第15章振動

15.3 Comparing Simple Harmonic Motion and Circular Motion15.3　単振動と円運動の比較

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Describe how the sine and cosine functions relate to the concepts of circular motion
英語のヒント
正弦関数と余弦関数が円運動の概念にどう関係するかを説明する。
Describe the connection between simple harmonic motion and circular motion
英語のヒント
単振動と円運動のつながりを説明する。

An easy way to model SHM is by considering uniform circular motion. Figure 15.17 shows one way of using this method. A peg (a cylinder of wood) is attached to a vertical disk, rotating with a constant angular frequency. Figure 15.18 shows a side view of the disk and peg. If a lamp is placed above the disk and peg, the peg produces a shadow. Let the disk have a radius of

r = A

and define the position of the shadow that coincides with the center line of the disk to be

x = 0.00 m

. As the disk rotates at a constant rate, the shadow oscillates between

x = + A

and

x = − A

. Now imagine a block on a spring beneath the floor as shown in Figure 15.18.

英語のヒント

単振動を簡単に表すには、等速円運動を考えるとよい。図15.17にその方法の一つを示す。鉛直に置いた円板に木製の円柱状の棒を取り付け、一定の角振動数で回転させる。図15.18は円板と棒を横から見た図である。上に照明を置くと、棒の影ができる。円板の半径を

r = A

、円板の中心線と重なる影の位置を

x = 0.00 m

とする。円板が一定の速さで回ると、影は

x = + A

と

x = − A

の間を振動する。ここで、図15.18のように、床の下でばねにつながれたブロックを考えよう。

本文で述べた、振動する影を作る方法の図。壁に鉛直に取り付けた回転円板から棒が突き出し、上の照明が棒を照らす。下には振動中のいくつかの時刻の影を示し、壁と平行な直線上に点が並んでいる。直線の中央から影までの距離はxである。 — Figure 15.17図 15.17
SHM can be modeled as rotational motion by looking at the shadow of a peg on a wheel rotating at a constant angular frequency.
英語のヒント
一定の角振動数で回る円板上の棒の影を見ると、回転運動によって単振動を表せる。

回転円板上の棒の角位置、その影の位置、水平なばねにつながれた質点の位置を比較する。各図で、上方の照明が棒を照らし、水平な線上に影を作る。半径r=Aの円板は角速度ωで反時計回りに回る。棒が円板の中心の真右にあるときを、角位置θ=0とする。ばねの左端は壁、右端は質点につながる。質点と影の位置をxとし、円板の中心の真下をx=0、左端の真下をx=−A、右端の真下をx=+Aとする。 (a) はt=0.0で、棒は中心の真右にあり、影と質点はともにx=+Aにある。(b) では棒は第1象限のθ=ωtにあり、影と質点はその真下の、図ではx=+A/2と見られる位置にある。時刻は示していない。(c) はt=T/4で、棒は中心の真上のθ=ωtにあり、影と質点はともにx=0にある。(d) では棒は第2象限のθ=ωtにあり、影と質点はその真下の、図ではx=−A/2と見られる位置にある。時刻は示していない。 — Figure 15.18図 15.18
Light shines down on the disk so that the peg makes a shadow. If the disk rotates at just the right angular frequency, the shadow follows the motion of the block on a spring. If there is no energy dissipated due to nonconservative forces, the block and the shadow will oscillate back and forth in unison. In this figure, four snapshots are taken at four different times. (a) The wheel starts at $θ = 0^{o}$ and the shadow of the peg is at $x = + A$ , representing the mass at position $x = + A$ . (b) As the disk rotates through an angle $θ = ω t$ , the shadow of the peg is between $x = + A$ and $x = 0$ . (c) The disk continues to rotate until $θ = 90^{0}$ , at which the shadow follows the mass to $x = 0$ . (d) The disk continues to rotate, the shadow follows the position of the mass.
英語のヒント
円板を上から照らすと、棒の影ができる。適切な角振動数で円板を回せば、影はばねにつながれたブロックの運動を追う。非保存力によるエネルギー散逸がなければ、ブロックと影はそろって往復する。図は四つの時刻の様子を示す。(a) 円板は $θ = 0^{o}$ から回り始め、影は $x = + A$ にあり、位置 $x = + A$ の質点を表す。(b) 円板が角度 $θ = ω t$ だけ回ると、影は $x = + A$ と $x = 0$ の間にある。(c) さらに $θ = 90^{0}$ まで回ると、影は質点に重なって $x = 0$ へ来る。(d) 円板が回り続けると、影も質点の位置を追う。

If the disk turns at the proper angular frequency, the shadow follows along with the block. The position of the shadow can be modeled with the equation

英語のヒント

円板が適切な角振動数で回れば、影はブロックと同じ動きをする。影の位置は、次の式で表せる。

Recall that the block attached to the spring does not move at a constant velocity. How often does the wheel have to turn to have the peg’s shadow always on the block? The disk must turn at a constant angular frequency equal to

2 π

times the frequency of oscillation

(ω = 2 π f)

英語のヒント

ばねにつながれたブロックは、一定速度で動くのではないことを思い出そう。棒の影を常にブロックへ重ねるには、円板をどれだけの頻度で回す必要があるだろうか。円板は振動数の

2 π

倍に等しい一定の角振動数、すなわち

(ω = 2 π f)

で回る必要がある。

Figure 15.19 shows the basic relationship between uniform circular motion and SHM. The peg lies at the tip of the radius, a distance A from the center of the disk. The x-axis is defined by a line drawn parallel to the ground, cutting the disk in half. The y-axis (not shown) is defined by a line perpendicular to the ground, cutting the disk into a left half and a right half. The center of the disk is the point

(x = 0, y = 0) .

The projection of the position of the peg onto the fixed x-axis gives the position of the shadow, which undergoes SHM analogous to the system of the block and spring. At the time shown in the figure, the projection has position x and moves to the left with velocity v. The tangential velocity of the peg around the circle equals

{\overset{–}{v}}_{max}

of the block on the spring. The x-component of the velocity is equal to the velocity of the block on the spring.

英語のヒント

図15.19は、等速円運動と単振動の基本的な関係を示す。棒は半径の先端、円板の中心から距離Aの位置にある。円板を上下に二分し、地面に平行な直線をx軸とする。y軸は図に示していないが、地面に垂直で円板を左右に二分する直線である。円板の中心は

(x = 0, y = 0)

である。棒の位置を固定したx軸に射影すると、ばねとブロックの系に似た単振動をする影の位置が得られる。図の時刻では射影の位置はxで、速度vで左へ動いている。円周を動く棒の接線方向の速度は、ブロックの

{\overset{–}{v}}_{max}

に等しい。その速度のx成分は、ブロックの速度に等しい。

回転円板上の棒の角位置、影の位置、水平なばねにつながれた質点の位置の比較。半径r=Aの円板は角速度ωで反時計回りに回る。棒が中心の真右にあるときθ=0で、図の時刻ではθ=ωtとなる。棒の速度は円周の接線方向のベクトルで、大きさはv_max=Aω、そのx成分は左向きの−v_max sin ωtである。棒は水平線上に影を作る。ばねは左の壁と右の質点をつなぐ。影と質点の位置をxとし、中心の真下をx=0、左端の真下をx=−A、右端の真下をx=+Aとする。図では棒は第1象限にあり、影と質点は0と+Aの間、図ではx=A/2と見られる位置にある。 — Figure 15.19図 15.19
A peg moving on a circular path with a constant angular velocity $ω$ is undergoing uniform circular motion. Its projection on the x-axis undergoes SHM. Also shown is the velocity of the peg around the circle, $v_{max}$ , and its projection, which is v. Note that these velocities form a similar triangle to the displacement triangle.
英語のヒント
一定の角速度 $ω$ で円周上を動く棒は、等速円運動をしている。そのx軸への射影は単振動する。棒の円周上の速度 $v_{max}$ と、その射影vも示す。これらの速度が作る三角形は、変位の三角形と相似である。

We can use Figure 15.19 to analyze the velocity of the shadow as the disk rotates. The peg moves in a circle with a speed of

v_{max} = A ω

. The shadow moves with a velocity equal to the component of the peg’s velocity that is parallel to the surface where the shadow is being produced:

英語のヒント

図15.19を使い、円板の回転に伴う影の速度を調べられる。棒は速さ

v_{max} = A ω

で円周を動く。影の速度は、棒の速度のうち、影ができる面に平行な成分に等しい。

It follows that the acceleration is

英語のヒント

したがって、加速度は次のようになる。

第15章振動

15.3 Comparing Simple Harmonic Motion and Circular Motion15.3 単振動と円運動の比較

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