第8章位置エネルギーとエネルギー保存

8.2 Conservative and Non-Conservative Forces8.2　保存力と非保存力

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Characterize a conservative force in several different ways
英語のヒント
保存力をいくつかの異なる方法で特徴付ける。
Specify mathematical conditions that must be satisfied by a conservative force and its components
英語のヒント
保存力とその成分が満たすべき数学的条件を示す。
Relate the conservative force between particles of a system to the potential energy of the system
英語のヒント
系の粒子間に働く保存力を、系の位置エネルギーと関係付ける。
Calculate the components of a conservative force in various cases
英語のヒント
さまざまな場合について、保存力の成分を求める。

In the interactions we considered in Potential Energy and Conservation of Energy, any transition between kinetic and potential energy did not change the total energy of the system. This was path independent, meaning that we can start and stop at any two points in the problem, and the total energy of the system—kinetic plus potential—at these points are equal to each other. This is characteristic of a conservative force. We dealt with conservative forces in the preceding section, such as the gravitational force and spring force. When comparing the motion of the football in Figure 8.2, the total energy of the system never changes, even though the gravitational potential energy of the football increases, as the ball rises relative to ground and falls back to the initial gravitational potential energy when the football player catches the ball. Non-conservative forces and the work that they do are path dependent. Dissipative forces such as friction or air resistance, for example, are non-conservative. These forces take energy away from the system as the system progresses; energy that you can’t get back. Push-pull forces are also generally non-conservative. Imagine pushing a merry-go-round. The total work done in returning to the starting point depends on how many revolutions are completed, and therefore the total energy at that location is not constant.

英語のヒント

「位置エネルギーとエネルギー保存」で考えた相互作用では、運動エネルギーと位置エネルギーが互いに変わっても、系の全エネルギーは変わらなかった。これは経路によらず、問題中の任意の二点を出発点と終点にしても、そこでの全エネルギー、つまり運動エネルギーと位置エネルギーの和は等しい。これが保存力の特徴である。前の節では、重力やばねの力などの保存力を扱った。図8.2のボールの運動では、地面に対して上がると重力による位置エネルギーが増え、選手が捕るときには初めの値へ戻るが、系の全エネルギーは変わらない。非保存力と、そのする仕事は経路に依存する。たとえば摩擦や空気抵抗のような散逸力は非保存力である。これらは系の運動が進むにつれてエネルギーを取り去り、そのエネルギーは取り戻せない。押す力や引く力も一般には非保存力である。回転遊具を押すところを想像しよう。出発点に戻るまでの仕事の合計は、何回転したかに依存する。そのため、その位置での全エネルギーは一定ではない。

Conservative Force保存力

The work done by a conservative force is independent of the path; in other words, the work done by a conservative force is the same for any path connecting two points:

英語のヒント

保存力のする仕事は経路によらない。言い換えると、二点を結ぶ経路がどのようであっても、保存力のする仕事は同じである。

W_{A B, path - 1} = \int_{A B, path - 1} {\vec{F}}_{cons} \cdot d \vec{r} = W_{A B, path - 2} = \int_{A B, path - 2} {\vec{F}}_{cons} \cdot d \vec{r} .

W_{A B, 経路 - 1} = \int_{A B, 経路 - 1} {\vec{F}}_{保存} \cdot d \vec{r} = W_{A B, 経路 - 2} = \int_{A B, 経路 - 2} {\vec{F}}_{保存} \cdot d \vec{r}

(8.8)

The work done by a non-conservative force depends on the path taken.

英語のヒント

非保存力のする仕事は、通った経路に依存する。

Equivalently, a force is conservative if the work it does around any closed path is zero:

英語のヒント

同じことを別の形で述べると、任意の閉じた経路を一周する間に力のする仕事がゼロなら、その力は保存力である。

W_{closed path} = \oint {\vec{F}}_{cons} \cdot d \vec{r} = 0 .

W_{閉じた経路} = \oint {\vec{F}}_{保存} \cdot d \vec{r} = 0

(8.9)

[In Equation 8.9, we use the notation of a circle in the middle of the integral sign for a line integral over a closed path, a notation found in most physics and engineering texts.] Equation 8.8 and Equation 8.9 are equivalent because any closed path is the sum of two paths: the first going from A to B, and the second going from B to A. The work done going along a path from B to A is the negative of the work done going along the same path from A to B, where A and B are any two points on the closed path:

英語のヒント

式8.9では、閉じた経路に沿う線積分を、積分記号の中央に円を付けて表す。物理学や工学の教科書で広く使われる記法である。式8.8と式8.9が同値なのは、どんな閉じた経路も、AからBへの経路と、BからAへの経路の二つを合わせたものだからである。BからAへある経路を進むときの仕事は、同じ経路をAからBへ進むときの仕事の符号を反転したものになる。AとBは閉じた経路上の任意の二点である。

\begin{matrix} 0 = \oint {\vec{F}}_{cons} \cdot d \vec{r} & = \int_{A B, path - 1} {\vec{F}}_{cons} \cdot d \vec{r} + \int_{B A, path - 2} {\vec{F}}_{cons} \cdot d \vec{r} \\ = \int_{A B, path - 1} {\vec{F}}_{cons} \cdot d \vec{r} - \int_{A B, path - 2} {\vec{F}}_{cons} \cdot d \vec{r} = 0 . \end{matrix}

\begin{matrix} 0 = \oint {\vec{F}}_{保存} \cdot d \vec{r} & = \int_{A B, 経路 - 1} {\vec{F}}_{保存} \cdot d \vec{r} + \int_{B A, 経路 - 2} {\vec{F}}_{保存} \cdot d \vec{r} \\ = \int_{A B, 経路 - 1} {\vec{F}}_{保存} \cdot d \vec{r} - \int_{A B, 経路 - 2} {\vec{F}}_{保存} \cdot d \vec{r} = 0 . \end{matrix}

You might ask how we go about proving whether or not a force is conservative, since the definitions involve any and all paths from A to B, or any and all closed paths, but to do the integral for the work, you have to choose a particular path. One answer is that the work done is independent of path if the infinitesimal work

\vec{F} \cdot d \vec{r}

is an exact differential, the way the infinitesimal net work was equal to the exact differential of the kinetic energy,

d W_{net} = m \vec{v} \cdot d \vec{v} = d \frac{1}{2} m v^{2},

英語のヒント

力が保存力かどうかは、どう証明すればよいのだろうか。定義には、AからBへのあらゆる経路、またはあらゆる閉じた経路が含まれるが、仕事を積分するには具体的な経路を選ぶ必要がある。一つの答えは、微小仕事

\vec{F} \cdot d \vec{r}

が完全微分なら、仕事は経路によらないということだ。以前、正味の微小仕事が運動エネルギーの完全微分

d W_{net} = m \vec{v} \cdot d \vec{v} = d \frac{1}{2} m v^{2}

に等しかったのと同じである。

when we derived the work-energy theorem in Work-Energy Theorem. There are mathematical conditions that you can use to test whether the infinitesimal work done by a force is an exact differential, and the force is conservative. These conditions only involve differentiation and are thus relatively easy to apply. In two dimensions, the condition for

\vec{F} \cdot d \vec{r} = F_{x} d x + F_{y} d y

to be an exact differential is

英語のヒント

これは、「仕事とエネルギーの定理」で定理を導いたときに使った。力のする微小仕事が完全微分で、その力が保存力であるかどうかを判定する数学的条件がある。条件には微分だけが現れるので、比較的簡単に適用できる。2次元で

\vec{F} \cdot d \vec{r} = F_{x} d x + F_{y} d y

が完全微分となる条件は、

You may recall that the work done by the force in Example 7.4 depended on the path. For that force,

英語のヒント

例題7.4の力がする仕事は、経路に依存したことを思い出そう。その力については、

F_{x} = (5 N/m) y and F_{y} = (10 N/m) x .

F_{x} = (5 N/m) y および F_{y} = (10 N/m) x

Therefore,

英語のヒント

したがって、

(d F_{x} / d y) = 5 N/m \neq (d F_{y} / d x) = 10 N/m,

which indicates it is a non-conservative force. Can you see what you could change to make it a conservative force?

英語のヒント

となり、この力は非保存力だとわかる。何を変えれば保存力にできるだろうか。

使用中の研削砥石の写真。 — Figure 8.6図 8.6
A grinding wheel applies a non-conservative force, because the work done depends on how many rotations the wheel makes, so it is path-dependent. (credit: modification of work by Grantez Stephens, U.S. Navy)
英語のヒント
研削砥石が加える力は非保存力である。仕事は砥石の回転数に依存し、したがって経路に依存するからだ。（クレジット：米海軍Grantez Stephensの作品を改変）

Example 8.5例題 8.5

Conservative or Not?保存力か、そうでないか

Which of the following two-dimensional forces are conservative and which are not? Assume a and b are constants with appropriate units:

英語のヒント

次の2次元の力のうち、どれが保存力で、どれが非保存力か。aとbは適切な単位をもつ定数とする。

(a)

a x y^{3} \hat{i} + a y x^{3} \hat{j},

(b)

a [(y^{2} / x) \hat{i} + 2 y ln (x / b) \hat{j}],

(c)

\frac{a x \hat{i} + a y \hat{j}}{x^{2} + y^{2}}

(a)

a x y^{3} \hat{i} + a y x^{3} \hat{j}

、(b)

a [(y^{2} / x) \hat{i} + 2 y ln (x / b) \hat{j}]

、(c)

\frac{a x \hat{i} + a y \hat{j}}{x^{2} + y^{2}}

Strategy方針

Apply the condition stated in Equation 8.10, namely, using the derivatives of the components of each force indicated. If the derivative of the y-component of the force with respect to x is equal to the derivative of the x-component of the force with respect to y, the force is a conservative force, which means the path taken for potential energy or work calculations always yields the same results.

英語のヒント

保存力を判定する微分条件を、各力の成分の微分を使って適用する。力のy成分をxで微分したものが、x成分をyで微分したものと等しければ、その力は保存力である。つまり、位置エネルギーや仕事をどの経路で計算しても同じ結果になる。

Solution解答

$\frac{d F_{x}}{d y} = \frac{d (a x y^{3})}{d y} = 3 a x y^{2}$ and $\frac{d F_{y}}{d x} = \frac{d (a y x^{3})}{d x} = 3 a y x^{2}$ , so this force is non-conservative.
英語のヒント
$\frac{d F_{x}}{d y} = \frac{d (a x y^{3})}{d y} = 3 a x y^{2}$ かつ $\frac{d F_{y}}{d x} = \frac{d (a y x^{3})}{d x} = 3 a y x^{2}$ なので、この力は非保存力である。
$\frac{d F_{x}}{d y} = \frac{d (a y^{2} / x)}{d y} = \frac{2 a y}{x}$ and $\frac{d F_{y}}{d x} = \frac{d (2 a y ln (x / b))}{d x} = \frac{2 a y}{x},$ so this force is conservative.
英語のヒント
$\frac{d F_{x}}{d y} = \frac{d (a y^{2} / x)}{d y} = \frac{2 a y}{x}$ かつ $\frac{d F_{y}}{d x} = \frac{d (2 a y ln (x / b))}{d x} = \frac{2 a y}{x}$ なので、この力は保存力である。
$\frac{d F_{x}}{d y} = \frac{d (a x / (x^{2} + y^{2}))}{d y} = - \frac{a x (2 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = \frac{d F_{y}}{d x} = \frac{d (a y / (x^{2} + y^{2}))}{d x},$ again conservative.
英語のヒント
$\frac{d F_{x}}{d y} = \frac{d (a x / (x^{2} + y^{2}))}{d y} = - \frac{a x (2 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = \frac{d F_{y}}{d x} = \frac{d (a y / (x^{2} + y^{2}))}{d x}$ であり、これも保存力である。

Significance考察

The conditions in Equation 8.10 are derivatives as functions of a single variable; in three dimensions, similar conditions exist that involve more derivatives.

英語のヒント

保存力を判定する微分条件では、単一変数の関数として微分した。3次元では、さらに多くの微分を含む同様の条件がある。

Before leaving this section, we note that non-conservative forces do not have potential energy associated with them. There is always a conservative force associated with every potential energy. We have seen that potential energy is defined in relation to the work done by conservative forces. This relation, Equation 8.1, involved an integral for the work; starting with the force and displacement, you integrated to get the work and the change in potential energy. However, integration is the inverse operation of differentiation; you could equally well have started with the potential energy and taken its derivative, with respect to displacement, to get the force. The infinitesimal increment of potential energy is the dot product of the force and the infinitesimal displacement,

英語のヒント

この節を終える前に、非保存力には対応する位置エネルギーがないことを確認しておこう。どの位置エネルギーにも必ず保存力が対応する。位置エネルギーは、保存力のする仕事との関係で定義した。位置エネルギー差と仕事の関係式には仕事の積分があり、力と変位から積分することで、仕事と位置エネルギーの変化を求めた。しかし、積分は微分の逆の操作なので、逆に位置エネルギーから始め、変位で微分して力を求めることもできる。位置エネルギーの微小な増分は、力と微小変位の内積である。

d U = − \vec{F} \cdot d \vec{l} = − F_{l} d l .

Here, we chose to represent the displacement in an arbitrary direction by

d \vec{l},

so as not to be restricted to any particular coordinate direction. We also expressed the dot product in terms of the magnitude of the infinitesimal displacement and the component of the force in its direction. Both these quantities are scalars, so you can divide by dl to get

英語のヒント

ここでは、特定の座標方向に限定しないよう、任意の方向の変位を

d \vec{l}

で表した。また、内積を、微小変位の大きさと、その方向の力の成分で表した。どちらもスカラーなので、dlで割ると、

This equation gives the relation between force and the potential energy associated with it. In words, the component of a conservative force, in a particular direction, equals the negative of the derivative of the corresponding potential energy, with respect to a displacement in that direction. For one-dimensional motion, say along the x-axis, Equation 8.11 give the entire vector force,

\bar{F} = F_{x} \hat{i} = - \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} .

英語のヒント

この式は、力とそれに対応する位置エネルギーとの関係を表す。言葉でいえば、保存力のある方向の成分は、対応する位置エネルギーをその方向の変位で微分し、符号を反転したものに等しい。たとえばx軸に沿う1次元運動では、位置エネルギーから力を求める式によって、力のベクトル全体

\bar{F} = F_{x} \hat{i} = - \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i}

が得られる。

In two dimensions,

英語のヒント

2次元では、

\bar{F} = F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j} = − (\frac{\partial U}{\partial x}) \hat{i} - (\frac{\partial U}{\partial y}) \hat{j} .

From this equation, you can see why Equation 8.11 is the condition for the work to be an exact differential, in terms of the derivatives of the components of the force. In general, a partial derivative notation is used. If a function has many variables in it, the derivative is taken only of the variable the partial derivative specifies. The other variables are held constant. In three dimensions, you add another term for the z-component, and the result is that the force is the negative of the gradient of the potential energy. However, we won’t be looking at three-dimensional examples just yet.

英語のヒント

この式から、位置エネルギーから力を求める式が、力の成分の微分で表した、仕事が完全微分になる条件とどう関係するかがわかる。一般には偏微分の記号を使う。関数に複数の変数がある場合、偏微分で指定された変数についてだけ微分し、ほかの変数は一定に保つ。3次元ではz成分の項を加え、力は位置エネルギーの勾配の符号を反転したものになる。ただし、ここではまだ3次元の例は扱わない。

Example 8.6例題 8.6

Force due to a Quartic Potential Energy4次の位置エネルギーによる力

The potential energy for a particle undergoing one-dimensional motion along the x-axis is

英語のヒント

x軸に沿って1次元運動をする粒子の位置エネルギーは、

U (x) = \frac{1}{4} c x^{4},

where

c = 8 {N/m}^{3} .

Its total energy at

x = 0 is 2 J,

and it is not subject to any non-conservative forces. Find (a) the positions where its kinetic energy is zero and (b) the forces at those positions.

英語のヒント

であり、

c = 8 {N/m}^{3}

とする。

x = 0 is 2 J

での全エネルギーが与えられ、非保存力は働かない。(a) 運動エネルギーがゼロとなる位置と、(b) そこでの力を求めよ。

Strategy方針

(a) We can find the positions where

K = 0,

so the potential energy equals the total energy of the given system. (b) Using Equation 8.11, we can find the force evaluated at the positions found from the previous part, since the mechanical energy is conserved.

英語のヒント

(a)

K = 0

となり、位置エネルギーが系の全エネルギーに等しくなる位置を求める。(b) 力学的エネルギーが保存されるので、位置エネルギーから力を求める式を使い、(a)で求めた位置での力を計算できる。

Solution解答

The total energy of the system of 2 J equals the quartic elastic energy as given in the problem,
英語のヒント
系の全エネルギー2 Jは、問題で与えられた4次の弾性エネルギーに等しい。

$2 J = \frac{1}{4} (8 {N/m}^{3}) x_{f}^{4} .$

Solving for $x_{f}$ results in $x_{f} = ± 1 m .$
英語のヒント
$x_{f}$ について解くと、 $x_{f} = ± 1 m$ となる。
From Equation 8.11,
英語のヒント
位置エネルギーから力を求める式から、

$F_{x} = − d U / d x = − c x^{3} .$

Thus, evaluating the force at $± 1 m$ , we get
英語のヒント
したがって、 $± 1 m$ での力を計算すると、

$\vec{F} = − (8 {N/m}^{3}) {(± 1 m)}^{3} \hat{i} = ± 8 N \hat{i} .$

At both positions, the magnitude of the forces is 8 N and the directions are toward the origin, since this is the potential energy for a restoring force.
英語のヒント
どちらの位置でも、力の大きさは8 N、向きは原点へ向かう。この位置エネルギーは復元力に対応するからである。

Significance考察

Finding the force from the potential energy is mathematically easier than finding the potential energy from the force, because differentiating a function is generally easier than integrating one.

英語のヒント

一般に積分より微分のほうが簡単なので、力から位置エネルギーを求めるより、位置エネルギーから力を求めるほうが数学的には簡単である。

第8章位置エネルギーとエネルギー保存

8.2 Conservative and Non-Conservative Forces8.2 保存力と非保存力

Learning Objectives学習目標

Conservative or Not?保存力か、そうでないか

Strategy方針

Solution解答

Significance考察

Force due to a Quartic Potential Energy4次の位置エネルギーによる力

Strategy方針

Solution解答

Significance考察

8.2 Conservative and Non-Conservative Forces8.2　保存力と非保存力