第4章二次元・三次元の運動

Summaryまとめ

The position function $\vec{r} (t)$ gives the position as a function of time of a particle moving in two or three dimensions. Graphically, it is a vector from the origin of a chosen coordinate system to the point where the particle is located at a specific time.
英語のヒント
位置関数 $\vec{r} (t)$ は、2次元や3次元で動く粒子の位置を時間の関数として与える。図では、選んだ座標系の原点から、ある時刻に粒子が存在する点へ向かうベクトルである。
The displacement vector $Δ \vec{r}$ gives the shortest distance between any two points on the trajectory of a particle in two or three dimensions.
英語のヒント
変位ベクトル $Δ \vec{r}$ は、2次元や3次元の粒子の軌道上にある任意の二点間の最短距離を与える。
Instantaneous velocity gives the speed and direction of a particle at a specific time on its trajectory in two or three dimensions, and is a vector in two and three dimensions.
英語のヒント
瞬間速度は、2次元や3次元の軌道を進む粒子の、特定の時刻における速さと向きを与え、2次元や3次元のベクトルである。
The velocity vector is tangent to the trajectory of the particle.
英語のヒント
速度ベクトルは粒子の軌道に接する。
Displacement $\vec{r} (t)$ can be written as a vector sum of the one-dimensional displacements $\vec{x} (t), \vec{y} (t), \vec{z} (t)$ along the x, y, and z directions.
英語のヒント
変位 $\vec{r} (t)$ は、x、y、z方向の1次元の変位 $\vec{x} (t), \vec{y} (t), \vec{z} (t)$ のベクトル和として書ける。
Velocity $\vec{v} (t)$ can be written as a vector sum of the one-dimensional velocities $v_{x} (t), v_{y} (t), v_{z} (t)$ along the x, y, and z directions.
英語のヒント
速度 $\vec{v} (t)$ は、x、y、z方向の1次元の速度 $v_{x} (t), v_{y} (t), v_{z} (t)$ のベクトル和として書ける。
Motion in any given direction is independent of motion in a perpendicular direction.
英語のヒント
ある方向の運動は、それに垂直な方向の運動から独立している。

Conceptual Questions概念を確かめる問題

Exercises 1–3練習問題 1–3

Exercise 1問題 1

What form does the trajectory of a particle have if the distance from any point A to point B is equal to the magnitude of the displacement from A to B?

英語のヒント

任意の点Aから点Bまでの距離が、AからBへの変位の大きさに等しい場合、粒子の軌道はどのような形か。

Solution解き方

straight line

英語のヒント

直線。

Exercise 2問題 2

Give an example of a trajectory in two or three dimensions caused by independent perpendicular motions.

英語のヒント

互いに垂直で独立した運動から生じる、2次元または3次元の軌道の例を挙げよ。

Exercise 3問題 3

If the instantaneous velocity is zero, what can be said about the slope of the position function?

英語のヒント

瞬間速度が0なら、位置関数の傾きについて何がいえるか。

Solution解き方

The slope must be zero because the velocity vector is tangent to the graph of the position function.

英語のヒント

速度ベクトルは位置関数のグラフに接するため、傾きは0でなければならない。

Problems問題

Exercises 4–12練習問題 4–12

Exercise 4問題 4

The coordinates of a particle in a rectangular coordinate system are (1.0, –4.0, 6.0). What is the position vector of the particle?

英語のヒント

直交座標系での粒子の座標が(1.0, −4.0, 6.0)である。この粒子の位置ベクトルは何か。

Solution解き方

\vec{r} = 1.0 \hat{i} - 4.0 \hat{j} + 6.0 \hat{k}

Exercise 5問題 5

The position of a particle changes from

{\vec{r}}_{1} = (2.0 ​ \hat{i} + 3.0 \hat{j}) cm

{\vec{r}}_{2} = (−4.0 \hat{i} + 3.0 \hat{j}) cm .

What is the particle’s displacement?

英語のヒント

粒子の位置が

{\vec{r}}_{1} = (2.0 ​ \hat{i} + 3.0 \hat{j}) cm

から

{\vec{r}}_{2} = (−4.0 \hat{i} + 3.0 \hat{j}) cm

へ変わる。粒子の変位はいくらか。

Exercise 6問題 6

The 18th hole at Pebble Beach Golf Course is a dogleg to the left of length 496.0 m. The fairway off the tee is taken to be the x direction. A golfer hits his tee shot a distance of 300.0 m, corresponding to a displacement

Δ {\vec{r}}_{1} = 300.0 m \hat{i},

and hits his second shot 189.0 m with a displacement

Δ {\vec{r}}_{2} = 172.0 m \hat{i} + 80.3 m \hat{j} .

What is the final displacement of the golf ball from where it started?

英語のヒント

ペブルビーチ・ゴルフコースの18番ホールは、長さ496.0 mで左へ曲がるドッグレッグである。ティーからのフェアウェイの方向をx方向とする。ゴルファーはティーショットで300.0 m、変位

Δ {\vec{r}}_{1} = 300.0 m \hat{i}

だけ進め、2打目で189.0 m、変位

Δ {\vec{r}}_{2} = 172.0 m \hat{i} + 80.3 m \hat{j}

だけ進める。出発点からのボールの最終変位はいくらか。

Solution解き方

Δ {\vec{r}}_{Total} = 472.0 m \hat{i} + 80.3 m \hat{j}

Δ {\vec{r}}_{総} = 472.0 m \hat{i} + 80.3 m \hat{j}

Exercise 7問題 7

A bird flies straight northeast a distance of 95.0 km for 3.0 h. With the x-axis due east and the y-axis due north, what is the displacement in unit vector notation for the bird? What is the average velocity for the trip?

英語のヒント

鳥が北東へ真っすぐ95.0 kmを3.0 hで飛ぶ。x軸を真東、y軸を真北とし、鳥の変位を単位ベクトルで表せ。この移動の平均速度はいくらか。

Exercise 8問題 8

A cyclist rides 5.0 km due east, then 10.0 km

20 °

west of north. From this point she rides 8.0 km due west. What is the final displacement from where the cyclist started?

英語のヒント

自転車に乗る人が真東へ5.0 km進み、その後、北から西へ

20 °

傾いた方向に10.0 km進む。そこから真西へ8.0 km進む。出発地点からの最終変位はいくらか。

Solution解き方

Sum of displacements = −6.4 km \hat{i} + 9.4 km \hat{j}

変位の和 = −6.4 km \hat{i} + 9.4 km \hat{j}

Exercise 9問題 9

New York Rangers defenseman Daniel Girardi stands at the goal and passes a hockey puck 20 m and

45 °

from straight down the ice to left wing Chris Kreider waiting at the blue line. Kreider waits for Girardi to reach the blue line and passes the puck directly across the ice to him 10 m away. What is the final displacement of the puck? See the following figure.

英語のヒント

ニューヨーク・レンジャースのディフェンス、ダニエル・ジラルディがゴールに立ち、ブルーラインで待つレフトウイングのクリス・クライダーへパックをパスする。パックはリンクを真っすぐ進む方向から

45 °

傾いた方向へ20 m進む。クライダーはジラルディがブルーラインへ達するのを待ち、リンクを横切る方向に10 m離れたジラルディへパックを返す。パックの最終変位はいくらか。次の図を参照せよ。

問題の状況を上から見た図。ゴールとジラルディはxy座標系の原点にいる。x軸の正方向から45°の方向に20 mを表す灰色の矢印があり、その先端近くにクライダーを描く。矢印の先端にはx軸に平行なブルーラインも描く。クライダーの位置から左向きに、10 mを表す2本目の灰色の矢印がある。原点のゴールからこの矢印の先端へ、濃い青色の矢印を描く。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 10問題 10

The position of a particle is

\vec{r} (t) = 4.0 t^{2} \hat{i} - 3.0 \hat{j} + 2.0 t^{3} \hat{k} m .

(a) What is the velocity of the particle at 0 s and at

1.0

s? (b) What is the average velocity between 0 s and

1.0

英語のヒント

粒子の位置は

\vec{r} (t) = 4.0 t^{2} \hat{i} - 3.0 \hat{j} + 2.0 t^{3} \hat{k} m

である。(a)0 sと

1.0

sにおける速度はいくらか。(b)0 sから

1.0

sの間の平均速度はいくらか。

Solution解き方

\vec{v} (t) = 8.0 t \hat{i} + 6.0 t^{2} \hat{k}, \vec{v} (0) = 0, \vec{v} (1.0) = 8.0 \hat{i} + 6.0 \hat{k} m/s

,
b.

{\vec{v}}_{avg} = 4.0 ​ \hat{i} + 2.0 \hat{k} m/s

(a)

\vec{v} (t) = 8.0 t \hat{i} + 6.0 t^{2} \hat{k}, \vec{v} (0) = 0, \vec{v} (1.0) = 8.0 \hat{i} + 6.0 \hat{k} m/s

。(b)

{\vec{v}}_{avg} = 4.0 ​ \hat{i} + 2.0 \hat{k} m/s

。

Exercise 11問題 11

Clay Matthews, a linebacker for the Green Bay Packers, can reach a speed of 10.0 m/s. At the start of a play, Matthews runs downfield at

45 °

with respect to the 50-yard line and covers 8.0 m in 1 s. He then runs straight down the field at

90 °

with respect to the 50-yard line for 12 m, with an elapsed time of 1.2 s. (a) What is Matthews’ final displacement from the start of the play? (b) What is his average velocity?

英語のヒント

グリーンベイ・パッカーズのラインバッカー、クレイ・マシューズは速さ10.0 m/sに達することができる。プレー開始時に、50ヤードラインに対して

45 °

の方向へ走り、1 sで8.0 m進む。次に、50ヤードラインに対して

90 °

の方向へ真っすぐ走り、1.2 sで12 m進む。(a)プレー開始地点からの最終変位はいくらか。(b)平均速度はいくらか。

Exercise 12問題 12

The F-35B Lighting II is a short-takeoff and vertical landing fighter jet. If it does a vertical takeoff to 20.00-m height above the ground and then follows a flight path angled at

30 °

with respect to the ground for 20.00 km, what is the final displacement?

英語のヒント

F-35BライトニングIIは、短距離離陸・垂直着陸ができる戦闘機である。地上20.00 mまで垂直に離陸し、続いて地面に対して

30 °

傾いた飛行経路を20.00 km進むと、最終変位はいくらか。

Solution解き方

Δ {\vec{r}}_{1} = 20.00 m \hat{j}, Δ {\vec{r}}_{2} = (2.000 \times 10^{4} m) (cos 30 ° \hat{i} + sin 30 ° \hat{j})

Δ \vec{r} = 1.700 \times 10^{4} m \hat{i} + 1.002 \times 10^{4} m \hat{j}

displacement vector

変位ベクトル

vector from the initial position to a final position on a trajectory of a particle

英語のヒント

粒子の軌道上の初期位置から最終位置へ向かうベクトル。

position vector

位置ベクトル

vector from the origin of a chosen coordinate system to the position of a particle in two- or three-dimensional space

英語のヒント

選んだ座標系の原点から、2次元または3次元空間内の粒子の位置へ向かうベクトル。

velocity vector

速度ベクトル

vector that gives the instantaneous speed and direction of a particle; tangent to the trajectory

英語のヒント

粒子の瞬間の速さと向きを示し、軌道に接するベクトル。