第8章位置エネルギーとエネルギー保存

Additional Problems追加問題

Exercises 69–89練習問題 69–89

Exercise 69問題 69

A massless spring with force constant

k = 200 N/m

hangs from the ceiling. A 2.0-kg block is attached to the free end of the spring and released. If the block falls 17 cm before starting back upwards, how much work is done by friction during its descent?

英語のヒント

ばね定数

k = 200 N/m

で質量のないばねを天井からつるす。自由端に質量2.0 kgの物体を取り付けて放すと、17 cm落下してから上向きに戻り始める。下降中の摩擦の仕事はいくらか。

Solution解き方

–0.44 J

−0.44 J

Exercise 70問題 70

A particle of mass 2.0 kg moves under the influence of the force

F (x) = (5 x^{2} - 7 x) N .

Suppose a frictional force also acts on the particle. If the particle’s speed when it starts at

x = −4.0 m

is 0.0 m/s and when it arrives at

x = 4.0 m

is 9.0 m/s, how much work is done on it by the frictional force between

x = −4.0 m

and

x = 4.0 m?

英語のヒント

質量2.0 kgの粒子が、力

F (x) = (5 x^{2} - 7 x) N

を受けて動き、摩擦力も働く。

x = −4.0 m

から出発するときの速さが0.0 m/s、

x = 4.0 m

に達したときの速さが9.0 m/sなら、

x = −4.0 m

から

x = 4.0 m

までの摩擦の仕事はいくらか。

Exercise 71問題 71

Block 2 shown below slides along a frictionless table as block 1 falls. Both blocks are attached by a frictionless pulley. Find the speed of the blocks after they have each moved 2.0 m. Assume that they start at rest and that the pulley has negligible mass. Use

m_{1} = 2.0 kg

and

m_{2} = 4.0 kg .

英語のヒント

下図の物体1が落下すると、物体2が摩擦のない台を滑る。二つは摩擦のない滑車を介してつながる。静止状態からそれぞれ2.0 m動いた後の速さを求めよ。滑車の質量は無視し、

m_{1} = 2.0 kg

、

m_{2} = 4.0 kg

とする。

物体1をつるした糸が上の滑車を越え、左へ90°曲がって物体2につながる。物体2は水平面上を右へ滑り、どの面にも接していない物体1は下へ動く。

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Solution解き方

3.6 m/s

Exercise 72問題 72

A body of mass m and negligible size starts from rest and slides down the surface of a frictionless solid sphere of radius R. (See below.) Prove that the body leaves the sphere when

θ = {cos}^{−1} (2 / 3) .

英語のヒント

質量mで大きさを無視できる物体が、半径Rの摩擦のない球の表面を、静止状態から滑り下りる（下図）。

θ = {cos}^{−1} (2 / 3)

のときに物体が球から離れることを証明せよ。

半径Rの球の表面に、物体を二つの位置で示す。頂上と、鉛直から時計回りに角θだけ下った位置で、物体は時計回りに動く。

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Exercise 73問題 73

A mysterious force acts on all particles along a particular line and always points towards a particular point P on the line. The magnitude of the force on a particle increases as the cube of the distance from that point; that is

F \infty r^{3}

, if the distance from P to the position of the particle is r. Let b be the proportionality constant, and write the magnitude of the force as

F = b r^{3}

. Find the potential energy of a particle subjected to this force when the particle is at a distance D from P, assuming the potential energy to be zero when the particle is at P.

英語のヒント

ある直線上のすべての粒子に、不思議な力が働き、常にその直線上の点Pへ向く。力の大きさは、Pから粒子までの距離rの3乗に比例して増え、

F \infty r^{3}

である。比例定数をbとして、大きさを

F = b r^{3}

と書く。Pで位置エネルギーをゼロとすると、Pから距離Dにある粒子の位置エネルギーを求めよ。

Solution解き方

b D^{4} / 4

Exercise 74問題 74

An object of mass 10 kg is released at point A, slides to the bottom of the

30 °

incline, then collides with a horizontal massless spring, compressing it a maximum distance of 0.75 m. (See below.) The spring constant is 500 N/m, the height of the incline is 2.0 m, and the horizontal surface is frictionless. (a) What is the speed of the object at the bottom of the incline? (b) What is the work of friction on the object while it is on the incline? (c) The spring recoils and sends the object back toward the incline. What is the speed of the object when it reaches the base of the incline? (d) What vertical distance does it move back up the incline?

英語のヒント

質量10 kgの物体を点Aで放す。傾斜角

30 °

の斜面を下り、水平な質量のないばねに衝突して、最大0.75 m縮める（下図）。ばね定数は500 N/m、斜面の高さは2.0 mで、水平面には摩擦がない。(a) 斜面最下部での速さはいくらか。(b) 斜面上で摩擦が物体にする仕事はいくらか。(c) ばねが戻り、物体を斜面へ押し返す。斜面のふもとでの速さはいくらか。(d) 斜面を鉛直にどれだけの高さまで上り戻るか。

水平となす角30°の下り斜面の頂上に物体がある。地上からの高さは2.0 m。斜面右側の水平面上にばねがあり、その遠い端は壁に固定される。

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Exercise 75問題 75

Shown below is a small ball of mass m attached to a string of length a. A small peg is located a distance h below the point where the string is supported. If the ball is released when the string is horizontal, show that h must be greater than 3a/5 if the ball is to swing completely around the peg.

英語のヒント

下図のように、長さaの糸に質量mの小球をつなぐ。糸の支点から距離hだけ下に、小さな釘がある。糸が水平な位置から球を放すとき、釘の周りを完全に一周するにはh＞3a/5が必要であることを示せ。

長さaの糸につながれた小球。支点のhだけ下に小さな釘がある。糸が水平な位置から球を放し、円弧に沿って振れる。

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Solution解き方

proof

英語のヒント

証明せよ。

Exercise 76問題 76

A block leaves a frictionless inclined surface horizontally after dropping off by a height h. Find the horizontal distance D where it will land on the floor, in terms of h, H, and g.

英語のヒント

物体が摩擦のない面を高さhだけ下り、水平に飛び出す。床に着くまでの水平距離Dを、h、H、gで表せ。

水平な台よりhだけ高い斜面上端に、静止した物体がある。台の高さは床からH。物体は台上で速度vで右へ動き、端から水平距離Dのところで床に着く。

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Exercise 77問題 77

A block of mass m, after sliding down a frictionless incline, strikes another block of mass M that is attached to a spring of spring constant k (see below). The blocks stick together upon impact and travel together. (a) Find the compression of the spring in terms of m, M, h, g, and k when the combination comes to rest. Hint: The speed of the combined blocks

m + M (v_{2})

is based on the speed of block m just prior to the collision with the block M (v₁) based on the equation

v_{2} = (m / m) + M (v_{1})

. This will be discussed further in the chapter on Linear Momentum and Collisions. (b) The loss of kinetic energy as a result of the bonding of the two masses upon impact is stored in the so-called binding energy of the two masses. Calculate the binding energy.

英語のヒント

質量mの物体が摩擦のない斜面を下り、ばね定数kのばねにつながる質量Mの物体に衝突する（下図）。二つは衝突時にくっつき、その後一緒に動く。(a) 二つの物体が止まるときのばねの縮みを、m、M、h、g、kで表せ。ヒント：合体後の速さ

m + M (v_{2})

は、衝突直前のmの速さv₁と、式

v_{2} = (m / m) + M (v_{1})

で関係する。「運動量と衝突」でさらに詳しく扱う。(b) 衝突で二つが結合したために失われる運動エネルギーは、いわゆる結合エネルギーとして蓄えられる。この結合エネルギーを求めよ。

高さhの斜面上端に、質量mの物体が速度ゼロで置かれる。斜面の右の水平面上には、水平なばねにつながる質量Mの物体があり、ばねの他端は壁に固定される。

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Solution解き方

\sqrt{\frac{2 m^{2} g h}{k (m + M)}}

; b.

\frac{m M g h}{m + M}

\sqrt{\frac{2 m^{2} g h}{k (m + M)}}

、b.

\frac{m M g h}{m + M}

Exercise 78問題 78

A block of mass 300 g is attached to a spring of spring constant 100 N/m. The other end of the spring is attached to a support while the block rests on a smooth horizontal table and can slide freely without any friction. The block is pushed horizontally till the spring compresses by 12 cm, and then the block is released from rest. (a) How much potential energy was stored in the block-spring support system when the block was just released? (b) Determine the speed of the block when it crosses the point when the spring is neither compressed nor stretched. (c) Determine the speed of the block when it has traveled a distance of 20 cm from where it was released.

英語のヒント

質量300 gの物体を、ばね定数100 N/mのばねにつなぐ。ばねの他端は支えに固定され、物体は滑らかな水平な台の上を摩擦なしに動ける。ばねが12 cm縮むまで押し、静かに放す。(a) 放した直後の物体・ばね・支えの系の位置エネルギーはいくらか。(b) ばねが伸びも縮みもしない位置での速さを求めよ。(c) 放した位置から20 cm進んだときの速さを求めよ。

Exercise 79問題 79

Consider a block of mass 0.200 kg attached to a spring of spring constant 100 N/m. The block is placed on a frictionless table, and the other end of the spring is attached to the wall so that the spring is level with the table. The block is then pushed in so that the spring is compressed by 10.0 cm. Find the speed of the block as it crosses (a) the point when the spring is not stretched, (b) 5.00 cm to the left of point in (a), and (c) 5.00 cm to the right of point in (a).

英語のヒント

質量0.200 kgの物体を、ばね定数100 N/mのばねにつなぎ、摩擦のない台に置く。ばねの他端は壁に固定し、台に平行にする。ばねが10.0 cm縮むまで押す。(a) ばねが伸びていない位置、(b) その5.00 cm左、(c) その5.00 cm右を通るときの速さを求めよ。

Solution解き方

a. 2.24 m / s; b. 1.94 m / s; c. 1.94 m / s

Exercise 80問題 80

A skier starts from rest and slides downhill. What will be the speed of the skier if he drops by 20 meters in vertical height? Ignore any air resistance (which will, in reality, be quite a lot), and any friction between the skis and the snow.

英語のヒント

スキー選手が静止状態から坂を下る。鉛直に20 m下がったときの速さはいくらか。実際にはかなり大きい空気抵抗と、スキーと雪の摩擦を無視せよ。

Exercise 81問題 81

Repeat the preceding problem, but this time, suppose that the work done by air resistance cannot be ignored. Let the work done by the air resistance when the skier goes from A to B along the given hilly path be −2000 J. The work done by air resistance is negative since the air resistance acts in the opposite direction to the displacement. Supposing the mass of the skier is 50 kg, what is the speed of the skier at point B?

英語のヒント

前の問題で、今度は空気抵抗の仕事を無視できないとする。指定された起伏のある経路をAからBまで進む間の仕事を−2000 Jとする。空気抵抗が変位と逆向きなので、仕事は負である。選手の質量が50 kgなら、Bでの速さはいくらか。

Solution解き方

18 m/s

Exercise 82問題 82

Two bodies are interacting by a conservative force. Show that the mechanical energy of an isolated system consisting of two bodies interacting with a conservative force is conserved. (Hint: Start by using Newton’s third law and the definition of work to find the work done on each body by the conservative force.)

英語のヒント

二つの物体が保存力で相互作用する。この二物体からなる孤立系では、力学的エネルギーが保存されることを示せ。（ヒント：ニュートンの第三法則と仕事の定義から始め、それぞれの物体に保存力がする仕事を求める。）

Exercise 83問題 83

In an amusement park, a car rolls in a track as shown below. Find the speed of the car at A, B, and C. Note that the work done by the rolling friction is zero since the displacement of the point at which the rolling friction acts on the tires is momentarily at rest and therefore has a zero displacement.

英語のヒント

遊園地の車両が、下図のレールを転がる。A、B、Cでの速さを求めよ。転がり摩擦がタイヤに働く接触点は、その瞬間には静止していて変位がゼロなので、転がり摩擦の仕事はゼロである。

三つの丘をもつジェットコースターのレール。最初の丘が最も高い50 m、二つ目が最も低く、三つ目は40 m。車両は最初の頂上で静止状態から出発する。Aは二つ目と三つ目の間の低い位置で地上20 m、Bは三つ目の頂上で40 m、Cはレール終端付近の地面の高さ。

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Solution解き方

v_{A} = 24 m/s; v_{B} = 14 m/s; v_{C} = 31 m/s

Exercise 84問題 84

A 200-g steel ball is tied to a 2.00-m “massless” string and hung from the ceiling to make a pendulum, and then, the ball is brought to a position making a

30 °

angle with the vertical direction and released from rest. Ignoring the effects of the air resistance, find the speed of the ball when the string (a) is vertically down, (b) makes an angle of

20 °

with the vertical and (c) makes an angle of

10 °

with the vertical.

英語のヒント

質量200 gの鋼球を、質量のない長さ2.00 mの糸で天井からつるして振り子とする。糸が鉛直となす角

30 °

の位置へ持ち上げ、静かに放す。空気抵抗を無視し、糸が(a) 鉛直下向き、(b) 鉛直から

20 °

、(c) 鉛直から

10 °

の角度となるときの球の速さを求めよ。

Exercise 85問題 85

A 300 g hockey puck is shot across an ice-covered pond. Before the hockey puck was hit, the puck was at rest. After the hit, the puck has a speed of 40 m/s. The puck comes to rest after going a distance of 30 m. (a) Describe how the energy of the puck changes over time, giving the numerical values of any work or energy involved. (b) Find the magnitude of the net friction force.

英語のヒント

質量300 gのホッケーパックを、氷の張った池の上で打つ。打つ前は静止し、打った後の速さは40 m/sである。30 m進んで止まる。(a) 関係する仕事やエネルギーの数値を示し、パックのエネルギーが時間とともにどう変わるか説明せよ。(b) 正味の摩擦力の大きさを求めよ。

Solution解き方

a. Loss of energy is

240 N \cdot m

; b.

F = 8 N

英語のヒント

a. エネルギー損失は

240 N \cdot m

。b.

F = 8 N

。

Exercise 86問題 86

A projectile of mass 2 kg is fired with a speed of 20 m/s at an angle of

30 °

with respect to the horizontal. (a) Calculate the initial total energy of the projectile given that the reference point of zero gravitational potential energy at the launch position. (b) Calculate the kinetic energy at the highest vertical position of the projectile. (c) Calculate the gravitational potential energy at the highest vertical position. (d) Calculate the maximum height that the projectile reaches. Compare this result by solving the same problem using your knowledge of projectile motion.

英語のヒント

質量2 kgの投射体を、水平となす角

30 °

、速さ20 m/sで発射する。(a) 発射点を重力による位置エネルギーのゼロ点として、初期の全エネルギーを求めよ。(b) 最高点での運動エネルギー、(c) 最高点での重力による位置エネルギー、(d) 最大の高さを求めよ。投射運動の知識でも同じ問題を解き、結果を比較せよ。

Exercise 87問題 87

An artillery shell is fired at a target 200 m above the ground. When the shell is 100 m in the air, it has a speed of 100 m/s. What is its speed when it hits its target? Neglect air friction.

英語のヒント

砲弾を地上200 mの標的へ発射する。地上100 mでの速さが100 m/sなら、標的に当たるときの速さはいくらか。空気抵抗は無視する。

Solution解き方

89.7 m/s

Exercise 88問題 88

How much energy is lost to a dissipative drag force if a 60-kg person falls at a constant speed for 15 meters?

英語のヒント

質量60 kgの人が一定の速さで15 m落ちるとき、散逸的な抗力によってどれだけのエネルギーが失われるか。

Exercise 89問題 89

A box slides on a frictionless surface with a total energy of 50 J. It hits a spring and compresses the spring a distance of 25 cm from equilibrium. If the same box with the same initial energy slides on a rough surface, it only compresses the spring a distance of 15 cm, how much energy must have been lost by sliding on the rough surface?

英語のヒント

箱が摩擦のない面を全エネルギー50 Jで滑り、ばねに当たってつり合いの位置から25 cm縮める。同じ箱が同じ初期エネルギーで粗い面を滑ると、15 cmしか縮めない。粗い面を滑ったために、どれだけのエネルギーが失われたか。

Solution解き方

32 J

non-renewable

非再生可能

energy source that is not renewable, but is depleted by human consumption

英語のヒント

再生されず、人間の消費によって減るエネルギー源。

renewable

再生可能

energy source that is replenished by natural processes, over human time scales

英語のヒント

人間の時間尺度で、自然過程によって補充されるエネルギー源。