第15章振動

Velocity and Energy Conservation速度とエネルギー保存

Getting back to the system of a block and a spring in Figure 15.11, once the block is released from rest, it begins to move in the negative direction toward the equilibrium position. The potential energy decreases and the magnitude of the velocity and the kinetic energy increase. At time

t = T / 4

, the block reaches the equilibrium position

x = 0.00 m,

where the force on the block and the potential energy are zero. At the equilibrium position, the block reaches a negative velocity with a magnitude equal to the maximum velocity

v = − A ω

. The kinetic energy is maximum and equal to

K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m A^{2} ω^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} .

At this point, the force on the block is zero, but momentum carries the block, and it continues in the negative direction toward

x = − A

. As the block continues to move, the force on it acts in the positive direction and the magnitude of the velocity and kinetic energy decrease. The potential energy increases as the spring compresses. At time

t = T / 2

, the block reaches

x = − A

. Here the velocity and kinetic energy are equal to zero. The force on the block is

F = + k A

and the potential energy stored in the spring is

U = \frac{1}{2} k A^{2}

. During the oscillations, the total energy is constant and equal to the sum of the potential energy and the kinetic energy of the system,

英語のヒント

図15.11のブロックとばねの系に戻ろう。ブロックを静かに放すと、つり合いの位置へ向かって負方向に動き始める。位置エネルギーが減り、速度の大きさと運動エネルギーが増す。時刻

t = T / 4

にはつり合いの位置

x = 0.00 m

に達し、力と位置エネルギーがゼロとなる。この位置でブロックの速度は負で、その大きさは最大速度

v = − A ω

に等しい。運動エネルギーも最大となり、

K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m A^{2} ω^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}

に等しい。ここでは力はゼロだが、ブロックは運動量を持つので、そのまま負方向の

x = − A

へ進む。進むにつれて力は正方向に働き、速度の大きさと運動エネルギーは減少する。ばねが縮むにつれ、位置エネルギーは増す。時刻

t = T / 2

に

x = − A

へ達すると、速度と運動エネルギーはゼロになる。力は

F = + k A

、ばねに蓄えられた位置エネルギーは

U = \frac{1}{2} k A^{2}

である。振動中、全エネルギーは一定であり、系の位置エネルギーと運動エネルギーの和に等しい。

The equation for the energy associated with SHM can be solved to find the magnitude of the velocity at any position:

英語のヒント

単振動のエネルギーの式を解けば、任意の位置での速度の大きさを求められる。

The energy in a simple harmonic oscillator is proportional to the square of the amplitude. When considering many forms of oscillations, you will find the energy proportional to the amplitude squared.

英語のヒント

単振動子のエネルギーは、振幅の2乗に比例する。多くの種類の振動を調べると、エネルギーが振幅の2乗に比例することが分かる。

Summaryまとめ

The simplest type of oscillations are related to systems that can be described by Hooke’s law, F = −kx, where F is the restoring force, x is the displacement from equilibrium or deformation, and k is the force constant of the system.
英語のヒント
最も単純な振動は、フックの法則F=−kxで表せる系に関わる。Fは復元力、xはつり合いからの変位または変形、kは系の力の定数である。
Elastic potential energy U stored in the deformation of a system that can be described by Hooke’s law is given by $U = \frac{1}{2} k x^{2} .$
英語のヒント
フックの法則で表される系の変形に蓄えられる弾性位置エネルギーUは、 $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ で与えられる。
Energy in the simple harmonic oscillator is shared between elastic potential energy and kinetic energy, with the total being constant:
英語のヒント
単振動子のエネルギーは、弾性位置エネルギーと運動エネルギーに分かれ、その合計は一定である。

$E_{Total} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} = constant.$
$E_{全} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} = 一定。$
The magnitude of the velocity as a function of position for the simple harmonic oscillator can be found by using
英語のヒント
単振動子の速度の大きさを位置の関数として求めるには、次の式を使う。

$| v | = \sqrt{\frac{k}{m} (A^{2} - x^{2})} .$

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 18–20練習問題 18–20

Exercise 18問題 18

Describe a system in which elastic potential energy is stored.

英語のヒント

弾性位置エネルギーを蓄える系を一つ説明せよ。

Solution解き方

In a car, elastic potential energy is stored when the shock is extended or compressed. In some running shoes elastic potential energy is stored in the compression of the material of the soles of the running shoes. In pole vaulting, elastic potential energy is stored in the bending of the pole.

英語のヒント

車では、ショックアブソーバーが伸び縮みすると弾性位置エネルギーが蓄えられる。ランニングシューズの中には、靴底の材料を圧縮することで蓄えるものもある。棒高跳びでは、ポールの曲がりに蓄えられる。

Exercise 19問題 19

Explain in terms of energy how dissipative forces such as friction reduce the amplitude of a harmonic oscillator. Also explain how a driving mechanism can compensate. (A pendulum clock is such a system.)

英語のヒント

摩擦などの散逸力が調和振動子の振幅を減らす仕組みを、エネルギーを用いて説明せよ。また、駆動の仕組みがそれをどのように補えるかも説明せよ。（振り子時計は、そのような系の一つである。）

Exercise 20問題 20

The temperature of the atmosphere oscillates from a maximum near noontime and a minimum near sunrise. Would you consider the atmosphere to be in stable or unstable equilibrium?

英語のヒント

大気の温度は、正午付近の最高温度と日の出付近の最低温度の間で変動する。大気は安定平衡と不安定平衡のどちらにあると考えられるか。

Solution解き方

The overall system is stable. There may be times when the stability is interrupted by a storm, but the driving force provided by the sun bring the atmosphere back into a stable pattern.

英語のヒント

全体として系は安定している。嵐によって安定性が乱れることはあるが、太陽による駆動が、大気を安定したパターンへ戻す。

Problems問題

Exercises 21–26練習問題 21–26

Exercise 21問題 21

Fish are hung on a spring scale to determine their mass. (a) What is the force constant of the spring in such a scale if it the spring stretches 8.00 cm for a 10.0 kg load? (b) What is the mass of a fish that stretches the spring 5.50 cm? (c) How far apart are the half-kilogram marks on the scale?

英語のヒント

魚をばねばかりにつるし、質量を測る。(a) 10.0 kgの荷重でばねが8.00 cm伸びる場合、力の定数はいくらか。(b) ばねを5.50 cm伸ばす魚の質量はいくらか。(c) ばかりの0.5 kgごとの目盛りの間隔はいくらか。

Exercise 22問題 22

It is weigh-in time for the local under-85-kg rugby team. The bathroom scale used to assess eligibility can be described by Hooke’s law and is depressed 0.75 cm by its maximum load of 120 kg. (a) What is the spring’s effective force constant? (b) A player stands on the scales and depresses it by 0.48 cm. Is he eligible to play on this under-85-kg team?

英語のヒント

地元の85 kg未満のラグビーチームで、選手の計量を行う。出場資格を確認する体重計はフックの法則で表され、最大荷重120 kgで0.75 cm沈む。(a) ばねの実効的な力の定数はいくらか。(b) ある選手が乗ると0.48 cm沈んだ。この選手は85 kg未満のチームで試合に出られるか。

Solution解き方

1.57 \times 10^{5} N/m

; b. 77 kg, yes, he is eligible to play

英語のヒント

1.57 \times 10^{5} N/m

。b. 77 kgなので、出場資格がある。

Exercise 23問題 23

One type of BB gun uses a spring-driven plunger to blow the BB from its barrel. (a) Calculate the force constant of its plunger’s spring if you must compress it 0.150 m to drive the 0.0500-kg plunger to a top speed of 20.0 m/s. (b) What force must be exerted to compress the spring?

英語のヒント

BB弾を撃つ銃の一種は、ばねで動かすプランジャーによって弾を銃身から吹き出す。(a) 質量0.0500 kgのプランジャーを最高速度20.0 m/sまで加速するため、ばねを0.150 m縮める必要がある場合、力の定数はいくらか。(b) ばねを縮めるために、どれだけの力を加える必要があるか。

Exercise 24問題 24

When an 80.0-kg man stands on a pogo stick, the spring is compressed 0.120 m. (a) What is the force constant of the spring? (b) Will the spring be compressed more when he hops down the road?

英語のヒント

質量80.0 kgの男性がホッピングに乗ると、ばねが0.120 m縮む。(a) ばねの力の定数はいくらか。(b) 道を跳ねながら進むときには、ばねはそれ以上縮むか。

Solution解き方

6.53 \times 10^{3} N/m

; b. yes, when the man is at his lowest point in his hopping the spring will be compressed the most

英語のヒント

6.53 \times 10^{3} N/m

。b. 縮む。跳ねている間、男性が最も低い位置に来たときに、ばねが最も縮む。

Exercise 25問題 25

A spring has a length of 0.200 m when a 0.300-kg mass hangs from it, and a length of 0.750 m when a 1.95-kg mass hangs from it. (a) What is the force constant of the spring? (b) What is the unloaded length of the spring?

英語のヒント

あるばねは、質量0.300 kgをつるすと長さ0.200 m、質量1.95 kgをつるすと長さ0.750 mになる。(a) ばねの力の定数はいくらか。(b) 荷重をかけていないときの長さはいくらか。

Exercise 26問題 26

The length of nylon rope from which a mountain climber is suspended has an effective force constant of

1.40 \times 10^{4} N/m

. (a) What is the frequency at which he bounces, given his mass plus and the mass of his equipment are 90.0 kg? (b) How much would this rope stretch to break the climber’s fall if he free-falls 2.00 m before the rope runs out of slack? (Hint: Use conservation of energy.) (c) Repeat both parts of this problem in the situation where twice this length of nylon rope is used.

英語のヒント

登山者を支えるナイロンロープの実効的な力の定数は

1.40 \times 10^{4} N/m

である。(a) 登山者と装備の合計質量が90.0 kgなら、上下に揺れる振動数はいくらか。(b) ロープのたるみがなくなるまで2.00 m自由落下した場合、その落下を止めるのにロープはどれだけ伸びるか。（ヒント：エネルギー保存を使う。）(c) ロープの長さを2倍にした場合について、(a)、(b)をもう一度求めよ。

Solution解き方

a. 1.99 Hz; b. 56.9 cm; c. 77.6 cm

a. 1.99 Hz；b. 56.9 cm；c. 77.6 cm

elastic potential energy

弾性位置エネルギー

potential energy stored as a result of deformation of an elastic object, such as the stretching of a spring

英語のヒント

ばねの伸びのような弾性体の変形によって蓄えられる位置エネルギー。

restoring force

復元力

force acting in opposition to the force caused by a deformation

英語のヒント

変形によって生じた力に対抗する向きに働く力。

stable equilibrium point

安定な平衡点

point where the net force on a system is zero, but a small displacement of the mass will cause a restoring force that points toward the equilibrium point

英語のヒント

系への合力がゼロであり、質点を少し変位させると、その点へ向かう復元力が生じる点。