第4章二次元・三次元の運動

Summaryまとめ

In two and three dimensions, the acceleration vector can have an arbitrary direction and does not necessarily point along a given component of the velocity.
英語のヒント
2次元や3次元の加速度ベクトルは任意の向きを取り、必ずしも速度の特定の成分の向きを指すとは限らない。
The instantaneous acceleration is produced by a change in velocity taken over a very short (infinitesimal) time period. Instantaneous acceleration is a vector in two or three dimensions. It is found by taking the derivative of the velocity function with respect to time.
英語のヒント
瞬間加速度は、非常に短い（無限小の）時間間隔における速度の変化から得られる。2次元や3次元のベクトルであり、速度関数を時間で微分して求める。
In three dimensions, acceleration $\vec{a} (t)$ can be written as a vector sum of the one-dimensional accelerations $a_{x} (t), a_{y} (t), and a_{z} (t)$ along the x-, y-, and z-axes.
英語のヒント
3次元では、加速度 $\vec{a} (t)$ を、x軸、y軸、z軸に沿う1次元の加速度 $a_{x} (t), a_{y} (t), および a_{z} (t)$ のベクトル和として書ける。
The kinematic equations for constant acceleration can be written as the vector sum of the constant acceleration equations in the x, y, and z directions.
英語のヒント
等加速度運動の式は、x、y、z各方向の等加速度運動の式のベクトル和として書ける。

Conceptual Questions概念を確かめる問題

Exercises 13–15練習問題 13–15

Exercise 13問題 13

If the position function of a particle is a linear function of time, what can be said about its acceleration?

英語のヒント

粒子の位置関数が時間の1次関数である場合、加速度について何がいえるか。

Exercise 14問題 14

If an object has a constant x-component of the velocity and suddenly experiences an acceleration in the y direction, does the x-component of its velocity change?

英語のヒント

速度のx成分が一定の物体が、突然y方向の加速度を受けたとき、速度のx成分は変わるか。

Solution解き方

No, motions in perpendicular directions are independent.

英語のヒント

変わらない。垂直な方向の運動は独立している。

Exercise 15問題 15

If an object has a constant x-component of velocity and suddenly experiences an acceleration at an angle of

70 °

in the x direction, does the x-component of velocity change?

英語のヒント

速度のx成分が一定の物体が、突然x方向に対して角度

70 °

の加速度を受けたとき、速度のx成分は変わるか。

Problems問題

Exercises 16–22練習問題 16–22

Exercise 16問題 16

The position of a particle is

\vec{r} (t) = (3.0 t^{2} \hat{i} + 5.0 \hat{j} - 6.0 t \hat{k}) m .

(a) Determine its velocity and acceleration as functions of time. (b) What are its velocity and acceleration at time t = 0?

英語のヒント

粒子の位置は

\vec{r} (t) = (3.0 t^{2} \hat{i} + 5.0 \hat{j} - 6.0 t \hat{k}) m

である。(a)速度と加速度を時間の関数として求めよ。(b)t = 0での速度と加速度は何か。

Exercise 17問題 17

A particle’s acceleration is

(4.0 \hat{i} + 3.0 \hat{j}) m/ s^{2} .

At t = 0, its position and velocity are zero. (a) What are the particle’s position and velocity as functions of time? (b) Find the equation of the path of the particle. Draw the x- and y-axes and sketch the trajectory of the particle.

英語のヒント

粒子の加速度は

(4.0 \hat{i} + 3.0 \hat{j}) m/ s^{2}

である。t = 0で、位置と速度は0である。(a)位置と速度を時間の関数として求めよ。(b)粒子の経路の方程式を求めよ。x軸とy軸を描き、軌道の概形を示せ。

Solution解き方

\vec{v} (t) = (4.0 t \hat{i} + 3.0 t \hat{j}) m/s,

\vec{r} (t) = (2.0 t^{2} \hat{i} + \frac{3}{2} t^{2} \hat{j}) m

,
b.

x (t) = 2.0 t^{2} m, y (t) = \frac{3}{2} t^{2} m, t^{2} = \frac{x}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{4} x

(a)

\vec{v} (t) = (4.0 t \hat{i} + 3.0 t \hat{j}) m/s

\vec{r} (t) = (2.0 t^{2} \hat{i} + \frac{3}{2} t^{2} \hat{j}) m

。(b)

x (t) = 2.0 t^{2} m, y (t) = \frac{3}{2} t^{2} m, t^{2} = \frac{x}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{4} x

。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Exercise 18問題 18

A boat leaves the dock at t = 0 and heads out into a lake with an acceleration of

2.0 m/ s^{2} \hat{i} .

A strong wind is pushing the boat, giving it an additional velocity of

2.0 m/s \hat{i} + 1.0 m/s \hat{j} .

(a) What is the velocity of the boat at t = 10 s? (b) What is the position of the boat at t = 10s? Draw a sketch of the boat’s trajectory and position at t = 10 s, showing the x- and y-axes.

英語のヒント

ボートがt = 0に桟橋を離れ、加速度

2.0 m/ s^{2} \hat{i}

で湖へ進み出る。強い風がボートを押し、速度

2.0 m/s \hat{i} + 1.0 m/s \hat{j}

を加える。(a)t = 10 sでの速度は何か。(b)t = 10 sでの位置は何か。x軸とy軸を示し、ボートの軌道とt = 10 sでの位置の略図を描け。

Exercise 19問題 19

The position of a particle for t > 0 is given by

\vec{r} (t) = (3.0 t^{2} \hat{i} - 7.0 t^{3} \hat{j} - 5.0 t^{−2} \hat{k}) m .

(a) What is the velocity as a function of time? (b) What is the acceleration as a function of time? (c) What is the particle’s velocity at t = 2.0 s? (d) What is its speed at t = 1.0 s and t = 3.0 s? (e) What is the average velocity between t = 1.0 s and t = 2.0 s?

英語のヒント

t > 0での粒子の位置が

\vec{r} (t) = (3.0 t^{2} \hat{i} - 7.0 t^{3} \hat{j} - 5.0 t^{−2} \hat{k}) m

で与えられる。(a)速度を時間の関数として求めよ。(b)加速度を時間の関数として求めよ。(c)t = 2.0 sでの速度は何か。(d)t = 1.0 sとt = 3.0 sでの速さはいくらか。(e)t = 1.0 sからt = 2.0 sの間の平均速度は何か。

Solution解き方

\vec{v} (t) = (6.0 t \hat{i} - 21.0 t^{2} \hat{j} + 10.0 t^{−3} \hat{k}) m/s

\vec{a} (t) = (6.0 \hat{i} - 42.0 t \hat{j} - 30 t^{−4} \hat{k}) m/ s^{2}

\vec{v} (2.0 s) = (12.0 \hat{i} - 84.0 \hat{j} + 1.25 \hat{k}) m/s

\vec{v} (1.0 s) = 6.0 \hat{i} - 21.0 \hat{j} + 10.0 \hat{k} m/s, | \vec{v} (1.0 s) | = 24.0 m/s

\vec{v} (3.0 s) = 18.0 \hat{i} - 189.0 \hat{j} + 0.37 \hat{k} m/s,

| \vec{v} (3.0 s) | = 190 m/s

\vec{r} (t) = (3.0 t^{2} \hat{i} - 7.0 t^{3} \hat{j} - 5.0 t^{−2} \hat{k}) m

{\vec{v}}_{avg} = 9.0 \hat{i} - 49.0 \hat{j} + 3.75 \hat{k} m/s

(a)

\vec{v} (t) = (6.0 t \hat{i} - 21.0 t^{2} \hat{j} + 10.0 t^{−3} \hat{k}) m/s

。(b)

\vec{a} (t) = (6.0 \hat{i} - 42.0 t \hat{j} - 30 t^{−4} \hat{k}) m/ s^{2}

。(c)

\vec{v} (2.0 s) = (12.0 \hat{i} - 84.0 \hat{j} + 1.25 \hat{k}) m/s

。(d)

\vec{v} (1.0 s) = 6.0 \hat{i} - 21.0 \hat{j} + 10.0 \hat{k} m/s, | \vec{v} (1.0 s) | = 24.0 m/s

、

\vec{v} (3.0 s) = 18.0 \hat{i} - 189.0 \hat{j} + 0.37 \hat{k} m/s

| \vec{v} (3.0 s) | = 190 m/s

。(e)

\vec{r} (t) = (3.0 t^{2} \hat{i} - 7.0 t^{3} \hat{j} - 5.0 t^{−2} \hat{k}) m

、

{\vec{v}}_{avg} = 9.0 \hat{i} - 49.0 \hat{j} + 3.75 \hat{k} m/s

。

Exercise 20問題 20

The acceleration of a particle is a constant. At t = 0 the velocity of the particle is

(10 \hat{i} + 20 \hat{j}) m/s .

At t = 4 s the velocity is

10 \hat{j} m/s .

(a) What is the particle’s acceleration? (b) How do the position and velocity vary with time? Assume the particle is initially at the origin.

英語のヒント

粒子の加速度は一定である。t = 0での速度は

(10 \hat{i} + 20 \hat{j}) m/s

、t = 4 sでの速度は

10 \hat{j} m/s

である。(a)粒子の加速度は何か。(b)位置と速度は時間とともにどう変わるか。粒子は初めに原点にあるとする。

Exercise 21問題 21

A particle has a position function

\vec{r} (t) = cos (1.0 t) \hat{i} + sin (1.0 t) \hat{j} + t \hat{k},

where the arguments of the cosine and sine functions are in radians. (a) What is the velocity vector? (b) What is the acceleration vector?

英語のヒント

粒子の位置関数は

\vec{r} (t) = cos (1.0 t) \hat{i} + sin (1.0 t) \hat{j} + t \hat{k}

であり、余弦と正弦の関数の引数はラジアンで表す。(a)速度ベクトルは何か。(b)加速度ベクトルは何か。

Solution解き方

\vec{v} (t) = −sin (1.0 t) \hat{i} + cos (1.0 t) \hat{j} + \hat{k}

, b.

\vec{a} (t) = −cos (1.0 t) \hat{i} - sin (1.0 t) \hat{j}

(a)

\vec{v} (t) = −sin (1.0 t) \hat{i} + cos (1.0 t) \hat{j} + \hat{k}

。(b)

\vec{a} (t) = −cos (1.0 t) \hat{i} - sin (1.0 t) \hat{j}

。

Exercise 22問題 22

A Lockheed Martin F-35 II Lighting jet takes off from an aircraft carrier with a runway length of 90 m and a takeoff speed 70 m/s at the end of the runway. Jets are catapulted into airspace from the deck of an aircraft carrier with two sources of propulsion: the jet propulsion and the catapult. At the point of leaving the deck of the aircraft carrier, the F-35’s acceleration decreases to a constant acceleration of

5.0 m/ s^{2}

30 °

with respect to the horizontal. (a) What is the initial acceleration of the F-35 on the deck of the aircraft carrier to make it airborne? (b) Write the position and velocity of the F-35 in unit vector notation from the point it leaves the deck of the aircraft carrier. (c) At what altitude is the fighter 5.0 s after it leaves the deck of the aircraft carrier? (d) What is its velocity and speed at this time? (e) How far has it traveled horizontally?

英語のヒント

ロッキード・マーティンのF-35 IIライトニングが、長さ90 mの滑走路を持つ空母から、滑走路の端で速さ70 m/sとなって離陸する。ジェット機は、ジェット推進とカタパルトの二つの推進源によって、空母の甲板から空中へ射出される。甲板を離れた地点で、F-35の加速度は、水平方向に対して

30 °

の向きを持つ一定の加速度

5.0 m/ s^{2}

へ減少する。(a)空中へ浮かぶために必要な、甲板上での初めの加速度はいくらか。(b)甲板を離れる地点からの位置と速度を、単位ベクトルで表せ。(c)甲板を離れて5.0 s後の高度はいくらか。(d)その時刻の速度と速さは何か。(e)水平方向へどれだけ進んだか。

acceleration vector

加速度ベクトル

instantaneous acceleration found by taking the derivative of the velocity function with respect to time in unit vector notation

英語のヒント

単位ベクトルで表した速度関数を時間で微分して得る瞬間加速度。