第8章位置エネルギーとエネルギー保存

Summaryまとめ

Energy can be transferred from one system to another and transformed or converted from one type into another. Some of the basic types of energy are kinetic, potential, thermal, and electromagnetic.
英語のヒント
エネルギーは系から別の系へ移され、ある種類から別の種類へ変換される。基本的な種類として、運動、位置、熱、電磁気のエネルギーがある。
Renewable energy sources are those that are replenished by ongoing natural processes, over human time scales. Examples are wind, water, geothermal, and solar power.
英語のヒント
再生可能エネルギー源は、人間の時間尺度で、継続する自然過程によって補充される源である。風、水、地熱、太陽が例である。
Non-renewable energy sources are those that are depleted by consumption, over human time scales. Examples are fossil fuel and nuclear power.
英語のヒント
非再生可能エネルギー源は、人間の時間尺度で、消費によって減る源である。化石燃料と核エネルギーが例である。

Key Equations重要な式

Difference of potential energy 位置エネルギーの差	$Δ U_{A B} = U_{B} - U_{A} = − W_{A B}$
Potential energy with respect to zero of potential energy at ${\vec{r}}_{0}$ ${\vec{r}}_{0}$ でゼロとした位置エネルギー	$Δ U = U (\vec{r}) - U ({\vec{r}}_{0})$
Gravitational potential energy near Earth’s surface 地表付近の重力による位置エネルギー	$U (y) = m g y + const .$ $U (y) = m g y + 定数$
Potential energy for an ideal spring 理想的なばねの位置エネルギー	$U (x) = \frac{1}{2} k x^{2} + const .$ $U (x) = \frac{1}{2} k x^{2} + 定数$
Work done by conservative force over a closed path 閉じた経路に沿って保存力がする仕事	$W_{closed path} = \int {\vec{F}}_{cons} \cdot d \vec{r} = 0$ $W_{閉じた経路} = \int {\vec{F}}_{保存} \cdot d \vec{r} = 0$
Condition for conservative force in two dimensions 2次元で保存力となる条件	$(\frac{d F_{x}}{d y}) = (\frac{d F_{y}}{d x})$
Conservative force is the negative derivative of potential energy 保存力は位置エネルギーの微分の符号を反転したもの	$F_{l} = - \frac{d U}{d l}$
Conservation of energy with no non-conservative forces 非保存力がある場合のエネルギー保存	$0 = W_{n c, A B} = Δ {(K + U)}_{A B} = Δ E_{A B} .$

Problems問題

Exercises 52–68練習問題 52–68

Exercise 52問題 52

In the cartoon movie Pocahontas, Pocahontas runs to the edge of a cliff and jumps off, showcasing the fun side of her personality. (a) If she is running at 3.0 m/s before jumping off the cliff and she hits the water at the bottom of the cliff at 20.0 m/s, how high is the cliff? Assume negligible air drag in this cartoon. (b) If she jumped off the same cliff from a standstill, how fast would she be falling right before she hit the water?

英語のヒント

アニメ映画『ポカホンタス』では、ポカホンタスが崖の縁へ走って飛び降り、快活な一面を見せる。(a) 崖を離れる前の速さが3.0 m/s、下の水面に達する速さが20.0 m/sなら、崖の高さはいくらか。空気抵抗は無視できるとする。(b) 同じ崖から静止状態で飛び降りたら、水面に達する直前の速さはいくらか。

Exercise 53問題 53

In the reality television show “Amazing Race”, a contestant is firing 3.0-kg watermelons from a slingshot to hit targets down the field. The slingshot is pulled back 2.0 m and the watermelon is considered to be at ground level. The launch point is 0.75 m from the ground and the targets are 10 m horizontally away. Calculate the spring constant of the slingshot.

英語のヒント

テレビ番組『Amazing Race』で、出場者がスリングショットから質量3.0 kgのスイカを飛ばし、先にある標的を狙う。スリングショットを2.0 m引き、そのときスイカは地面の高さにあるとする。発射点は地上0.75 m、標的は水平に10 m先にある。スリングショットのばね定数を求めよ。

Solution解き方

490 N/m

Exercise 54問題 54

In the Back to the Future movies, a DeLorean car of mass 1230 kg travels at 88 miles per hour to venture back to the future. (a) What is the kinetic energy of the DeLorean? (b) What spring constant would be needed to stop this DeLorean in a distance of 0.1m?

英語のヒント

映画『バック・トゥ・ザ・フューチャー』では、質量1230 kgのデロリアンが88 mphで走り、未来へ戻る旅に出る。(a) デロリアンの運動エネルギーはいくらか。(b) 0.1 mの距離で止めるには、どれだけのばね定数が必要か。

Exercise 55問題 55

In the Hunger Games movie, Katniss Everdeen fires a 0.0200-kg arrow from ground level to pierce an apple up on a stage. The spring constant of the bow is 330 N/m and she pulls the arrow back a distance of 0.55 m. The apple on the stage is 5.00 m higher than the launching point of the arrow. At what speed does the arrow (a) leave the bow? (b) strike the apple?

英語のヒント

映画『ハンガー・ゲーム』で、カットニス・エヴァディーンが地上から質量0.0200 kgの矢を放ち、舞台上のリンゴを射抜く。弓のばね定数は330 N/mで、矢を0.55 m引く。リンゴは発射点より5.00 m高い。(a) 弓を離れるときと、(b) リンゴに当たるときの矢の速さはいくらか。

Solution解き方

a. 70.6 m/s; b. 69.9 m/s

a. 70.6 m/s、b. 69.9 m/s

Exercise 56問題 56

In a “Top Fail” video, two women run at each other and collide by hitting exercise balls together. If each woman has a mass of 50 kg, which includes the exercise ball, and one woman runs to the right at 2.0 m/s and the other is running toward her at 1.0 m/s, (a) how much total kinetic energy is there in the system? (b) If energy is conserved after the collision and each exercise ball has a mass of 2.0 kg, how fast would the balls fly off toward the camera?

英語のヒント

「Top Fail」の動画で、二人の女性が互いに向かって走り、エクササイズボールをぶつけ合って衝突する。ボール込みの質量はそれぞれ50 kg。一人は右へ2.0 m/s、もう一人は相手へ1.0 m/sで走る。(a) 系の運動エネルギーの合計はいくらか。(b) 衝突後もエネルギーが保存され、各ボールの質量が2.0 kgなら、ボールはカメラへ向かってどれだけの速さで飛ぶか。

Exercise 57問題 57

In a Coyote/Road Runner cartoon clip, a spring expands quickly and sends the coyote into a rock. If the spring extended 5 m and sent the coyote of mass 20 kg to a speed of 15 m/s, (a) what is the spring constant of this spring? (b) If the coyote were sent vertically into the air with the energy given to him by the spring, how high could he go if there were no non-conservative forces?

英語のヒント

コヨーテとロードランナーのアニメでは、ばねが急に伸び、コヨーテを岩へ飛ばす。ばねが5 m伸びて質量20 kgのコヨーテを15 m/sにしたとする。(a) ばね定数はいくらか。(b) 同じエネルギーを与えて鉛直上向きに飛ばし、非保存力がなければ、どれだけの高さまで上がるか。

Solution解き方

a. 180 N/m; b. 11 m

a. 180 N/m、b. 11 m

Exercise 58問題 58

In an iconic movie scene, Forrest Gump runs around the country. If he is running at a constant speed of 3 m/s, would it take him more or less energy to run uphill or downhill and why?

英語のヒント

有名な映画の場面で、フォレスト・ガンプは国中を走る。一定の速さ3 m/sで走るとき、上り坂と下り坂ではどちらが多くのエネルギーを必要とするか。理由も述べよ。

Exercise 59問題 59

In the movie Monty Python and the Holy Grail a cow is catapulted from the top of a castle wall over to the people down below. The gravitational potential energy is set to zero at ground level. The cow is launched from a spring of spring constant

1.1 \times 10^{4} N/m

that is expanded 0.5 m from equilibrium. If the castle is 9.1 m tall and the mass of the cow is 110 kg, (a) what is the gravitational potential energy of the cow at the top of the castle? (b) What is the elastic spring energy of the cow before the catapult is released? (c) What is the speed of the cow right before it lands on the ground?

英語のヒント

映画『モンティ・パイソン・アンド・ホーリー・グレイル』では、牛が城壁の上から、下にいる人々へ投石機で飛ばされる。地面を重力による位置エネルギーのゼロ点とする。牛を飛ばすばねは、ばね定数

1.1 \times 10^{4} N/m

で、つり合いから0.5 m伸びている。城の高さが9.1 m、牛の質量が110 kgのとき、(a) 城の上での重力による位置エネルギー、(b) 発射前の弾性位置エネルギー、(c) 地面に着く直前の速さを求めよ。

Solution解き方

9.8 \times 10^{3} J

; b.

1.4 \times 10^{3} J

; c. 14 m/s

9.8 \times 10^{3} J

、b.

1.4 \times 10^{3} J

、c. 14 m/s

Exercise 60問題 60

A 60.0-kg skier with an initial speed of 12.0 m/s coasts up a 2.50-m high rise as shown. Find her final speed at the top, given that the coefficient of friction between her skis and the snow is 0.80.

英語のヒント

質量60.0 kg、初速度12.0 m/sのスキー選手が、図の高さ2.50 mの坂を惰性で上る。スキーと雪の摩擦係数が0.80のとき、坂の上での速さを求めよ。

平地にいるスキー選手の前方で、地面が水平から35°の角度で上り、その後再び平らになる。高低差は2.5 m。選手の初速度は水平前向きのvi、初期運動エネルギーはKi。坂の上の速度vfは未知。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 61問題 61

(a) How high a hill can a car coast up (engines disengaged) if work done by friction is negligible and its initial speed is 110 km/h? (b) If, in actuality, a 750-kg car with an initial speed of 110 km/h is observed to coast up a hill to a height 22.0 m above its starting point, how much thermal energy was generated by friction? (c) What is the average force of friction if the hill has a slope of

2.5 °

above the horizontal?

英語のヒント

(a) 摩擦の仕事を無視して、初速度110 km/hの車は、エンジンを切り離した惰性走行でどれだけの高さまで上れるか。(b) 実際に質量750 kgの車が、同じ初速度で出発点より22.0 m高いところまで上ったら、摩擦によってどれだけの熱エネルギーが生じたか。(c) 坂の角度が水平から

2.5 °

なら、平均摩擦力はいくらか。

Solution解き方

a. 47.6 m; b.

1.88 \times 10^{5} J

; c. 373 N

a. 47.6 m、b.

1.88 \times 10^{5} J

、c. 373 N

Exercise 62問題 62

5.00 \times 10^{5} -kg

subway train is brought to a stop from a speed of 0.500 m/s in 0.400 m by a large spring bumper at the end of its track. What is the spring constant k of the spring?

英語のヒント

質量

5.00 \times 10^{5} -kg

の地下鉄列車が、線路の端の大きなばね式緩衝器によって、速さ0.500 m/sから0.400 mで止められる。ばね定数kはいくらか。

Exercise 63問題 63

A pogo stick has a spring with a spring constant of

2.5 \times 10^{4} N/m,

which can be compressed 12.0 cm. To what maximum height from the uncompressed spring can a child jump on the stick using only the energy in the spring, if the child and stick have a total mass of 40 kg?

英語のヒント

ホッピングのばね定数は

2.5 \times 10^{4} N/m

で、12.0 cm縮められる。子どもと器具の合計質量が40 kgなら、ばねのエネルギーだけを使って、ばねが縮んでいない位置から最大でどれだけの高さまで跳べるか。

Solution解き方

33.9 cm

Exercise 64問題 64

A block of mass 500 g is attached to a spring of spring constant 80 N/m (see the following figure). The other end of the spring is attached to a support while the mass rests on a rough surface with a coefficient of friction of 0.20 that is inclined at angle of

30 ° .

The block is pushed along the surface till the spring compresses by 10 cm and is then released from rest. (a) How much potential energy was stored in the block-spring-support system when the block was just released? (b) Determine the speed of the block when it crosses the point when the spring is neither compressed nor stretched. (c) Determine the position of the block where it just comes to rest on its way up the incline.

英語のヒント

質量500 gの物体を、ばね定数80 N/mのばねにつなぐ（下図）。ばねのもう一端は支えに固定され、物体は傾斜角

30 °

、摩擦係数0.20の粗い面上にある。ばねが10 cm縮むまで物体を面に沿って押し、静かに放す。(a) 放した瞬間、物体・ばね・支えの系に蓄えられた位置エネルギーはいくらか。(b) ばねが伸びも縮みもしない位置を通るときの速さを求めよ。(c) 斜面を上ってちょうど止まる位置を求めよ。

水平となす角30°の斜面の下部にばねが置かれる。ばねの下端は斜面に固定され、上端は斜面上の物体につながっている。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 65問題 65

A block of mass 200 g is attached at the end of a massless spring at equilibrium length of spring constant 50 N/m. The other end of the spring is attached to the ceiling and the mass is released at a height considered to be where the gravitational potential energy is zero. (a) What is the net potential energy of the block at the instant the block is at the lowest point? (b) What is the net potential energy of the block at the midpoint of its descent? (c) What is the speed of the block at the midpoint of its descent?

英語のヒント

質量200 gの物体を、つり合いの長さにある、ばね定数50 N/mで質量のないばねの端につなぐ。もう一端は天井に固定されている。物体を静かに放す高さを、重力による位置エネルギーのゼロ点とする。(a) 最下点での位置エネルギーの合計はいくらか。(b) 下降距離の中間ではいくらか。(c) その中間点での速さはいくらか。

Solution解き方

a. Zero, since the total energy of the system is zero and the kinetic energy at the lowest point is zero; b. –0.038 J; c. 0.62 m/s

英語のヒント

a. ゼロ。系の全エネルギーがゼロで、最下点の運動エネルギーもゼロだからである。b. −0.038 J、c. 0.62 m/s。

Exercise 66問題 66

A T-shirt cannon launches a shirt at 5.00 m/s from a platform height of 3.00 m from ground level. How fast will the shirt be traveling if it is caught by someone whose hands are (a) 1.00 m from ground level? (b) 4.00 m from ground level? Neglect air drag.

英語のヒント

Tシャツ発射装置が、地上3.00 mの台から5.00 m/sでシャツを発射する。受け取る人の手が、(a) 地上1.00 m、(b) 地上4.00 mにあるとき、受け取られるシャツの速さはいくらか。空気抵抗は無視する。

Exercise 67問題 67

A child (32 kg) jumps up and down on a trampoline. The trampoline exerts a spring restoring force on the child with a constant of 5000 N/m. At the highest point of the bounce, the child is 1.0 m above the level surface of the trampoline. What is the compression distance of the trampoline? Neglect the bending of the legs or any transfer of energy of the child into the trampoline while jumping.

英語のヒント

質量32 kgの子どもがトランポリンで跳ぶ。トランポリンは、ばね定数5000 N/mの復元力を子どもに及ぼす。最高点で子どもは、トランポリンの平らな面より1.0 m上にいる。トランポリンはどれだけ沈み込むか。脚の曲げ伸ばしや、跳ぶ際に子どもからトランポリンへ加えられるエネルギーは無視する。

Solution解き方

42 cm

Exercise 68問題 68

Shown below is a box of mass

m_{1}

that sits on a frictionless incline at an angle above the horizontal

θ = 30 °

. This box is connected by a relatively massless string, over a frictionless pulley, and finally connected to a box at rest over the ledge, labeled

m_{2}

. If

m_{1}

and

m_{2}

are a height h above the ground and

m_{2} >> m_{1}

: (a) What is the initial gravitational potential energy of the system? (b) What is the final kinetic energy of the system when

m_{2}

hits the ground?

英語のヒント

下図の質量

m_{1}

の箱が、水平となす角

θ = 30 °

の摩擦のない斜面にある。箱は質量を無視できる糸で、摩擦のない滑車を介し、崖の外で静止している別の箱

m_{2}

につながる。

m_{1}

と

m_{2}

が地上hの高さにあり、

m_{2} >> m_{1}

のとき、(a) 系の初期の重力による位置エネルギーはいくらか。(b)

m_{2}

が地面に着いたとき、系の運動エネルギーはいくらか。

水平となす角θの上り斜面に物体m₁がある。糸は斜面上端の滑車を越え、鉛直下向きに延びて物体m₂につながる。m₂はどの面にも接していない。

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