第8章位置エネルギーとエネルギー保存

Summaryまとめ

• A conservative force is one for which the work done is independent of path. Equivalently, a force is conservative if the work done over any closed path is zero.

  英語のヒント

  保存力は、そのする仕事が経路によらない力である。同じことを別の形で述べれば、任意の閉じた経路に沿ってする仕事がゼロとなる力である。
• A non-conservative force is one for which the work done depends on the path.

  英語のヒント

  非保存力は、そのする仕事が経路に依存する力である。
• For a conservative force, the infinitesimal work is an exact differential. This implies conditions on the derivatives of the force’s components.

  英語のヒント

  保存力のする微小仕事は完全微分である。このことから、力の成分の微分に条件が課される。
• The component of a conservative force, in a particular direction, equals the negative of the derivative of the potential energy for that force, with respect to a displacement in that direction.

  英語のヒント

  保存力のある方向の成分は、その力の位置エネルギーを同じ方向の変位で微分し、符号を反転したものに等しい。

Conceptual Questions概念に関する問題

Problems問題

Exercises 15–21練習問題 15–21

Exercise 15問題 15

A force $F\left(x\right)=\left(3.0\text{/}x\right)\text{N}$ acts on a particle as it moves along the positive x-axis. (a) How much work does the force do on the particle as it moves from $x=2.0\text{m}$ to $x=5.0\text{m?}$ (b) Why is it not possible to choose $x=\infty$ or $x_0=0$ as the reference point for the potential energy associated with this force?

英語のヒント

粒子がx軸の正の側を動く間、力$F\left(x\right)=\left(3.0\text{/}x\right)\text{N}$が働く。(a) 粒子が$x=2.0\text{m}$から$x=5.0\text{m}$へ動くとき、この力のする仕事はいくらか。(b) この力に対応する位置エネルギーの基準点として、$x=\infty$や$x_0=0$を選べないのはなぜか。

Exercise 16問題 16

A force $F\left(x\right)=\left(\mathrm{-5.0}{x}^2+7.0x\right)\text{N}$ acts on a particle. How much work does the force do on the particle as it moves from $x=2.0\text{m}$ to $x=5.0\text{m?}$

英語のヒント

粒子に力$F\left(x\right)=\left(\mathrm{-5.0}{x}^2+7.0x\right)\text{N}$が働く。粒子が$x=2.0\text{m}$から$x=5.0\text{m}$へ動くとき、この力がする仕事はいくらか。

Solution解き方

$\mathrm{-120}\text{J}$

Exercise 17問題 17

Find the force corresponding to the potential energy $U\left(x\right)=\text{−}a\text{/}x+b\text{/}{x}^2.$

英語のヒント

位置エネルギー$U\left(x\right)=\text{−}a\text{/}x+b\text{/}{x}^2$に対応する力を求めよ。

Exercise 18問題 18

The potential energy function for either one of the two atoms in a diatomic molecule is often approximated by $U\left(x\right)=a\text{/}{x}^{12}-b\text{/}{x}^6$ where x is the distance between the atoms. (a) At what distance of separation does the potential energy have a local minimum (not at $x=\infty )?$ (b) What is the force on an atom at this separation? (c) How does the force vary with the separation distance?

英語のヒント

二原子分子を構成する二つの原子の、どちらか一方の位置エネルギーは、しばしば$U\left(x\right)=a\text{/}{x}^{12}-b\text{/}{x}^6$で近似される。xは原子間距離である。(a) どの距離で位置エネルギーが極小になるか。なお ($x=\infty )$ は除く。(b) その距離で原子に働く力はいくらか。(c) 力は原子間距離とともにどう変化するか。

Solution解き方

a. ${\left(\frac{2a}{b}\right)}^{1\text{/}6}$; b. $0$; c. $\sim x^6$

a. ${\left(\frac{2a}{b}\right)}^{1\text{/}6}$、b. $0$、c. $\sim x^6$

Exercise 19問題 19

A particle of mass $2.0\text{kg}$ moves under the influence of the force $F\left(x\right)=\left(3\text{/}\sqrt{x}\right)\text{N}.$ If its speed at $x=2.0\text{m}$ is $v=6.0\text{m/s,}$ what is its speed at $x=7.0\text{m?}$

英語のヒント

質量$2.0\text{kg}$の粒子が、力$F\left(x\right)=\left(3\text{/}\sqrt{x}\right)\text{N}$を受けて動く。$x=2.0\text{m}$での速さが$v=6.0\text{m/s}$なら、$x=7.0\text{m}$での速さはいくらか。

Exercise 20問題 20

A particle of mass $2.0\text{kg}$ moves under the influence of the force $F\left(x\right)=\left(\mathrm{-5}{x}^2+7x\right)\text{N}.$ If its speed at $x=\mathrm{-4.0}\text{m}$ is $v=20.0\text{m/s,}$ what is its speed at $x=4.0\text{m}?$

英語のヒント

質量$2.0\text{kg}$の粒子が、力$F\left(x\right)=\left(\mathrm{-5}{x}^2+7x\right)\text{N}$を受けて動く。$x=\mathrm{-4.0}\text{m}$での速さが$v=20.0\text{m/s}$なら、$x=4.0\text{m}$での速さはいくらか。

Solution解き方

$14\text{m}\text{/}\text{s}$

Exercise 21問題 21

A crate on rollers is being pushed without frictional loss of energy across the floor of a freight car (see the following figure). The car is moving to the right with a constant speed $v_0.$ If the crate starts at rest relative to the freight car, then from the work-energy theorem, $Fd=m{v}^2\text{/}2,$ where d, the distance the crate moves, and v, the speed of the crate, are both measured relative to the freight car. (a) To an observer at rest beside the tracks, what distance $d\text{′}$ is the crate pushed when it moves the distance d in the car? (b) What are the crate’s initial and final speeds $v_0\text{′}$ and $v\text{′}$ as measured by the observer beside the tracks? (c) Show that $Fd\text{′}=m{\left(v\text{′}\right)}^2\text{/}2-m{\left(v{\text{′}}_0\right)}^2\text{/}2$ and, consequently, that work is equal to the change in kinetic energy in both reference systems.

英語のヒント

ローラーに載せた木箱を、摩擦によるエネルギー損失なしに貨車の床上で押す（下図）。貨車は右へ一定の速さ$v_0$で動く。木箱が貨車に対して静止状態から動き始めるなら、仕事とエネルギーの定理から$Fd=m{v}^2\text{/}2$となる。木箱の移動距離dと速さvは、どちらも貨車に対して測る。(a) 線路脇で静止した観測者から見ると、木箱が貨車内で距離dだけ動く間に、押される距離$d\text{′}$はいくらか。(b) この観測者が測る木箱の初速度$v_0\text{′}$と終速度$v\text{′}$はいくらか。(c) $Fd\text{′}=m{\left(v\text{′}\right)}^2\text{/}2-m{\left(v{\text{′}}_0\right)}^2\text{/}2$を示し、したがって、どちらの基準系でも仕事が運動エネルギーの変化に等しいことを示せ。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典