、位置$x=a$で速度$v_a$をもつとする。次の条件が成り立たない限り、粒子が原点を通過しないことを示せ。

$A\le \frac{m{v}_a{}^2+k{a}^2}{2\left(1-e^{\text{−}\alpha a^2}\right)}.$

Solution解き方

a.

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where $k=0.02,A=1,\alpha =1$; b. $F\left(x\right)=-\frac{dU\left(x\right)}{dx}=-kx+2A\alpha x{e}^{\text{−}\alpha x^2}$; c. The potential energy at $x=0$ must be less than the kinetic plus potential energy at $x=\text{a}$ or $A\le \frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{a}^2+A{e}^{\text{−}\alpha a^2}.$ Solving this for A matches results in the problem.

英語のヒント

ここで$k=0.02,A=1,\alpha =1$。b. $F\left(x\right)=-\frac{dU\left(x\right)}{dx}=-kx+2A\alpha x{e}^{\text{−}\alpha x^2}$。c. $x=0$での位置エネルギーは、$x=\text{a}$での運動エネルギーと位置エネルギーの和より小さい必要がある。すなわち$A\le \frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{a}^2+A{e}^{\text{−}\alpha a^2}$。これをAについて解くと、問題の結果に一致する。