第15章振動

Torsional Pendulumねじり振り子

A torsional pendulum consists of a rigid body suspended by a light wire or spring (Figure 15.22). When the body is twisted some small maximum angle

(Θ)

and released from rest, the body oscillates between

(θ = + Θ)

and

(θ = − Θ)

. The restoring torque is supplied by the shearing of the string or wire.

英語のヒント

ねじり振り子は、軽い針金やばねで剛体をつり下げたものである（図15.22）。剛体を小さな最大角

(Θ)

だけねじって静かに放すと、

(θ = + Θ)

と

(θ = − Θ)

の間を振動する。復元トルクは、糸や針金のせん断によって生じる。

ねじり振り子の図。水平な円板が、中心Oに付けた糸で天井からつるされている。円板と糸は、水平面内で+Θと−Θの間を振動する。二つの間のθ=0がつり合いの位置である。 — Figure 15.22図 15.22
A torsional pendulum consists of a rigid body suspended by a string or wire. The rigid body oscillates between $θ = + Θ$ and $θ = − Θ$ .
英語のヒント
ねじり振り子は、糸や針金でつり下げた剛体からなる。剛体は $θ = + Θ$ と $θ = − Θ$ の間を振動する。

The restoring torque can be modeled as being proportional to the angle:

英語のヒント

復元トルクは、角度に比例するものとして表せる。

τ = − κ θ .

The variable kappa

(κ)

is known as the torsion constant of the wire or string. The minus sign shows that the restoring torque acts in the opposite direction to increasing angular displacement. The net torque is equal to the moment of inertia times the angular acceleration:

英語のヒント

変数カッパ

(κ)

を、針金や糸のねじり定数と呼ぶ。負の符号は、復元トルクが角変位の増加と反対方向に働くことを示す。合トルクは慣性モーメントと角加速度の積に等しい。

\begin{matrix} I \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = − κ θ; \\ \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - \frac{κ}{I} θ . \end{matrix}

This equation says that the second time derivative of the position (in this case, the angle) equals a negative constant times the position. This looks very similar to the equation of motion for the SHM

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{k}{m} x

, where the period was found to be

T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}

. Therefore, the period of the torsional pendulum can be found using

英語のヒント

この式は、位置、この場合は角度の時間に関する2階微分が、位置と負の定数の積に等しいことを述べている。単振動の運動方程式

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{k}{m} x

と非常によく似ており、そこでの周期は

T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}

だった。したがって、ねじり振り子の周期は次の式で求められる。

The units for the torsion constant are

[κ] = N-m = (kg \frac{m}{s^{2}}) m = kg \frac{m^{2}}{s^{2}}

and the units for the moment of inertial are

[I] = {kg-m}^{2},

which show that the unit for the period is the second.

英語のヒント

ねじり定数の単位は

[κ] = N-m = (kg \frac{m}{s^{2}}) m = kg \frac{m^{2}}{s^{2}}

、慣性モーメントの単位は

[I] = {kg-m}^{2}

なので、周期の単位は秒となる。

Example 15.5例題 15.5

Measuring the Torsion Constant of a String糸のねじり定数を測る

A rod has a length of

L = 0.30 m

and a mass of 4.00 kg. A string is attached to the CM of the rod and the system is hung from the ceiling (Figure 15.23). The rod is displaced 10 degrees from the equilibrium position and released from rest. The rod oscillates with a period of 0.5 s. What is the torsion constant

κ

英語のヒント

長さ

L = 0.30 m

、質量4.00 kgの棒がある。その重心CMに糸を付け、天井からつるす（図15.23）。棒をつり合いの位置から10度ねじって静かに放すと、周期0.5 sで振動する。ねじり定数

κ

はいくらか。

(a) は長さ30.0 cm、質量4.00 kgの水平な棒を、中央に付けた糸で天井からつるした図。棒は糸とともに水平面内で回転する。(b) は慣性モーメントを求めるための情報を示す。棒の全長はL、全質量はMで、線密度はλ=dm/dx=M/Lである。中央から距離xにある長さdxの小区間を強調する。糸は棒の中央に付いている。 — Figure 15.23図 15.23
(a) A rod suspended by a string from the ceiling. (b) Finding the rod’s moment of inertia.
英語のヒント
(a) 糸で天井からつるした棒。(b) 棒の慣性モーメントを求める。

Strategy方針

We are asked to find the torsion constant of the string. We first need to find the moment of inertia.

英語のヒント

糸のねじり定数を求めるため、まず慣性モーメントを計算する必要がある。

Solution解答

Find the moment of inertia for the CM:
英語のヒント
重心に関する慣性モーメントを求める。

$I_{CM} = \int x^{2} d m = \int_{− L / 2}^{+ L / 2} x^{2} λ d x = λ {[\frac{x^{3}}{3}]}_{− L / 2}^{+ L / 2} = λ \frac{2 L^{3}}{24} = (\frac{M}{L}) \frac{2 L^{3}}{24} = \frac{1}{12} M L^{2} .$
Calculate the torsion constant using the equation for the period:
英語のヒント
周期の式を使って、ねじり定数を求める。

$\begin{matrix} T & = & 2 π \sqrt{\frac{I}{κ}}; \\ κ & = & I {(\frac{2 π}{T})}^{2} = (\frac{1}{12} M L^{2}) {(\frac{2 π}{T})}^{2}; \\ = & (\frac{1}{12} (4.00 kg) {(0.30 m)}^{2}) {(\frac{2 π}{0.50 s})}^{2} = 4.73 N \cdot m . \end{matrix}$

Significance考察

Like the force constant of the system of a block and a spring, the larger the torsion constant, the shorter the period.

英語のヒント

ブロックとばねの系の力の定数と同じく、ねじり定数が大きいほど周期は短い。

Summaryまとめ

A mass m suspended by a wire of length L and negligible mass is a simple pendulum and undergoes SHM for amplitudes less than about $15 °$ . The period of a simple pendulum is $T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}$ , where L is the length of the string and g is the acceleration due to gravity.
英語のヒント
長さL、質量を無視できる針金に質量mをつるしたものが単振り子であり、振幅が約 $15 °$ 未満なら単振動する。周期は $T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}$ で、Lは糸の長さ、gは重力加速度である。
The period of a physical pendulum $T = 2 π \sqrt{\frac{I}{m g L}}$ can be found if the moment of inertia is known. The length between the point of rotation and the center of mass is L.
英語のヒント
慣性モーメントが分かれば、実体振り子の周期 $T = 2 π \sqrt{\frac{I}{m g L}}$ を求められる。回転中心と重心の間の距離はLである。
The period of a torsional pendulum $T = 2 π \sqrt{\frac{I}{κ}}$ can be found if the moment of inertia and torsion constant are known.
英語のヒント
慣性モーメントとねじり定数が分かれば、ねじり振り子の周期 $T = 2 π \sqrt{\frac{I}{κ}}$ を求められる。

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 33–35練習問題 33–35

Exercise 33問題 33

Pendulum clocks are made to run at the correct rate by adjusting the pendulum’s length. Suppose you move from one city to another where the acceleration due to gravity is slightly greater, taking your pendulum clock with you, will you have to lengthen or shorten the pendulum to keep the correct time, other factors remaining constant? Explain your answer.

英語のヒント

振り子時計は、振り子の長さを調整して正しい速さで進むようにする。振り子時計を持って、重力加速度が少し大きい別の都市へ引っ越すとする。ほかの条件が一定なら、正しい時刻を保つには、振り子を長くする必要があるか、短くする必要があるか。理由を説明せよ。

Exercise 34問題 34

A pendulum clock works by measuring the period of a pendulum. In the springtime the clock runs with perfect time, but in the summer and winter the length of the pendulum changes. When most materials are heated, they expand. Does the clock run too fast or too slow in the summer? What about the winter?

英語のヒント

振り子時計は振り子の周期を測って時を刻む。春には正確でも、夏と冬には振り子の長さが変わる。多くの物質は温めると膨張する。夏には時計が進みすぎるか、遅れるか。冬はどうか。

Solution解き方

The period of the pendulum is

T = 2 π \sqrt{L / g} .

In summer, the length increases, and the period increases. If the period should be one second, but period is longer than one second in the summer, it will oscillate fewer than 60 times a minute and clock will run slow. In the winter it will run fast.

英語のヒント

周期は

T = 2 π \sqrt{L / g}

である。夏には長さが増し、周期が長くなる。本来1秒のはずの周期が夏に1秒を超えると、1分当たりの振動回数は60回未満となり、時計は遅れる。冬には進む。

Exercise 35問題 35

With the use of a phase shift, the position of an object may be modeled as a cosine or sine function. If given the option, which function would you choose? Assuming that the phase shift is zero, what are the initial conditions of function; that is, the initial position, velocity, and acceleration, when using a sine function? How about when a cosine function is used?

英語のヒント

位相のずれを使えば、物体の位置は余弦でも正弦でも表せる。選べるなら、どちらの関数を使うか。位相のずれをゼロとした場合、正弦関数で表す運動の初期条件、すなわち初期位置、初速度、初期加速度はどうなるか。余弦関数の場合はどうか。