第4章二次元・三次元の運動

Additional Problems追加問題

Exercises 79–98練習問題 79–98

Exercise 79問題 79

A Formula One race car is traveling at 89.0 m/s along a straight track enters a turn on the race track with radius of curvature of 200.0 m. What centripetal acceleration must the car have to stay on the track?

英語のヒント

F1レーシングカーが直線のコースを89.0 m/sで走り、曲率半径200.0 mのカーブへ入る。コース上にとどまるには、どの向心加速度が必要か。

Solution解き方

a_{C} = 39.6 m / s^{2}

Exercise 80問題 80

A particle travels in a circular orbit of radius 10 m. Its speed is changing at a rate of

15.0 m / s^{2}

at an instant when its speed is 40.0 m/s. What is the magnitude of the acceleration of the particle?

英語のヒント

粒子が半径10 mの円軌道を進む。速さが40.0 m/sの瞬間に、速さは

15.0 m / s^{2}

の割合で変化している。粒子の加速度の大きさは何か。

Exercise 81問題 81

The driver of a car moving at 90.0 km/h presses down on the brake as the car enters a circular curve of radius 150.0 m. If the speed of the car is decreasing at a rate of 9.0 km/h each second, what is the magnitude of the acceleration of the car at the instant its speed is 60.0 km/h?

英語のヒント

90.0 km/hで走る車が半径150.0 mの円形のカーブへ入るとき、運転者がブレーキを踏む。速さが毎秒9.0 km/hの割合で減少する場合、速さが60.0 km/hとなる瞬間の加速度の大きさは何か。

Solution解き方

90.0 km / h = 25.0 m / s, 9.0 km / h = 2.5 m / s,

60.0 km / h = 16.7 m / s

a_{T} = −2.5 {m/s}^{2}, a_{C} = 1.86 m / s^{2}, a = 3.1 m / s^{2}

90.0 km / h = 25.0 m / s, 9.0 km / h = 2.5 m / s

60.0 km / h = 16.7 m / s

a_{T} = −2.5 {m/s}^{2}, a_{C} = 1.86 m / s^{2}, a = 3.1 m / s^{2}

Exercise 82問題 82

A race car entering the curved part of the track at the Daytona 500 drops its speed from 85.0 m/s to 80.0 m/s in 2.0 s. If the radius of the curved part of the track is 316.0 m, calculate the total acceleration of the race car at the beginning and ending of reduction of speed.

英語のヒント

デイトナ500で、レーシングカーがコースの曲線部分へ入り、2.0 sの間に85.0 m/sから80.0 m/sへ減速する。曲線部分の半径が316.0 mの場合、減速の始めと終わりでの全加速度を計算せよ。

Exercise 83問題 83

An elephant is located on Earth’s surface at a latitude

λ .

Calculate the centripetal acceleration of the elephant resulting from the rotation of Earth around its polar axis. Express your answer in terms of

λ,

the radius

R_{E}

of Earth, and time T for one rotation of Earth. Compare your answer with g for

λ = 40 ° .

英語のヒント

地表の緯度

λ

にゾウがいる。地球が極軸の周りに自転するために生じるゾウの向心加速度を計算せよ。答えを

λ

、地球の半径

R_{E}

、地球が1回転する時間Tで表せ。

λ = 40 °

の場合について、答えをgと比較せよ。

地球が鉛直な南北の軸の周りを回る図。赤道を、地球の中心を中心とする地表の水平な円で示す。赤道より北に、赤道と平行な別の地表の円を示す。この円は緯度λにあり、地球中心からこの円への半径と赤道への半径のなす角はλである。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

The radius of the circle of revolution at latitude

λ

R_{E} cos λ .

The velocity of the body is

\frac{2 π r}{T} . a_{C} = \frac{4 π^{2} R_{E} cos λ}{T^{2}}

for

λ = 40 °, a_{C} = 0.26 % g

英語のヒント

緯度

λ

で回転する円の半径は

R_{E} cos λ

である。物体の速度は

\frac{2 π r}{T} . a_{C} = \frac{4 π^{2} R_{E} cos λ}{T^{2}}

となり、

λ = 40 °, a_{C} = 0.26 % g

の場合を得る。

Exercise 84問題 84

A proton in a synchrotron is moving in a circle of radius 1 km and increasing its speed by

v (t) = c_{1} + c_{2} t^{2}, where c_{1} = 2.0 \times 10^{5} m / s,

c_{2} = 10^{5} m / s^{3} .

(a) What is the proton’s total acceleration at t = 5.0 s? (b) At what time does the expression for the velocity become unphysical?

英語のヒント

シンクロトロン内の陽子が半径1 kmの円周上を動き、

v (t) = c_{1} + c_{2} t^{2}, ここで c_{1} = 2.0 \times 10^{5} m / s

c_{2} = 10^{5} m / s^{3}

に従って速さを増している。(a)t = 5.0 sでの陽子の全加速度は何か。(b)何秒後に、速度の式は物理的にありえない値を与えるか。

Exercise 85問題 85

A propeller blade at rest starts to rotate from t = 0 s to t = 5.0 s with a tangential acceleration of the tip of the blade at

3.00 m / s^{2} .

The tip of the blade is 1.5 m from the axis of rotation. At t = 5.0 s, what is the total acceleration of the tip of the blade?

英語のヒント

静止していたプロペラの羽根が、t = 0 sからt = 5.0 sまで、先端の接線加速度

3.00 m / s^{2}

で回転を始める。羽根の先端は回転軸から1.5 m離れている。t = 5.0 sでの先端の全加速度は何か。

Solution解き方

a_{T} = 3.00 m / s^{2}

v (5 s) = 15.00 m / s a_{C} = 150.00 m / s^{2} θ = 88.8 °

with respect to the tangent to the circle of revolution directed inward.

| \vec{a} | = 150.03 m / s^{2}

英語のヒント

a_{T} = 3.00 m / s^{2}

v (5 s) = 15.00 m / s a_{C} = 150.00 m / s^{2} θ = 88.8 °

。回転する円の接線から内側へ測った角である。

| \vec{a} | = 150.03 m / s^{2}

。

Exercise 86問題 86

A particle is executing circular motion with a constant angular frequency of

ω = 4.00 rad / s .

If time t = 0 corresponds to the position of the particle being located at y = 0 m and x = 5 m, (a) what is the position of the particle at t = 10 s? (b) What is its velocity at this time? (c) What is its acceleration?

英語のヒント

粒子が、一定の角振動数

ω = 4.00 rad / s

で円運動する。t = 0での位置がy = 0 m、x = 5 mである場合、(a)t = 10 sでの位置は何か。(b)この時刻の速度は何か。(c)加速度は何か。

Exercise 87問題 87

A particle’s centripetal acceleration is

a_{C} = 4.0 m / s^{2}

at t = 0 s where it is on the x-axis and moving counterclockwise in the xy plane. It is executing uniform circular motion about an axis at a distance of 5.0 m. What is its velocity at t = 10 s?

英語のヒント

t = 0 sに粒子はx軸上にあり、xy平面内を反時計回りに動き、向心加速度は

a_{C} = 4.0 m / s^{2}

である。軸から5.0 m離れた位置で等速円運動をしている。t = 10 sでの速度は何か。

Solution解き方

\vec{a} (t) = − A ω^{2} cos ω t \hat{i} - A ω^{2} sin ω t \hat{j}

a_{C} = 5.0 m ω^{2} ω = 0.89 rad / s

\vec{v} (t) = −2.24 m / s \hat{i} - 3.87 m / s \hat{j}

Exercise 88問題 88

A rod 3.0 m in length is rotating at 2.0 rev/s about an axis at one end. Compare the centripetal accelerations at radii of (a) 1.0 m, (b) 2.0 m, and (c) 3.0 m.

英語のヒント

長さ3.0 mの棒が、一端の軸の周りに2.0 rev/sで回転する。半径(a)1.0 m、(b)2.0 m、(c)3.0 mにおける向心加速度を比較せよ。

Exercise 89問題 89

A particle located initially at

(1.5 \hat{j} + 4.0 \hat{k}) m

undergoes a displacement of

(2.5 \hat{i} + 3.2 \hat{j} - 1.2 \hat{k}) m .

What is the final position of the particle?

英語のヒント

最初に

(1.5 \hat{j} + 4.0 \hat{k}) m

にある粒子が、

(2.5 \hat{i} + 3.2 \hat{j} - 1.2 \hat{k}) m

だけ変位する。粒子の最終位置は何か。

Solution解き方

{\vec{r}}_{1} = 1.5 \hat{j} + 4.0 \hat{k} {\vec{r}}_{2} = Δ \vec{r} + {\vec{r}}_{1} = 2.5 \hat{i} + 4.7 \hat{j} + 2.8 \hat{k}

Exercise 90問題 90

The position of a particle is given by

\vec{r} (t) = (50 m / s) t \hat{i} - (4.9 m / s^{2}) t^{2} \hat{j} .

(a) What are the particle’s velocity and acceleration as functions of time? (b) What are the initial conditions to produce the motion?

英語のヒント

粒子の位置を

\vec{r} (t) = (50 m / s) t \hat{i} - (4.9 m / s^{2}) t^{2} \hat{j}

で与える。(a)速度と加速度を時間の関数として表せ。(b)この運動を生じさせる初期条件は何か。

Exercise 91問題 91

A spaceship is traveling at a constant velocity of

\vec{v} (t) = 250.0 \hat{i} m / s

when its rockets fire, giving it an acceleration of

\vec{a} (t) = (3.0 \hat{i} + 4.0 \hat{k}) m / s^{2} .

What is its velocity

5

s after the rockets fire?

英語のヒント

宇宙船が一定の速度

\vec{v} (t) = 250.0 \hat{i} m / s

で進んでいるとき、ロケットが点火し、加速度

\vec{a} (t) = (3.0 \hat{i} + 4.0 \hat{k}) m / s^{2}

を与える。点火から

5

s後の速度は何か。

Solution解き方

v_{x} (t) = 265.0 m / s

v_{y} (t) = 20.0 m / s

\vec{v} (5.0 s) = (265.0 \hat{i} + 20.0 \hat{j}) m / s

Exercise 92問題 92

A crossbow is aimed horizontally at a target 40 m away. The arrow hits 30 cm below the spot at which it was aimed. What is the initial velocity of the arrow?

英語のヒント

クロスボウで40 m先の標的を水平に狙う。矢は狙った点の30 cm下に当たる。矢の初速度は何か。

Exercise 93問題 93

A long jumper can jump a distance of 8.0 m when he takes off at an angle of

45 °

with respect to the horizontal. Assuming he can jump with the same initial speed at all angles, how much distance does he lose by taking off at

30 ° ?

英語のヒント

走り幅跳びの選手は、水平方向となす角

45 °

で踏み切ると8.0 m跳べる。どの角度でも同じ初速で跳べるとすると、

30 °

で踏み切る場合、距離はどれだけ短くなるか。

Solution解き方

R = 1.07 m

Exercise 94問題 94

On planet Arcon, the maximum horizontal range of a projectile launched at 10 m/s is 20 m. What is the acceleration of gravity on this planet?

英語のヒント

惑星アーコンでは、10 m/sで発射した投射体の最大水平到達距離は20 mである。この惑星の重力加速度は何か。

Exercise 95問題 95

A mountain biker encounters a jump on a race course that sends him into the air at

60 °

to the horizontal. If he lands at a horizontal distance of 45.0 m and 20 m below his launch point, what is his initial speed?

英語のヒント

マウンテンバイク選手が、レースコースのジャンプ地点で、水平方向となす角

60 °

で空中へ飛び出す。水平方向に45.0 m先、出発点より20 m下へ着地する場合、初速は何か。

Solution解き方

v_{0} = 20.1 m / s

Exercise 96問題 96

Which has the greater centripetal acceleration, a car with a speed of 15.0 m/s along a circular track of radius 100.0 m or a car with a speed of 12.0 m/s along a circular track of radius 75.0 m?

英語のヒント

半径100.0 mの円形コースを速さ15.0 m/sで走る車と、半径75.0 mの円形コースを速さ12.0 m/sで走る車では、どちらの向心加速度が大きいか。

Exercise 97問題 97

A geosynchronous satellite orbits Earth at a distance of 42,250.0 km and has a period of 1 day. What is the centripetal acceleration of the satellite?

英語のヒント

地球同期衛星が地球から42,250.0 kmの距離を周回し、周期は1日である。衛星の向心加速度は何か。

Solution解き方

v = 3072.5 m / s

a_{C} = 0.223 m / s^{2}

Exercise 98問題 98

Two speedboats are traveling at the same speed relative to the water in opposite directions in a moving river. An observer on the riverbank sees the boats moving at 4.0 m/s and 5.0 m/s. (a) What is the speed of the boats relative to the river? (b) How fast is the river moving relative to the shore?

英語のヒント

流れる川で、2隻の高速艇が、水に対して同じ速さで逆向きに進む。川岸の観測者には、それぞれ4.0 m/sと5.0 m/sで動いて見える。(a)川の水に対するボートの速さは何か。(b)岸に対する川の流れの速さは何か。