第15章振動

Summaryまとめ

A system’s natural frequency is the frequency at which the system oscillates if not affected by driving or damping forces.
英語のヒント
系の固有振動数は、駆動力や減衰力の影響を受けないときに系が振動する振動数である。
A periodic force driving a harmonic oscillator at its natural frequency produces resonance. The system is said to resonate.
英語のヒント
周期的な力で調和振動子を固有振動数に合わせて駆動すると、共振が起こる。このとき、系は共振しているという。
The less damping a system has, the higher the amplitude of the forced oscillations near resonance. The more damping a system has, the broader response it has to varying driving frequencies.
英語のヒント
系の減衰が小さいほど、共振付近の強制振動の振幅は大きい。減衰が大きいほど、さまざまな駆動振動数に対する応答の幅は広い。

Key Equations重要な式

Relationship between frequency and period 振動数と周期の関係	$f = \frac{1}{T}$
$Position in SHM with ϕ = 0.00$ $次の条件での単振動の位置： ϕ = 0.00$	$x (t) = A cos (ω t)$
General position in SHM 単振動の一般的な位置	$x (t) = A cos (ω t + ϕ)$
General velocity in SHM 単振動の一般的な速度	$v (t) = − A ω sin (ω t + ϕ)$
General acceleration in SHM 単振動の一般的な加速度	$a (t) = − A ω^{2} cos (ω t + ϕ)$
Maximum displacement (amplitude) of SHM 単振動の最大変位（振幅）	$x_{max} = A$
Maximum velocity of SHM 単振動の最大速度	$\| v_{max} \| = A ω$
Maximum acceleration of SHM 単振動の最大加速度	$\| a_{max} \| = A ω^{2}$
Angular frequency of a mass-spring system in SHM 単振動する質点・ばね系の角振動数	$ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$
Period of a mass-spring system in SHM 単振動する質点・ばね系の周期	$T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$
Frequency of a mass-spring system in SHM 単振動する質点・ばね系の振動数	$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}}$
Energy in a mass-spring system in SHM 単振動する質点・ばね系のエネルギー	$E_{Total} = \frac{1}{2} k x^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ $E_{全} = \frac{1}{2} k x^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$
The velocity of the mass in a spring-mass system in SHM 単振動するばね・質点系の質点の速度	$v = \pm \sqrt{\frac{k}{m} (A^{2} - x^{2})}$
The x-component of the radius of a rotating disk 回転円板の半径のx成分	$x (t) = A cos (ω t + ϕ)$
The x-component of the velocity of the edge of a rotating disk 回転円板の縁の速度のx成分	$v (t) = − v_{max} sin (ω t + ϕ)$
The x-component of the acceleration of the edge of a rotating disk 回転円板の縁の加速度のx成分	$a (t) = − a_{max} cos (ω t + ϕ)$
Force equation for a simple pendulum 単振り子の力の式	$\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - \frac{g}{L} θ$
Angular frequency for a simple pendulum 単振り子の角振動数	$ω = \sqrt{\frac{g}{L}}$
Period of a simple pendulum 単振り子の周期	$T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}$
Angular frequency of a physical pendulum 実体振り子の角振動数	$ω = \sqrt{\frac{m g L}{I}}$
Period of a physical pendulum 実体振り子の周期	$T = 2 π \sqrt{\frac{I}{m g L}}$
Period of a torsional pendulum ねじり振り子の周期	$T = 2 π \sqrt{\frac{I}{κ}}$
Newton’s second law for harmonic motion 調和振動に対するニュートンの第2法則	$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + b \frac{d x}{d t} + k x = 0$
Solution for underdamped harmonic motion 不足減衰する調和振動の解	$x (t) = A_{0} e^{- \frac{b}{2 m} t} cos (ω t + ϕ)$
Natural angular frequency of a mass-spring system 質点・ばね系の固有角振動数	$ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$
Angular frequency of underdamped harmonic motion 不足減衰する調和振動の角振動数	$ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - {(\frac{b}{2 m})}^{2}}$
Newton’s second law for forced, damped oscillation 強制減衰振動に対するニュートンの第2法則	$− k x - b \frac{d x}{d t} + F_{o} sin (ω t) = m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$
Solution to Newton’s second law for forced, damped oscillations 強制減衰振動に対するニュートンの第2法則の解	$x (t) = A cos (ω t + ϕ)$
Amplitude of system undergoing forced, damped oscillations 強制減衰振動する系の振幅	$A = \frac{F_{o}}{\sqrt{m^{2} {(ω^{2} - ω_{o}^{2})}^{2} + b^{2} ω^{2}}}$

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 49–51練習問題 49–51

Exercise 49問題 49

Why are soldiers in general ordered to “route step” (walk out of step) across a bridge?

英語のヒント

兵士が橋を渡るとき、一般に歩調をそろえずに歩くよう命じられるのはなぜか。

Exercise 50問題 50

Do you think there is any harmonic motion in the physical world that is not damped harmonic motion? Try to make a list of five examples of undamped harmonic motion and damped harmonic motion. Which list was easier to make?

英語のヒント

物理的な世界に、減衰しない調和振動はあると思うか。減衰しない調和振動と減衰する調和振動について、それぞれ五つの例を挙げてみよ。どちらが簡単だったか。

Solution解き方

All harmonic motion is damped harmonic motion, but the damping may be negligible. This is due to friction and drag forces. It is easy to come up with five examples of damped motion: (1) A mass oscillating on a hanging on a spring (it eventually comes to rest). (2) Shock absorbers in a car (thankfully they also come to rest). (3) A pendulum is a grandfather clock (weights are added to add energy to the oscillations). (4) A child on a swing (eventually comes to rest unless energy is added by pushing the child). (5) A marble rolling in a bowl (eventually comes to rest). As for the undamped motion, even a mass on a spring in a vacuum will eventually come to rest due to internal forces in the spring. Damping may be negligible, but cannot be eliminated.

英語のヒント

すべての調和振動は減衰するが、その減衰が無視できる場合はある。原因は摩擦力や抗力である。減衰する運動の例は簡単に五つ挙げられる。(1) ばねにつり下げた質点の振動。やがて止まる。(2) 車のショックアブソーバー。幸い、これも止まる。(3) 置き時計の振り子。おもりによって振動へエネルギーを加える。(4) ブランコに乗る子ども。押してエネルギーを加えなければ、やがて止まる。(5) お椀の中を転がるビー玉。これも最後は止まる。減衰しない運動については、真空中のばねにつながれた質点でさえ、ばねの内部の力によって最後には止まる。減衰を無視できる場合はあっても、完全には取り除けない。

Exercise 51問題 51

Some engineers use sound to diagnose performance problems with car engines. Occasionally, a part of the engine is designed that resonates at the frequency of the engine. The unwanted oscillations can cause noise that irritates the driver or could lead to the part failing prematurely. In one case, a part was located that had a length L made of a material with a mass M. What can be done to correct this problem?

英語のヒント

技師は、車のエンジンの不具合の診断に音を使うことがある。エンジンの部品が、エンジンの振動数で共振する設計になってしまう場合がある。望ましくない振動は、運転者をいらだたせる騒音や、部品の早期故障につながり得る。ある場合、長さL、質量Mの材料で作られた部品が原因と分かった。この問題を直すために何ができるか。

Problems問題

Exercises 52–55練習問題 52–55

Exercise 52問題 52

How much energy must the shock absorbers of a 1200-kg car dissipate in order to damp a bounce that initially has a velocity of 0.800 m/s at the equilibrium position? Assume the car returns to its original vertical position.

英語のヒント

質量1200 kgの車が、つり合いの位置で初速度0.800 m/sを持って上下動を始めた。この振動を減衰させるために、ショックアブソーバーはどれだけのエネルギーを散逸させる必要があるか。車は元の高さへ戻るものとする。

Exercise 53問題 53

If a car has a suspension system with a force constant of

5.00 \times 10^{4} N/m

, how much energy must the car’s shocks remove to dampen an oscillation starting with a maximum displacement of 0.0750 m?

英語のヒント

車の懸架装置の力の定数が

5.00 \times 10^{4} N/m

である。最大変位0.0750 mから始まる振動を減衰させるには、ショックアブソーバーがどれだけのエネルギーを取り去る必要があるか。

Solution解き方

141 J

Exercise 54問題 54

(a) How much will a spring that has a force constant of 40.0 N/m be stretched by an object with a mass of 0.500 kg when hung motionless from the spring? (b) Calculate the decrease in gravitational potential energy of the 0.500-kg object when it descends this distance. (c) Part of this gravitational energy goes into the spring. Calculate the energy stored in the spring by this stretch, and compare it with the gravitational potential energy. Explain where the rest of the energy might go.

英語のヒント

(a) 力の定数40.0 N/mのばねに質量0.500 kgをつるして静止させると、ばねはどれだけ伸びるか。(b) この距離だけ物体が下がったとき、重力による位置エネルギーがどれだけ減るか求めよ。(c) このエネルギーの一部はばねへ移る。伸びによってばねに蓄えられるエネルギーを求め、重力による位置エネルギーと比較せよ。残りのエネルギーがどこへ行くと考えられるか説明せよ。

Exercise 55問題 55

Suppose you have a 0.750-kg object on a horizontal surface connected to a spring that has a force constant of 150 N/m. There is simple friction between the object and surface with a static coefficient of friction

μ_{s} = 0.100

. (a) How far can the spring be stretched without moving the mass? (b) If the object is set into oscillation with an amplitude twice the distance found in part (a), and the kinetic coefficient of friction is

μ_{k} = 0.0850

, what total distance does it travel before stopping? Assume it starts at the maximum amplitude.

英語のヒント

水平面上の質量0.750 kgの物体を、力の定数150 N/mのばねにつなぐ。面と物体の間には静止摩擦係数

μ_{s} = 0.100

の摩擦がある。(a) 物体を動かさずに、ばねをどこまで伸ばせるか。(b) (a)で求めた距離の2倍を振幅として物体を振動させ、動摩擦係数を

μ_{k} = 0.0850

とする。止まるまでの総移動距離はいくらか。初めは最大振幅の位置にあるとする。

Solution解き方

4.90 \times 10^{−3} m

; b.

1.15 \times 10^{−2} m

4.90 \times 10^{−3} m

；b.

1.15 \times 10^{−2} m