プリンキピア

第15章振動

15.4 Pendulums15.4　振り子

Learning Objectives学習目標

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By the end of this section, you will be able to:
英語のヒント
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • State the forces that act on a simple pendulum
    英語のヒント
    単振り子に働く力を挙げる。
  • Determine the angular frequency, frequency, and period of a simple pendulum in terms of the length of the pendulum and the acceleration due to gravity
    英語のヒント
    振り子の長さと重力加速度を用いて、単振り子の角振動数、振動数、周期を求める。
  • Define the period for a physical pendulum
    英語のヒント
    実体振り子の周期を定義する。
  • Define the period for a torsional pendulum
    英語のヒント
    ねじり振り子の周期を定義する。
Pendulums are in common usage. Grandfather clocks use a pendulum to keep time and a pendulum can be used to measure the acceleration due to gravity. For small displacements, a pendulum is a simple harmonic oscillator.
英語のヒント
振り子は広く使われている。背の高い置き時計は振り子で時を刻み、振り子は重力加速度の測定にも使える。変位が小さい場合、振り子は単振動子となる。

The Simple Pendulum単振り子

A simple pendulum is defined to have a point mass, also known as the pendulum bob, which is suspended from a string of length L with negligible mass (Figure 15.20). Here, the only forces acting on the bob are the force of gravity (i.e., the weight of the bob) and tension from the string. The mass of the string is assumed to be negligible as compared to the mass of the bob.
英語のヒント
単振り子は、長さL、質量を無視できる糸に、振り子のおもりと呼ぶ質点をつるしたものと定義する（図15.20）。おもりに働く力は、重力、すなわちおもりの重さと、糸の張力だけである。糸の質量は、おもりの質量に比べて無視できると仮定する。
水平な棒から、長さLの糸が鉛直方向に対して反時計回りに角度θをなして垂れ、その下端に質量mの丸いおもりが付く。支点から下へ伸びる破線が鉛直を示し、おもりから鉛直線までの破線の円弧の長さをsとする。糸に沿って支点へ向かう赤い矢印には、おもりの振動の時間Tを示す。おもり付近の座標は、yの正方向が糸に沿って支点へ向き、xの正方向が円弧に接してつり合いの位置から離れる向きである。糸に沿う青矢印はF_T、鉛直下向きの赤矢印はw=mgである。円弧に接してつり合いへ向かう−x方向の赤矢印は−mg sin θ、wから反時計回りにθの角をなす赤矢印は−mg cos θと記す。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Figure 15.20図 15.20
A simple pendulum has a small-diameter bob and a string that has a very small mass but is strong enough not to stretch appreciably. The linear displacement from equilibrium is s, the length of the arc. Also shown are the forces on the bob, which result in a net force of −mgsinθ toward the equilibrium position—that is, a restoring force.
英語のヒント
単振り子は、直径の小さなおもりと、質量が非常に小さく、ほとんど伸びないほど十分強い糸からなる。つり合いからの長さとしての変位は、円弧の長さsである。おもりに働く力も示す。つり合いの位置へ向かう合力−mgsinθ、すなわち復元力が生じる。
Consider the torque on the pendulum. The force providing the restoring torque is the component of the weight of the pendulum bob that acts along the arc length. The torque is the length of the string L times the component of the net force that is perpendicular to the radius of the arc. The minus sign indicates the torque acts in the opposite direction of the angular displacement:
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振り子に働くトルクを考えよう。復元トルクを生むのは、おもりの重力のうち、円弧に沿って働く成分である。トルクは、糸の長さLと、円弧の半径に垂直な合力の成分の積となる。負の符号は、トルクが角変位と反対方向に働くことを示す。
τ=−L(mgsinθ);Iα=−L(mgsinθ);Id2θdt2=−L(mgsinθ);mL2d2θdt2=−L(mgsinθ);d2θdt2=−gLsinθ.
The solution to this differential equation involves advanced calculus, and is beyond the scope of this text. But note that for small angles (less than 15 degrees or about 0.26 radians), sinθ and θ differ by less than 1%, if θ is measured in radians. We can then use the small angle approximation sinθ≈θ. The angle θ describes the position of the pendulum. Using the small angle approximation gives an approximate solution for small angles,
英語のヒント
この微分方程式を解くには高度な微積分が必要で、本書の範囲を超える。ただし、角度が小さく、15度未満、すなわち約0.26ラジアン未満なら、θをラジアンで測ったときのsinθとθの差は1%未満である。したがって、小角近似sinθ≈θが使える。角度θは振り子の位置を表す。小角近似によって、小さな角度に対する近似解を得る。
Because this equation has the same form as the equation for SHM, the solution is easy to find. The angular frequency is
英語のヒント
この式は単振動の式と同じ形なので、解は簡単に求められる。角振動数は次のとおりである。
and the period is
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また、周期は次のようになる。
The period of a simple pendulum depends on its length and the acceleration due to gravity. The period is completely independent of other factors, such as mass and the maximum displacement. As with simple harmonic oscillators, the period T for a pendulum is nearly independent of amplitude, especially if θ is less than about 15°. Even simple pendulum clocks can be finely adjusted and remain accurate.
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単振り子の周期は、長さと重力加速度によって決まる。質量や最大変位などのほかの要因には依存しない。単振動子と同様、振り子の周期Tは振幅にほぼ依存せず、特にθが約15°未満ならよい近似となる。単純な振り子時計でも細かく調整でき、正確な時を刻み続けられる。
Note the dependence of T on g. If the length of a pendulum is precisely known, it can actually be used to measure the acceleration due to gravity, as in the following example.
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Tがgに依存することに注目しよう。振り子の長さが正確に分かれば、次の例のように、実際に重力加速度を測れる。
Example 15.3例題 15.3

Measuring Acceleration due to Gravity by the Period of a Pendulum振り子の周期から重力加速度を測る

What is the acceleration due to gravity in a region where a simple pendulum having a length 75.000 cm has a period of 1.7357 s?
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長さ75.000 cmの単振り子の周期が1.7357 sとなる場所で、重力加速度はいくらか。

Strategy方針

We are asked to find g given the period T and the length L of a pendulum. We can solve T=2πLg for g, assuming only that the angle of deflection is less than 15°.
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与えられた振り子の周期Tと長さLからgを求める。振れ角が15°未満という条件だけを仮定して、T=2πLgをgについて解けばよい。

Solution解答

  1. Square T=2πLg and solve for g:
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    T=2πLgを2乗し、gについて解く。
    g=4π2LT2.
  2. Substitute known values into the new equation:
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    既知の値を新しい式へ代入する。
    g=4π20.75000m(1.7357s)2.
  3. Calculate to find g:
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    計算してgを求める。
    g=9.8281m/s2.

Significance考察

This method for determining g can be very accurate, which is why length and period are given to five digits in this example. For the precision of the approximation sinθ≈θ to be better than the precision of the pendulum length and period, the maximum displacement angle should be kept below about 0.5°.
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この方法ではgを非常に正確に測れるため、この例では長さと周期を5桁で与えている。近似sinθ≈θの精度を長さや周期の測定精度よりよくするには、最大の振れ角を約0.5°未満に保つ必要がある。