第6章ニュートンの法則の応用

Summaryまとめ

• Friction is a contact force that opposes the motion or attempted motion between two systems. Simple friction is proportional to the normal force N supporting the two systems.

  英語のヒント

  摩擦は、二つの系の運動または動こうとする向きと逆向きに働く接触力である。単純な摩擦は、二つの系を支える垂直抗力Nに比例する。
• The magnitude of static friction force between two materials stationary relative to each other is determined using the coefficient of static friction, which depends on both materials.

  英語のヒント

  互いに相対的に静止する二つの材料間の静止摩擦力の大きさは、両方の材料に依存する静止摩擦係数を使って求める。
• The kinetic friction force between two materials moving relative to each other is determined using the coefficient of kinetic friction, which also depends on both materials and is always less than the coefficient of static friction.

  英語のヒント

  互いに相対運動する二つの材料間の動摩擦力は、動摩擦係数を使って求める。この係数も両方の材料に依存し、静止摩擦係数より常に小さい。

Conceptual Questions概念に関する問題

Problems問題

Exercises 27–45練習問題 27–45

Exercise 27問題 27

(a) When rebuilding an engine, a physics major must exert $3.00\times {10}^2$ N of force to insert a dry steel piston into a steel cylinder. What is the normal force between the piston and cylinder? (b) What force would they have to exert if the steel parts were oiled?

英語のヒント

(a) エンジンの組み直しで、物理専攻の学生が乾いた鋼のピストンを鋼のシリンダーに入れるには、$3.00\times {10}^2$ Nの力が必要である。ピストンとシリンダーの間の垂直抗力はいくらか。(b) 鋼の部品に油を塗った場合、必要な力はいくらか。

Exercise 28問題 28

(a) What is the maximum frictional force in the knee joint of a person who supports 66.0 kg of her mass on that knee? (b) During strenuous exercise, it is possible to exert forces to the joints that are easily 10 times greater than the weight being supported. What is the maximum force of friction under such conditions? The frictional forces in joints are relatively small in all circumstances except when the joints deteriorate, such as from injury or arthritis. Increased frictional forces can cause further damage and pain.

英語のヒント

(a) 片方の膝で体の質量66.0 kgを支える人の、膝関節内の最大摩擦力はいくらか。(b) 激しい運動中には、支える重さの10倍程度の力が関節に加わることもある。この条件での最大摩擦力はいくらか。けがや関節炎などによって関節が悪化した場合を除き、関節の摩擦力はどの状況でも比較的小さい。摩擦力が増えると、さらに損傷や痛みが生じることがある。

Solution解き方

a. 10.0 N; b. 97.0 N

a. 10.0 N、b. 97.0 N

Exercise 29問題 29

Suppose you have a 120-kg wooden crate resting on a wood floor, with coefficient of static friction 0.500 between these wood surfaces. (a) What maximum force can you exert horizontally on the crate without moving it? (b) If you continue to exert this force once the crate starts to slip, what will its acceleration then be? The coefficient of sliding friction is known to be 0.300 for this situation.

英語のヒント

質量120 kgの木箱が木の床の上にあり、接触する木の面の静止摩擦係数は0.500である。(a) 木箱を動かさずに水平方向に加えられる最大の力はいくらか。(b) 滑り出した後もその力を加え続けると、加速度はいくらになるか。滑り摩擦係数は0.300と分かっている。

Exercise 30問題 30

(a) If half of the weight of a small $1.00\times {10}^3\text{-kg}$ utility truck is supported by its two drive wheels, what is the maximum acceleration it can achieve on dry concrete? (b) Will a metal cabinet lying on the wooden bed of the truck slip if it accelerates at this rate? (c) Solve both problems assuming the truck has four-wheel drive.

英語のヒント

(a) 小型の$1.00\times {10}^3\text{-kg}$の作業用トラックの重さの半分を2輪の駆動輪が支えている場合、乾いたコンクリート上で得られる最大加速度はいくらか。(b) その加速度で加速すると、木製の荷台上の金属製戸棚は滑るか。(c) 四輪駆動の場合に、両方を解け。

Solution解き方

a. $4.9{\text{m/s}}^2$; b. The cabinet will not slip. c. The cabinet will slip.

英語のヒント

a. $4.9{\text{m/s}}^2$、b. 戸棚は滑らない。c. 戸棚は滑る。

Exercise 31問題 31

A team of eight dogs pulls a sled with waxed wood runners on wet snow (mush!). The dogs have average masses of 19.0 kg, and the loaded sled with its rider has a mass of 210 kg. (a) Calculate the acceleration of the dogs starting from rest if each dog exerts an average force of 185 N backward on the snow. (b) Calculate the force in the coupling between the dogs and the sled.

英語のヒント

8匹の犬が、ワックスを塗った木製の滑走部をもつそりを、ぬれた雪の上で引く。さあ進め。犬の平均質量は19.0 kg、荷物と人を載せたそりの質量は210 kgである。(a) 各犬が平均185 Nの力で雪を後ろへ押して静止から出発するとき、犬たちの加速度を求めよ。(b) 犬たちとそりの連結部に働く力を求めよ。

Exercise 32問題 32

Consider the 65.0-kg ice skater being pushed by two others shown below. (a) Find the direction and magnitude of $F_{\text{tot}},$ the total force exerted on her by the others, given that the magnitudes $F_1$ and $F_2$ are 26.4 N and 18.6 N, respectively. (b) What is her initial acceleration if she is initially stationary and wearing steel-bladed skates that point in the direction of $F_{\text{tot}}?$ (c) What is her acceleration assuming she is already moving in the direction of $F_{\text{tot}}?$ (Remember that friction always acts in the direction opposite that of motion or attempted motion between surfaces in contact.)

英語のヒント

下図で、質量65.0 kgのスケーターを二人が押している。(a) 二人が及ぼす合力$F_{\text{tot}}$の向きと大きさを求めよ。$F_1$と$F_2$の大きさは、それぞれ26.4 Nと18.6 Nである。(b) 初めは静止し、鋼の刃のスケート靴を$F_{\text{tot}}$の向きに向けている場合、初期加速度はいくらか。(c) すでに$F_{\text{tot}}$の向きに動いているときの加速度はいくらか。摩擦は、接触面の相対運動または動こうとする向きと逆向きに働くことを思い出そう。

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Solution解き方

a. 32.3 N, $35.2\text{°};$ b. 0; c. $0.301{\text{m/s}}^2$ in the direction of ${\overrightarrow{F}}_{\text{tot}}$

英語のヒント

a. 32.3 N、$35.2\text{°};$。b. 0。c. ${\overrightarrow{F}}_{\text{tot}}$の向きに$0.301{\text{m/s}}^2$。

Exercise 33問題 33

Show that the acceleration of any object down a frictionless incline that makes an angle $\theta$ with the horizontal is $a=g\text{sin}\theta$. (Note that this acceleration is independent of mass.)

英語のヒント

水平と$\theta$の角をなす摩擦のない斜面を滑り降りる物体の加速度が、$a=g\text{sin}\theta$であることを示せ。この加速度は質量に依存しない。

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Exercise 34問題 34

Show that the acceleration of any object down an incline where friction behaves simply (that is, where $f_{\text{k}}={\mu }_{\text{k}}N)$ is $a=g(\text{sin}\theta -{\mu }_{\text{k}}\text{cos}\theta ).$ Note that the acceleration is independent of mass and reduces to the expression found in the previous problem when friction becomes negligibly small $({\mu }_{\text{k}}=0).$

英語のヒント

摩擦が単純に振る舞う斜面(つまり$f_{\text{k}}={\mu }_{\text{k}}N)$を滑り降りる物体の加速度が、$a=g(\text{sin}\theta -{\mu }_{\text{k}}\text{cos}\theta )$になることを示せ。加速度は質量に依存せず、摩擦が無視できるほど小さい$({\mu }_{\text{k}}=0)$の場合には、前問の式になることに注目しよう。

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Solution解き方

$\begin{array}{ccc}\hfill \text{net}{F}_y& =\hfill & 0\Rightarrow N=mg\text{cos}\theta \hfill \\ \hfill \text{net}{F}_x& =\hfill & ma\hfill \\ \hfill a& =\hfill & g\left(\text{sin}\theta -{\mu }_{\text{k}}\text{cos}\theta \right)\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ccc}\hfill \text{合}{F}_y& =\hfill & 0\Rightarrow N=mg\text{cos}\theta \hfill \\ \hfill \text{合}{F}_x& =\hfill & ma\hfill \\ \hfill a& =\hfill & g\left(\text{sin}\theta -{\mu }_{\text{k}}\text{cos}\theta \right)\hfill \end{array}$

Exercise 35問題 35

Calculate the acceleration opposite to the motion of a snow boarder going up a $5.00\text{°}$ slope, assuming the coefficient of friction for waxed wood on wet snow. The result of the preceding problem may be useful, but be careful to consider the fact that the snow boarder is going uphill.

英語のヒント

傾斜角$5.00\text{°}$の坂を上っているスノーボーダーについて、運動と逆向きの加速度を求めよ。摩擦係数は、ぬれた雪上のワックスを塗った木材の値を使う。前問の結果が役立つかもしれないが、坂を上っていることに注意せよ。

Exercise 36問題 36

A machine at a post office sends packages out a chute and down a ramp to be loaded into delivery vehicles. (a) Calculate the acceleration of a box heading down a $10.0\text{°}$ slope, assuming the coefficient of friction for a parcel on waxed wood is 0.100. (b) Find the angle of the slope down which this box could move at a constant velocity. You can neglect air resistance in both parts.

英語のヒント

郵便局の装置が荷物をシュートから斜面へ送り出し、配達車両に積み込む。(a) 荷物とワックスを塗った木材の摩擦係数を0.100として、$10.0\text{°}$の斜面を下る箱の加速度を求めよ。(b) この箱が一定の速度で動ける斜面の角度を求めよ。どちらも空気抵抗は無視できる。

Solution解き方

a. $0.737{\text{m/s}}^2;$ b. $5.71\text{°}$

a. $0.737{\text{m/s}}^2;$、b. $5.71\text{°}$

Exercise 37問題 37

If an object is to rest on an incline without slipping, then friction must equal the component of the weight of the object parallel to the incline. This requires greater and greater friction for steeper slopes. Show that the maximum angle of an incline above the horizontal for which an object will not slide down is $\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}{\mu }_{\text{s}}.$ You may use the result of the previous problem. Assume that $a=0$ and that static friction has reached its maximum value.

英語のヒント

物体が滑らずに斜面上で静止するには、摩擦力が重さの斜面に平行な成分と等しくなければならない。斜面が急になるほど、大きな摩擦力が必要になる。物体が滑り落ちない斜面の角度の最大値が、水平から$\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}{\mu }_{\text{s}}$であることを示せ。前問の結果を使ってもよい。$a=0$で、静止摩擦は最大値に達しているとする。

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Exercise 38問題 38

Calculate the maximum acceleration of a car that is heading down a $6.00\text{°}$ slope (one that makes an angle of $6.00\text{°}$ with the horizontal) under the following road conditions. You may assume that the weight of the car is evenly distributed on all four tires and that the coefficient of static friction is involved—that is, the tires are not allowed to slip during the acceleration opposite to the motion. (Ignore rolling.) Calculate for a car: (a) On dry concrete. (b) On wet concrete. (c) On ice, assuming that ${\mu }_{\text{s}}=0.100$, the same as for shoes on ice.

英語のヒント

次の路面条件で、$6.00\text{°}$の下り坂（水平と$6.00\text{°}$の角をなす）を進む車の最大加速度を求めよ。重さは4本のタイヤに均等に分かれ、静止摩擦係数を使うものとする。つまり、運動と逆向きに加速している間、タイヤは滑らない。転がりは無視する。(a) 乾いたコンクリート。(b) ぬれたコンクリート。(c) 氷。氷上の係数は靴の場合と同じ${\mu }_{\text{s}}=0.100$とする。

Solution解き方

a. $10.8{\text{m/s}}^2;$ b. $7.85{\text{m/s}}^2;$ c. $2.00{\text{m/s}}^2$

a. $10.8{\text{m/s}}^2;$、b. $7.85{\text{m/s}}^2;$、c. $2.00{\text{m/s}}^2$

Exercise 39問題 39

Calculate the maximum acceleration of a car that is heading up a $4.00\text{°}$ slope (one that makes an angle of $4.00\text{°}$ with the horizontal) under the following road conditions. Assume that only half the weight of the car is supported by the two drive wheels and that the coefficient of static friction is involved—that is, the tires are not allowed to slip during the acceleration. (Ignore rolling.) (a) On dry concrete. (b) On wet concrete. (c) On ice, assuming that ${\mu }_{\text{s}}=0.100$, the same as for shoes on ice.

英語のヒント

次の路面条件で、$4.00\text{°}$の上り坂（水平と$4.00\text{°}$の角をなす）を進む車の最大加速度を求めよ。2輪の駆動輪が支えるのは車の重さの半分だけとし、静止摩擦係数を使う。つまり加速中にタイヤは滑らない。転がりは無視する。(a) 乾いたコンクリート。(b) ぬれたコンクリート。(c) 氷。氷上の係数は靴の場合と同じ${\mu }_{\text{s}}=0.100$とする。

Exercise 40問題 40

Repeat the preceding problem for a car with four-wheel drive.

英語のヒント

四輪駆動車について、前問を解き直せ。

Solution解き方

a. $9.09{\text{m/s}}^2;$ b. $6.16{\text{m/s}}^2;$ c. $0.294{\text{m/s}}^2$

a. $9.09{\text{m/s}}^2;$、b. $6.16{\text{m/s}}^2;$、c. $0.294{\text{m/s}}^2$

Exercise 41問題 41

A freight train consists of two $8.00\times {10}^5\text{-kg}$ engines and 45 cars with average masses of $5.50\times {10}^5\text{kg}\text{.}$ (a) What force must each engine exert backward on the track to accelerate the train at a rate of $5.00\times {10}^{\mathrm{-2}}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$ if the force of friction is $7.50\times {10}^5\text{N}$, assuming the engines exert identical forces? This is not a large frictional force for such a massive system. Rolling friction for trains is small, and consequently, trains are very energy-efficient transportation systems. (b) What is the force in the coupling between the 37th and 38th cars (this is the force each exerts on the other), assuming all cars have the same mass and that friction is evenly distributed among all of the cars and engines?

英語のヒント

貨物列車は、質量$8.00\times {10}^5\text{-kg}$の機関車2両と、平均質量$5.50\times {10}^5\text{kg}$の貨車45両からなる。(a) 摩擦力が$7.50\times {10}^5\text{N}$の場合、列車を$5.00\times {10}^{\mathrm{-2}}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$の加速度で加速するため、各機関車は軌道を後ろ向きにどれだけの力で押す必要があるか。機関車の力は等しいとする。これほど大きな質量の系にとって、この摩擦力は大きくない。列車の転がり摩擦は小さく、そのため列車はエネルギー効率の高い輸送手段である。(b) 貨車37両目と38両目の連結部の力、つまり両者が互いに及ぼす力はいくらか。全貨車の質量は等しく、摩擦は貨車と機関車すべてに均等に分かれるとする。

Exercise 42問題 42

Consider the 52.0-kg mountain climber shown below. (a) Find the tension in the rope and the force that the mountain climber must exert with her feet on the vertical rock face to remain stationary. Assume that the force is exerted parallel to her legs. Also, assume negligible force exerted by her arms. (b) What is the minimum coefficient of friction between her shoes and the cliff?

英語のヒント

下図の質量52.0 kgの登山者を考える。(a) 静止するために必要なロープの張力と、足で鉛直な岩壁に及ぼす力を求めよ。その力は脚に平行で、腕の力は無視できるとする。(b) 靴と崖の間の摩擦係数の最小値はいくらか。

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Solution解き方

a. 272 N, 512 N; b. 0.268

a. 272 N、512 N、b. 0.268

Exercise 43問題 43

A contestant in a winter sporting event pushes a 45.0-kg block of ice across a frozen lake as shown below. The coefficient of friction of ice can be found in Table 6.1. (a) Calculate the minimum force F he must exert to get the block moving. (b) What is its acceleration once it starts to move, if that force is maintained?

英語のヒント

冬の競技の参加者が、下図のように凍った湖上で質量45.0 kgの氷塊を押す。氷の摩擦係数は表6.1を参照せよ。(a) 動かし始めるために必要な最小の力Fを求めよ。(b) 動き始めた後もその力を保つと、加速度はいくらか。

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Exercise 44問題 44

The contestant now pulls the block of ice with a rope over his shoulder at the same angle above the horizontal as shown below. The coefficient of friction of ice can be found in Table 6.1. Calculate the minimum force F he must exert to get the block moving. (b) What is its acceleration once it starts to move, if that force is maintained?

英語のヒント

今度は、図のようにロープを肩に掛け、水平より上へ同じ角度で氷塊を引く。氷の摩擦係数は表6.1を参照せよ。動かし始めるために必要な最小の力Fを求めよ。(b) 動き始めた後もその力を保つと、加速度はいくらか。

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Solution解き方

a. 46.5 N; b. $0.655{\text{m/s}}^2$

a. 46.5 N、b. $0.655{\text{m/s}}^2$

Exercise 45問題 45

At a post office, a parcel that is a 20.0-kg box slides down a ramp inclined at $30.0\text{°}$ with the horizontal. The coefficient of kinetic friction between the box and plane is 0.0300. (a) Find the acceleration of the box. (b) Find the velocity of the box as it reaches the end of the plane, if the length of the plane is 2 m and the box starts at rest.

英語のヒント

郵便局で、質量20.0 kgの荷物の箱が、水平と$30.0\text{°}$の角をなす斜面を滑り降りる。箱と斜面の動摩擦係数は0.0300である。(a) 箱の加速度を求めよ。(b) 斜面の長さが2 mで、箱を静止状態から放す場合、斜面の端に着いたときの速度を求めよ。