第15章振動

Physical Pendulum実体振り子

Any object can oscillate like a pendulum. Consider a coffee mug hanging on a hook in the pantry. If the mug gets knocked, it oscillates back and forth like a pendulum until the oscillations die out. We have described a simple pendulum as a point mass and a string. A physical pendulum is any object whose oscillations are similar to those of the simple pendulum, but cannot be modeled as a point mass on a string, and the mass distribution must be included into the equation of motion.

英語のヒント

どんな物体でも、振り子のように振動できる。食料庫のフックに掛けたマグカップを考えよう。カップに何かが当たると、振動が消えるまで振り子のように前後へ揺れる。単振り子は、質点と糸として表した。実体振り子は、運動が単振り子に似ていても、糸につながれた質点としては表せず、運動方程式に質量分布を含める必要がある物体である。

As for the simple pendulum, the restoring force of the physical pendulum is the force of gravity. With the simple pendulum, the force of gravity acts on the center of the pendulum bob. In the case of the physical pendulum, the force of gravity acts on the center of mass (CM) of an object. The object oscillates about a point O. Consider an object of a generic shape as shown in Figure 15.21.

英語のヒント

単振り子と同様に、実体振り子の復元力も重力である。単振り子では重力はおもりの中心に働く。実体振り子では物体の重心CMに働き、物体は点Oの周りを振動する。図15.21のような一般的な形の物体を考えよう。

不規則な形の実体振り子の図。重心CMは支点Oから距離Lにあり、Oを中心とする円弧を描く。Oから重心への線は鉛直方向に対して反時計回りに角度θをなす。重心には三つの赤い矢印があり、mgは鉛直下向き、その成分−mg sin θは重心が描く円弧の接線方向、mg cos θは半径方向の外向きである。 — Figure 15.21図 15.21
A physical pendulum is any object that oscillates as a pendulum, but cannot be modeled as a point mass on a string. The force of gravity acts on the center of mass (CM) and provides the restoring force that causes the object to oscillate. The minus sign on the component of the weight that provides the restoring force is present because the force acts in the opposite direction of the increasing angle $θ$ .
英語のヒント
実体振り子は、振り子として振動するが、糸につながれた質点としては表せない物体である。重力は重心CMに働き、物体を振動させる復元力となる。復元力を生む重力成分に負の符号があるのは、角度 $θ$ が増す向きと反対に力が働くためである。

When a physical pendulum is hanging from a point but is free to rotate, it rotates because of the torque applied at the CM, produced by the component of the object’s weight that acts tangent to the motion of the CM. Taking the counterclockwise direction to be positive, the component of the gravitational force that acts tangent to the motion is

− m g sin θ

. The minus sign is the result of the restoring force acting in the opposite direction of the increasing angle. Recall that the torque is equal to

\vec{τ} = \vec{r} \times \vec{F}

. The magnitude of the torque is equal to the length of the radius arm times the tangential component of the force applied,

| τ | = r F sin θ

. Here, the length L of the radius arm is the distance between the point of rotation and the CM. To analyze the motion, start with the net torque. Like the simple pendulum, consider only small angles so that

sin θ \approx θ

. Recall from Fixed-Axis Rotation on rotation that the net torque is equal to the moment of inertia

I = \int r^{2} d m

times the angular acceleration

α,

where

α = \frac{d^{2} θ}{d t^{2}}

英語のヒント

実体振り子を一点から自由に回れるようにつるすと、重心CMの運動の接線方向へ働く重力成分が、重心にトルクを生んで回転させる。反時計回りを正とすると、その重力成分は

− m g sin θ

である。負の符号は、復元力が角度の増加と反対方向へ働くことによる。トルクが

\vec{τ} = \vec{r} \times \vec{F}

であることを思い出そう。その大きさは、腕の長さと力の接線成分の積

| τ | = r F sin θ

に等しい。腕の長さLは回転中心から重心までの距離である。運動を調べるには、合トルクから始める。単振り子と同様、小さな角度だけを考え、

sin θ \approx θ

と近似する。「固定軸の周りの回転」で学んだように、合トルクは慣性モーメント

I = \int r^{2} d m

と角加速度

α

の積に等しく、

α = \frac{d^{2} θ}{d t^{2}}

である。

I α = τ_{net} = L (− m g) sin θ .

Using the small angle approximation and rearranging:

英語のヒント

小角近似を使って整理すると、次の式になる。

\begin{matrix} I α & = & − L (m g) θ; \\ I \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} & = & − L (m g) θ; \\ \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} & = & − (\frac{m g L}{I}) θ . \end{matrix}

Once again, the equation says that the second time derivative of the position (in this case, the angle) equals minus a constant

(- \frac{m g L}{I})

times the position. The solution is

英語のヒント

この式も、位置、この場合は角度の時間に関する2階微分が、位置に定数

(- \frac{m g L}{I})

を掛けて符号を逆にしたものに等しいと述べている。解は次のとおりである。

θ (t) = Θ cos (ω t + ϕ),

where

Θ

is the maximum angular displacement. The angular frequency is

英語のヒント

ここで

Θ

は最大角変位である。角振動数は次のようになる。

The period is therefore

英語のヒント

したがって、周期は次のとおりである。

Note that for a simple pendulum, the moment of inertia is

I = \int r^{2} d m = m L^{2}

and the period reduces to

T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}

英語のヒント

単振り子では慣性モーメントが

I = \int r^{2} d m = m L^{2}

なので、周期は

T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}

になることに注意しよう。

Example 15.4例題 15.4

Reducing the Swaying of a Skyscraper超高層ビルの揺れを抑える

In extreme conditions, skyscrapers can sway up to two meters with a frequency of up to 20.00 Hz due to high winds or seismic activity. Several companies have developed physical pendulums that are placed on the top of the skyscrapers. As the skyscraper sways to the right, the pendulum swings to the left, reducing the sway. Assuming the oscillations have a frequency of 0.50 Hz, design a pendulum that consists of a long beam, of constant density, with a mass of 100 metric tons and a pivot point at one end of the beam. What should be the length of the beam?

英語のヒント

極端な条件では、超高層ビルは強風や地震によって、振動数が最大20.00 Hz、揺れが最大2 mに達することがある。いくつかの企業は、ビルの最上部に設置する実体振り子を開発している。ビルが右へ揺れると振り子は左へ動き、揺れを抑える。振動数を0.50 Hzと仮定し、密度が一定、質量100メートルトンの長い梁の一端を支点とする振り子を設計せよ。梁の長さをいくらにすればよいか。

高い建物の屋上に柱があり、その上部近くの支点から長さLの棒がつるされて揺れる図。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Strategy方針

We are asked to find the length of the physical pendulum with a known mass. We first need to find the moment of inertia of the beam. We can then use the equation for the period of a physical pendulum to find the length.

英語のヒント

質量が分かっている実体振り子の長さを求める。まず梁の慣性モーメントを求め、次に実体振り子の周期の式を使って長さを求める。

Solution解答

Find the moment of inertia for the CM:
Use the parallel axis theorem to find the moment of inertia about the point of rotation for a rod length L:
英語のヒント
重心に関する慣性モーメントを求める。平行軸の定理を使い、長さLの棒の回転中心に関する慣性モーメントを得る。

$I = I_{CM} + {\frac{L}{4}}^{2} M = \frac{1}{12} M L^{2} + \frac{1}{4} M L^{2} = \frac{1}{3} M L^{2} .$
The period of a physical pendulum with its center of mass a distance l from the pivot point has a period of $T = 2 π \sqrt{\frac{I}{m g l}}$ . In this problem, L has been defined as the total length of the rod, so $l = L / 2$ . Use the moment of inertia to solve for the length L:
英語のヒント
重心が支点から距離lにある実体振り子の周期は、 $T = 2 π \sqrt{\frac{I}{m g l}}$ である。この問題ではLを棒の全長としたので、 $l = L / 2$ となる。慣性モーメントを使って、長さLについて解く。

$\begin{matrix} T = \sqrt{\frac{\frac{1}{3} {M L}^{2}}{M g \frac{L}{2}}} = 2 π \sqrt{\frac{2 L}{3 g}}; \\ L = \frac{3 T^{2} g}{8 π^{2}} = 1.49 m . \end{matrix}$

Significance考察

There are many ways to reduce the oscillations, including modifying the shape of the skyscrapers, using multiple physical pendulums, and using tuned-mass dampers.

英語のヒント

振動を減らす方法には、ビルの形を変える、複数の実体振り子を使う、同調質量ダンパーを使うなど、さまざまなものがある。