第4章二次元・三次元の運動

4.3 Projectile Motion4.3　放物運動

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Use one-dimensional motion in perpendicular directions to analyze projectile motion.
英語のヒント
互いに垂直な方向の1次元運動を使って、放物運動を分析する。
Calculate the range, time of flight, and maximum height of a projectile that is launched and impacts a flat, horizontal surface.
英語のヒント
平らな水平面で発射され、同じ面へ衝突する投射体の、水平到達距離、飛行時間、最高到達点の高さを計算する。
Find the time of flight and impact velocity of a projectile that lands at a different height from that of launch.
英語のヒント
発射時と異なる高さへ着地する投射体の、飛行時間と衝突時の速度を求める。
Calculate the trajectory of a projectile.
英語のヒント
投射体の軌道を計算する。

Projectile motion is the motion of an object thrown or projected into the air, subject only to acceleration as a result of gravity. The applications of projectile motion in physics and engineering are numerous. Some examples include meteors as they enter Earth’s atmosphere, fireworks, and the motion of any ball in sports. Such objects are called projectiles and their path is called a trajectory. The motion of falling objects as discussed in Motion Along a Straight Line is a simple one-dimensional type of projectile motion in which there is no horizontal movement. In this section, we consider two-dimensional projectile motion, and our treatment neglects the effects of air resistance.

英語のヒント

放物運動とは、空中へ投げ出されたり打ち出されたりした物体が、重力による加速度だけを受けて動く運動である。物理学や工学には数多くの応用がある。例えば、地球の大気へ入る流星、花火、スポーツのボールの運動が挙げられる。このような物体を投射体、その経路を軌道という。「直線に沿う運動」で扱った落下運動は、水平運動のない、単純な1次元の放物運動である。本節では2次元の放物運動を考え、空気抵抗の影響を無視する。

The most important fact to remember here is that motions along perpendicular axes are independent and thus can be analyzed separately. We discussed this fact in Displacement and Velocity Vectors, where we saw that vertical and horizontal motions are independent. The key to analyzing two-dimensional projectile motion is to break it into two motions: one along the horizontal axis and the other along the vertical. (This choice of axes is the most sensible because acceleration resulting from gravity is vertical; thus, there is no acceleration along the horizontal axis when air resistance is negligible.) As is customary, we call the horizontal axis the x-axis and the vertical axis the y-axis. It is not required that we use this choice of axes; it is simply convenient in the case of gravitational acceleration. In other cases we may choose a different set of axes. Figure 4.11 illustrates the notation for displacement, where we define

\vec{s}

to be the total displacement, and

\vec{x}

and

\vec{y}

are its component vectors along the horizontal and vertical axes, respectively. The magnitudes of these vectors are s, x, and y.

英語のヒント

ここで覚えておくべき最も重要な事実は、互いに垂直な各軸に沿う運動は独立しており、別々に分析できるということである。「変位ベクトルと速度ベクトル」でこの点を論じ、水平運動と鉛直運動が独立していることを見た。2次元の放物運動を分析する鍵は、水平軸に沿う運動と鉛直軸に沿う運動に分けることである。（重力加速度が鉛直なので、これは最も自然な軸の取り方である。空気抵抗が無視できれば、水平軸に沿う加速度は0になる。）慣例どおり、水平軸をx軸、鉛直軸をy軸と呼ぶ。この軸の選び方が必須なのではなく、重力加速度を扱う場合に便利なのである。別の状況では異なる軸を選んでもよい。図4.11に変位の記法を示す。

\vec{s}

を総変位とし、

\vec{x}

と

\vec{y}

を、それぞれ水平軸と鉛直軸に沿う成分ベクトルと定める。これらのベクトルの大きさはs、x、yである。

サッカー選手がボールを蹴る図。選手の足がxy座標系の原点にある。ボールの放物線の軌道と、六つの時刻の位置を示す。ベクトルsは原点から最後の位置までの変位である。sとそのx成分、y成分が直角三角形を作り、sが斜辺となる。x軸とsの間の角はφである。 — Figure 4.11図 4.11
The total displacement s of a soccer ball at a point along its path. The vector $\vec{s}$ has components $\vec{x}$ and $\vec{y}$ along the horizontal and vertical axes. Its magnitude is s and it makes an angle Φ with the horizontal.
英語のヒント
サッカーボールが経路上のある点まで進んだ総変位s。ベクトル $\vec{s}$ は、水平軸と鉛直軸に沿う成分 $\vec{x}$ 、 $\vec{y}$ を持つ。大きさはsで、水平方向となす角はΦである。

To describe projectile motion completely, we must include velocity and acceleration, as well as displacement. We must find their components along the x- and y-axes. Let’s assume all forces except gravity (such as air resistance and friction, for example) are negligible. Defining the positive direction to be upward, the components of acceleration are then very simple:

英語のヒント

放物運動を完全に記述するには、変位に加えて速度と加速度も含め、x軸とy軸に沿う各成分を求めなければならない。空気抵抗や摩擦など、重力以外の力はすべて無視できるとしよう。上向きを正とすると、加速度の成分は非常に簡単になる。

a_{y} = − g = −9.8 m / s^{2} (- 32 ft / s^{2}) .

Because gravity is vertical,

a_{x} = 0 .

a_{x} = 0,

this means the initial velocity in the x direction is equal to the final velocity in the x direction, or

v_{x} = v_{0 x} .

With these conditions on acceleration and velocity, we can write the kinematic Equation 4.11 through Equation 4.18 for motion in a uniform gravitational field, including the rest of the kinematic equations for a constant acceleration from Motion with Constant Acceleration. The kinematic equations for motion in a uniform gravitational field become kinematic equations with

a_{y} = − g, a_{x} = 0 :

英語のヒント

重力は鉛直方向なので

a_{x} = 0

である。

a_{x} = 0

なら、x方向の初速度と最終速度は等しく、

v_{x} = v_{0 x}

となる。加速度と速度に関するこれらの条件を使い、式4.11から式4.18を一様な重力場中の運動へ書き換えられる。「等加速度運動」で導いた残りの運動学の式も同様である。一様な重力場での運動学の式は、

a_{y} = − g, a_{x} = 0 :

とした式になる。

Horizontal Motion

英語のヒント

水平運動

v_{0 x} = v_{x}, x = x_{0} + v_{x} t

(4.19)

Vertical Motion

英語のヒント

鉛直運動

y = y_{0} + \frac{1}{2} (v_{0 y} + v_{y}) t

(4.20)

v_{y} = v_{0 y} - g t

(4.21)

y = y_{0} + v_{0 y} t - \frac{1}{2} g t^{2}

(4.22)

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} - 2 g (y - y_{0})

(4.23)

Using this set of equations, we can analyze projectile motion, keeping in mind some important points.

英語のヒント

この式の組を使い、いくつかの重要な点に注意しながら放物運動を分析できる。

Projectile Motion放物運動

Resolve the motion into horizontal and vertical components along the x- and y-axes. The magnitudes of the components of displacement $\vec{s}$ along these axes are x and y. The magnitudes of the components of velocity $\vec{v}$ are $v_{x} = v cos θ and v_{y} = v sin θ,$ where v is the magnitude of the velocity and θ is its direction relative to the horizontal, as shown in Figure 4.12.
英語のヒント
運動をx軸とy軸に沿う水平成分と鉛直成分へ分解する。変位 $\vec{s}$ の各軸に沿う成分の大きさはxとyである。速度 $\vec{v}$ の成分の大きさは $v_{x} = v cos θ および v_{y} = v sin θ$ である。vは速度の大きさ、θは水平方向に対する向きであり、図4.12に示す。
Treat the motion as two independent one-dimensional motions: one horizontal and the other vertical. Use the kinematic equations for horizontal and vertical motion presented earlier.
英語のヒント
運動を、水平と鉛直の二つの独立した1次元運動として扱う。先ほど示した水平運動と鉛直運動の運動学の式を使う。
Solve for the unknowns in the two separate motions: one horizontal and one vertical. Note that the only common variable between the motions is time t. The problem-solving procedures here are the same as those for one-dimensional kinematics and are illustrated in the following solved examples.
英語のヒント
水平と鉛直の二つの別々の運動について、未知量を求める。両方の運動に共通する変数は時間tだけであることに注意しよう。問題を解く手順は1次元の運動学と同じで、次の例題で示す。
Recombine quantities in the horizontal and vertical directions to find the total displacement $\vec{s}$ and velocity $\vec{v} .$ Solve for the magnitude and direction of the displacement and velocity using
英語のヒント
水平と鉛直の量を再び組み合わせ、全体の変位 $\vec{s}$ と速度 $\vec{v}$ を求める。変位と速度の大きさと向きは、次の式で求める。

$s = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, Φ = {tan}^{−1} (y / x), v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}},$

where Φ is the direction of the displacement $\vec{s} .$
英語のヒント
ここでΦは変位 $\vec{s}$ の向きである。

(a)xy座標系に、投射体の十の時刻での位置と速度を示す。原点での速度v0yは水平となす角θ0を持つ。速度は濃い青、x成分とy成分は薄い青の矢印で示す。軌道は下向きに開いた放物線で、最高点まで上がった後にy = 0へ戻り、さらにx軸より下へ続く。各時刻の速度vは、時間とともに変わる角θを持ち、成分はvx、vyである。vxは常に一定。vyは初め上向きで徐々に小さくなり、最高点では0となって速度は水平になる。その後は下向きで徐々に大きくなる。下降中に上昇時と同じ高さを通るとき、速度が水平より下へ傾く角θは、上昇時に水平より上へ傾いていた角と等しい。特にy = 0へ戻ると、速度と水平のなす角は−θ0、鉛直成分は−v0yとなる。最後に示す位置はx軸より下で、鉛直速度成分の大きさは初めより大きい。各時間区間の水平移動距離は等しいが、鉛直移動距離は上昇中に減り、下降中に増える。 (b)水平成分の等速度運動を示す。水平な線上の位置は等間隔で、速度のx成分はすべて同じ大きさの右向き。(c)鉛直成分の等加速度運動を示す。鉛直な線上の位置の間隔は上昇中に狭まり、下降中に広がる。速度のy成分は初め上向きで大きさが減り、最高点で0となる。その後は下向きで大きさが増す。(d)(b)と(c)の水平成分と鉛直成分を合わせると、ある点での全体の速度が得られる。速度vはx成分vx、y成分vyを持ち、水平との角はθである。この図ではy成分は下向きである。 — Figure 4.12図 4.12
(a) We analyze two-dimensional projectile motion by breaking it into two independent one-dimensional motions along the vertical and horizontal axes. (b) The horizontal motion is simple, because $a_{x} = 0$ and $v_{x}$ is a constant. (c) The velocity in the vertical direction begins to decrease as the object rises. At its highest point, the vertical velocity is zero. As the object falls toward Earth again, the vertical velocity increases again in magnitude but points in the opposite direction to the initial vertical velocity. (d) The x and y motions are recombined to give the total velocity at any given point on the trajectory.
英語のヒント
(a)2次元の放物運動を、水平軸と鉛直軸に沿う二つの独立した1次元運動に分けて分析する。(b) $a_{x} = 0$ で $v_{x}$ は一定なので、水平運動は単純である。(c)上昇すると鉛直速度は小さくなり、最高点で0となる。再び地球へ向かって落ちると、鉛直速度の大きさは増えるが、向きは初めの鉛直速度と反対になる。(d)x方向とy方向の運動を再び組み合わせると、軌道上の任意の点での全体の速度が得られる。

Example 4.7例題 4.7

A Fireworks Projectile Explodes High and Away高く遠くで開く打ち上げ花火

During a fireworks display, a shell is shot into the air with an initial speed of 70.0 m/s at an angle of

75.0 °

above the horizontal, as illustrated in Figure 4.13. The fuse is timed to ignite the shell just as it reaches its highest point above the ground. (a) Calculate the height at which the shell explodes. (b) How much time passes between the launch of the shell and the explosion? (c) What is the horizontal displacement of the shell when it explodes? (d) What is the total displacement from the point of launch to the highest point?

英語のヒント

花火大会で、花火の玉が初速70.0 m/s、水平方向から上へ

75.0 °

の角度で打ち出される（図4.13）。導火線は、玉が地上の最高点へ達した瞬間に点火するよう調整されている。(a)玉が破裂する高さを求めよ。(b)打ち上げから破裂までにどれだけの時間がかかるか。(c)破裂時の水平変位はいくらか。(d)打ち上げ地点から最高点までの総変位は何か。

花火の玉の打ち上げから最高点までの軌道を、xに対するyのグラフで、下向きに開いた放物線の左半分として示す。最高点はh = 233 mで、そのときの水平変位はx = 125 m。初速度ベクトルv0は右上向きで軌道に接し、角θ0 = 75°をなす。 — Figure 4.13図 4.13
The trajectory of a fireworks shell. The fuse is set to explode the shell at the highest point in its trajectory, which is found to be at a height of 233 m and 125 m away horizontally.
英語のヒント
花火の玉の軌道。導火線は軌道の最高点で玉を破裂させるよう設定されている。最高点は高さ233 m、水平距離125 mの位置と求められる。

Strategy方針

The motion can be broken into horizontal and vertical motions in which

a_{x} = 0

and

a_{y} = − g .

We can then define

x_{0}

and

y_{0}

to be zero and solve for the desired quantities.

英語のヒント

運動を、

a_{x} = 0

の水平運動と、

a_{y} = − g

の鉛直運動へ分けられる。そのうえで

x_{0}

と

y_{0}

を0と定め、必要な量を求める。

Solution解答

(a) By “height” we mean the altitude or vertical position y above the starting point. The highest point in any trajectory, called the apex, is reached when

v_{y} = 0 .

Since we know the initial and final velocities, as well as the initial position, we use the following equation to find y:

英語のヒント

(a)ここで「高さ」とは、出発点より上の高度、すなわち鉛直位置yを意味する。軌道の最高点である頂点は、

v_{y} = 0

のときに達する。初速度、最終速度、初期位置が分かっているので、次の式でyを求める。

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} - 2 g (y - y_{0}) .

Because

y_{0}

and

v_{y}

are both zero, the equation simplifies to

英語のヒント

y_{0}

と

v_{y}

はどちらも0なので、式は次のように簡単になる。

0 = v_{0 y}^{2} - 2 g y .

Solving for y gives

英語のヒント

yについて解くと、

y = \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} .

Now we must find

v_{0 y},

the component of the initial velocity in the y direction. It is given by

v_{0 y} = v_{0} sin θ_{0},

where

v_{0}

is the initial velocity of 70.0 m/s and

θ_{0} = 75 °

is the initial angle. Thus,

英語のヒント

次に、初速度のy成分

v_{0 y}

を求める。これは

v_{0 y} = v_{0} sin θ_{0}

で与えられる。

v_{0}

は初速70.0 m/s、

θ_{0} = 75 °

は初めの角度である。したがって、

v_{0 y} = v_{0} sin θ = (70.0 m / s) sin 75 ° = 67.6 m / s

and y is

英語のヒント

yは次のようになる。

y = \frac{{(67.6 m / s)}^{2}}{2 (9.80 m / s^{2})} .

Thus, we have

英語のヒント

したがって、次の値を得る。

y = 233 m .

Note that because up is positive, the initial vertical velocity is positive, as is the maximum height, but the acceleration resulting from gravity is negative. Note also that the maximum height depends only on the vertical component of the initial velocity, so that any projectile with a 67.6-m/s initial vertical component of velocity reaches a maximum height of 233 m (neglecting air resistance). The numbers in this example are reasonable for large fireworks displays, the shells of which do reach such heights before exploding. In practice, air resistance is not completely negligible, so the initial velocity would have to be somewhat larger than that given to reach the same height.

英語のヒント

上向きを正としたため、初めの鉛直速度と最高点の高さは正だが、重力による加速度は負であることに注意しよう。また、最高点の高さは初速度の鉛直成分だけに依存する。したがって、初速度の鉛直成分が67.6 m/sなら、どの投射体も最高点233 mへ達する（空気抵抗を無視する）。この例の値は大規模な花火大会として妥当であり、実際に玉はこのような高さへ達してから破裂する。実際には空気抵抗を完全には無視できないため、同じ高さへ達するための初速度は、与えられた値より多少大きくなければならない。

(b) As in many physics problems, there is more than one way to solve for the time the projectile reaches its highest point. In this case, the easiest method is to use

v_{y} = v_{0 y} - g t .

Because

v_{y} = 0

at the apex, this equation reduces to simply

英語のヒント

(b)多くの物理の問題と同じように、投射体が最高点へ達する時間には複数の求め方がある。この場合、最も簡単なのは

v_{y} = v_{0 y} - g t

を使う方法である。頂点では

v_{y} = 0

なので、式は次のように簡単になる。

0 = v_{0 y} - g t

英語のヒント

すなわち、

t = \frac{v_{0 y}}{g} = \frac{67.6 m / s}{9.80 m / s^{2}} = 6.90 s .

This time is also reasonable for large fireworks. If you are able to see the launch of fireworks, notice that several seconds pass before the shell explodes. Another way of finding the time is by using

y = y_{0} + \frac{1}{2} (v_{0 y} + v_{y}) t .

This is left for you as an exercise to complete.

英語のヒント

この時間も、大きな打ち上げ花火として妥当である。打ち上げるところが見えるなら、玉が破裂するまで数秒かかることに注目しよう。別の求め方は

y = y_{0} + \frac{1}{2} (v_{0 y} + v_{y}) t

を使う方法である。これは練習問題として各自で行ってみよう。

a_{x} = 0

and the horizontal velocity is constant, as discussed earlier. The horizontal displacement is the horizontal velocity multiplied by time as given by

x = x_{0} + v_{x} t,

where

x_{0}

is equal to zero. Thus,

英語のヒント

(c)空気抵抗が無視できるため

a_{x} = 0

であり、先ほど述べたように水平速度は一定である。水平変位は水平速度と時間の積で、

x = x_{0} + v_{x} t

で与えられる。ここで

x_{0}

は0である。したがって、

x = v_{x} t,

where

v_{x}

is the x-component of the velocity, which is given by

英語のヒント

ここで

v_{x}

は速度のx成分で、次の式で与えられる。

v_{x} = v_{0} cos θ = (70.0 m / s) cos 75 ° = 18.1 m / s .

Time t for both motions is the same, so x is

英語のヒント

両方の運動で時間tは同じなので、xは次のようになる。

x = (18.1 m / s) 6.90 s = 125 m .

Horizontal motion is a constant velocity in the absence of air resistance. The horizontal displacement found here could be useful in keeping the fireworks fragments from falling on spectators. When the shell explodes, air resistance has a major effect, and many fragments land directly below.

英語のヒント

空気抵抗がなければ、水平運動の速度は一定である。ここで求めた水平変位は、花火の破片が観客へ落ちないようにするうえで役立つだろう。玉が破裂すると空気抵抗の影響が大きくなり、多くの破片は真下へ落ちる。

(d) The horizontal and vertical components of the displacement were just calculated, so all that is needed here is to find the magnitude and direction of the displacement at the highest point:

英語のヒント

(d)変位の水平成分と鉛直成分はすでに求めたので、残るのは最高点での変位の大きさと向きを求めることだけである。

\vec{s} = 125 \hat{i} + 233 \hat{j}

| \vec{s} | = \sqrt{125^{2} + 233^{2}} = 264 m

Φ = {tan}^{−1} (\frac{233}{125}) = 61.8 ° .

Note that the angle for the displacement vector is less than the initial angle of launch. To see why this is, review Figure 4.11, which shows the curvature of the trajectory toward the ground level.

英語のヒント

変位ベクトルの角度は、打ち上げ時の角度より小さいことに注意しよう。その理由は、地面へ向かって曲がる軌道を示す図4.11を見直すと分かる。

When solving Example 4.7(a), the expression we found for y is valid for any projectile motion when air resistance is negligible. Call the maximum height y = h. Then,

英語のヒント

例題4.7(a)で得たyの式は、空気抵抗が無視できるあらゆる放物運動に適用できる。最高点の高さをy = hとすると、

h = \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} .

This equation defines the maximum height of a projectile above its launch position and it depends only on the vertical component of the initial velocity.

英語のヒント

この式は、打ち上げ位置を基準とする投射体の最高点の高さを定める。その値は初速度の鉛直成分だけに依存する。

A rock is thrown horizontally off a cliff

100.0 m

high with a velocity of 15.0 m/s. (a) Define the origin of the coordinate system. (b) Which equation describes the horizontal motion? (c) Which equations describe the vertical motion? (d) What is the rock’s velocity at the point of impact?

英語のヒント

高さ

100.0 m

の崖から、石を水平に速度15.0 m/sで投げる。(a)座標系の原点を定めよ。(b)水平運動を記述する式はどれか。(c)鉛直運動を記述する式はどれか。(d)衝突点での石の速度は何か。

Solution解き方

(a) Choose the top of the cliff where the rock is thrown from the origin of the coordinate system. Although it is arbitrary, we typically choose time t = 0 to correspond to the origin. (b) The equation that describes the horizontal motion is

x = x_{0} + v_{x} t .

With

x_{0} = 0,

this equation becomes

x = v_{x} t .

y_{0} = 0 and v_{0 y} = 0,

these equations simplify greatly to become

y = \frac{1}{2} (v_{0 y} + v_{y}) t = \frac{1}{2} v_{y} t,

v_{y} = − g t,

y = - \frac{1}{2} g t^{2},

and

v_{y}^{2} = −2 g y .

(d) We use the kinematic equations to find the x and y components of the velocity at the point of impact. Using

v_{y}^{2} = −2 g y

and noting the point of impact is −100.0 m, we find the y component of the velocity at impact is

v_{y} = 44.3 m / s .

We are given the x component,

v_{x} = 15.0 m / s,

so we can calculate the total velocity at impact: v = 46.8 m/s and

θ = 71.3 °

below the horizontal.

英語のヒント

(a)崖の上の石を投げる位置を、座標系の原点とする。任意に選べるが、通常はこの出発に対応する時刻をt = 0とする。(b)水平運動を記述する式は

x = x_{0} + v_{x} t

である。

x_{0} = 0

とすると、

x = v_{x} t

となる。(c)式4.16から式4.18と式4.19が鉛直運動を記述するが、

y_{0} = 0 および v_{0 y} = 0

なので、式は大幅に簡単になり、

y = \frac{1}{2} (v_{0 y} + v_{y}) t = \frac{1}{2} v_{y} t

v_{y} = − g t

y = - \frac{1}{2} g t^{2}

および

v_{y}^{2} = −2 g y

となる。(d)運動学の式から、衝突点での速度のx成分とy成分を求める。

v_{y}^{2} = −2 g y

を使い、衝突点の位置が−100.0 mであることに注意すると、衝突時の速度のy成分は

v_{y} = 44.3 m / s

と求まる。x成分は

v_{x} = 15.0 m / s

と与えられているので、衝突時の全体の速度は、速さv = 46.8 m/s、水平方向より下へ

θ = 71.3 °

と求められる。

Example 4.8例題 4.8

Calculating Projectile Motion: Tennis Player放物運動の計算：テニス選手

A tennis player wins a match at Arthur Ashe stadium and hits a ball into the stands at 30 m/s and at an angle

45 °

above the horizontal (Figure 4.14). On its way down, the ball is caught by a spectator 10 m above the point where the ball was hit. (a) Calculate the time it takes the tennis ball to reach the spectator. (b) What are the magnitude and direction of the ball’s velocity at impact?

英語のヒント

アーサー・アッシュ・スタジアムで試合に勝ったテニス選手が、ボールを速さ30 m/s、水平方向から上へ

45 °

の角度で観客席へ打つ（図4.14）。ボールは下降中、打った位置より10 m高い場所にいる観客に捕られる。(a)ボールが観客へ達するまでの時間を求めよ。(b)衝突時のボールの速度の大きさと向きは何か。

テニスボールを観客席へ打ち込む図。選手は観客席の左におり、右上へ角θ = 45°、速度v0 = 30 m/sでボールを打つ。ボールは初めの高さより10 m高い席の観客へ達する。 — Figure 4.14図 4.14
The trajectory of a tennis ball hit into the stands.
英語のヒント
観客席へ打ち込んだテニスボールの軌道。

Strategy方針

Again, resolving this two-dimensional motion into two independent one-dimensional motions allows us to solve for the desired quantities. The time a projectile is in the air is governed by its vertical motion alone. Thus, we solve for t first. While the ball is rising and falling vertically, the horizontal motion continues at a constant velocity. This example asks for the final velocity. Thus, we recombine the vertical and horizontal results to obtain

\vec{v}

at final time t, determined in the first part of the example.

英語のヒント

ここでも、2次元運動を独立した二つの1次元運動へ分解すれば、必要な量を求められる。投射体が空中にいる時間は鉛直運動だけで決まるため、まずtを求める。ボールが鉛直方向に上がったり下がったりする間も、水平運動は一定の速度で続く。この例では最終速度を求める。したがって、前半で決めた最後の時刻tにおける鉛直成分と水平成分を組み合わせ、

\vec{v}

を得る。

Solution解答

(a) While the ball is in the air, it rises and then falls to a final position 10.0 m higher than its starting altitude. We can find the time for this by using Equation 4.22:

英語のヒント

(a)空中にある間、ボールは上昇してから下降し、出発時より10.0 m高い最終位置へ達する。この時間は式4.22から求められる。

y = y_{0} + v_{0 y} t - \frac{1}{2} g t^{2} .

If we take the initial position

y_{0}

to be zero, then the final position is y = 10 m. The initial vertical velocity is the vertical component of the initial velocity:

英語のヒント

初期位置

y_{0}

を0に取ると、最終位置はy = 10 mとなる。初めの鉛直速度は、初速度の鉛直成分である。

v_{0 y} = v_{0} sin θ_{0} = (30.0 m / s) sin 45 ° = 21.2 m / s .

Substituting into Equation 4.22 for y gives us

英語のヒント

yについての式4.22へ代入すると、次のようになる。

10.0 m = (21.2 m/s) t - (4.90 {m/s}^{2}) t^{2} .

Rearranging terms gives a quadratic equation in t:

英語のヒント

項を整理すると、tの2次方程式を得る。

(4.90 {m/s}^{2}) t^{2} - (21.2 m/s) t + 10.0 m = 0 .

Use of the quadratic formula yields t = 3.79 s and t = 0.54 s. Since the ball is at a height of 10 m at two times during its trajectory—once on the way up and once on the way down—we take the longer solution for the time it takes the ball to reach the spectator:

英語のヒント

2次方程式の解の公式から、t = 3.79 sとt = 0.54 sを得る。ボールは軌道上で、上昇中と下降中の2回、高さ10 mを通る。観客へ達する時間には、長いほうの解を選ぶ。

t = 3.79 s .

The time for projectile motion is determined completely by the vertical motion. Thus, any projectile that has an initial vertical velocity of 21.2 m/s and lands 10.0 m above its starting altitude spends 3.79 s in the air.

英語のヒント

放物運動の時間は、鉛直運動だけで完全に決まる。したがって、初めの鉛直速度が21.2 m/sで、出発時より10.0 m高い場所へ着地する投射体は、どれも空中に3.79 sいる。

(b) We can find the final horizontal and vertical velocities

v_{x}

and

v_{y}

with the use of the result from (a). Then, we can combine them to find the magnitude of the total velocity vector

\vec{v}

and the angle

θ

it makes with the horizontal. Since

v_{x}

is constant, we can solve for it at any horizontal location. We choose the starting point because we know both the initial velocity and the initial angle. Therefore,

英語のヒント

(b)(a)の結果から、最後の水平速度

v_{x}

と鉛直速度

v_{y}

を求められる。それらを組み合わせて、全体の速度ベクトル

\vec{v}

の大きさと、水平方向となす角

θ

を得る。

v_{x}

は一定なので、水平方向のどの位置でも計算できる。初速度と初めの角度が分かっている出発点を選ぶ。したがって、

v_{x} = v_{0} cos θ_{0} = (30 m / s) cos 45 ° = 21.2 m / s .

The final vertical velocity is given by Equation 4.21:

英語のヒント

最後の鉛直速度は式4.21で与えられる。

v_{y} = v_{0 y} - g t .

Since

v_{0 y}

was found in part (a) to be 21.2 m/s, we have

英語のヒント

(a)で

v_{0 y}

は21.2 m/sと求めたので、

v_{y} = 21.2 m / s - 9.8 m / s^{2} (3.79 s) = −15.9 m / s .

The magnitude of the final velocity

\vec{v}

英語のヒント

最終速度

\vec{v}

の大きさは、

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{{(21.2 m / s)}^{2} + {(− 15 .9 m / s)}^{2}} = 26.5 m / s .

The direction

θ_{v}

is found using the inverse tangent:

英語のヒント

向き

θ_{v}

は、逆正接を使って求める。

θ_{v} = {tan}^{−1} (\frac{v_{y}}{v_{x}}) = {tan}^{−1} (\frac{−15.9}{21.2}) = 36.9 ° below the horizon.

Significance意味の検討

(a) As mentioned earlier, the time for projectile motion is determined completely by the vertical motion. Thus, any projectile that has an initial vertical velocity of 21.2 m/s and lands 10.0 m above its starting altitude spends 3.79 s in the air. (b) The negative angle means the velocity is

36.9 °

below the horizontal at the point of impact. This result is consistent with the fact that the ball is impacting at a point on the other side of the apex of the trajectory and therefore has a negative y component of the velocity. The magnitude of the velocity is less than the magnitude of the initial velocity we expect since it is impacting 10.0 m above the launch elevation.

英語のヒント

(a)先に述べたように、放物運動の時間は鉛直運動だけで完全に決まる。したがって、初めの鉛直速度が21.2 m/sで、出発位置より10.0 m高い場所へ着地する投射体は、どれも空中に3.79 sいる。(b)角度が負であることは、衝突時の速度が水平方向から下へ

36.9 °

傾くことを意味する。これは、ボールが軌道の頂点を越えた側の点に当たり、速度のy成分が負であることと整合する。出発地点より10.0 m高い所に当たるので、予想どおり、速度の大きさは初速度の大きさより小さい。

第4章二次元・三次元の運動

4.3 Projectile Motion4.3 放物運動

Learning Objectives学習目標

A Fireworks Projectile Explodes High and Away高く遠くで開く打ち上げ花火

Strategy方針

Solution解答

Calculating Projectile Motion: Tennis Player放物運動の計算：テニス選手

Strategy方針

Solution解答

Significance意味の検討

4.3 Projectile Motion4.3　放物運動