第6章ニュートンの法則の応用

Summaryまとめ

Drag forces acting on an object moving in a fluid oppose the motion. For larger objects (such as a baseball) moving at a velocity in air, the drag force is determined using the drag coefficient (typical values are given in Table 6.2), the area of the object facing the fluid, and the fluid density.
英語のヒント
流体中を動く物体への抗力は、運動を妨げる。野球のボールのような大きめの物体が空気中を動く場合、抗力係数（代表値は表6.2）、流体に向かい合う面積、流体の密度を使って抗力を求める。
For small objects (such as a bacterium) moving in a denser medium (such as water), the drag force is given by Stokes’ law.
英語のヒント
細菌のような小さな物体が水のような密な媒質中を動く場合、抗力はストークスの法則で与えられる。

Key Equations重要な式

Magnitude of static friction 静止摩擦の大きさ	$f_{s} \leq μ_{s} N$
Magnitude of kinetic friction 動摩擦の大きさ	$f_{k} = μ_{k} N$
Centripetal force 向心力	$F_{c} = m \frac{v^{2}}{r} or F_{c} = m r ω^{2}$ $F_{c} = m \frac{v^{2}}{r} または F_{c} = m r ω^{2}$
Ideal angle of a banked curve カーブの理想的な傾斜角	$tan θ = \frac{v^{2}}{r g}$
Drag force 抗力	$F_{D} = \frac{1}{2} C ρ A v^{2}$
Stokes’ law ストークスの法則	$F_{s} = 6 π r η v$

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 75–78練習問題 75–78

Exercise 75問題 75

Athletes such as swimmers and bicyclists wear body suits in competition. Formulate a list of pros and cons of such suits.

英語のヒント

水泳や自転車の競技者は全身スーツを着用する。こうしたスーツの利点と欠点を一覧にせよ。

Solution解き方

The pros of wearing body suits include: (1) the body suit reduces the drag force on the swimmer and the athlete can move more easily; (2) the tightness of the suit reduces the surface area of the athlete, and even though this is a small amount, it can make a difference in performance time. The cons of wearing body suits are: (1) The tightness of the suits can induce cramping and breathing problems. (2) Heat will be retained and thus the athlete could overheat during a long period of use.

英語のヒント

利点は、(1) 抗力を減らし、選手が動きやすくなること、(2) 体を締め付けて表面積を減らし、小さな差でも競技時間に影響しうることである。欠点は、(1) 締め付けが筋肉のけいれんや呼吸の問題を起こすこと、(2) 熱がこもり、長時間使うと体が過熱するおそれがあることである。

Exercise 76問題 76

Two expressions were used for the drag force experienced by a moving object in a liquid. One depended upon the speed, while the other was proportional to the square of the speed. In which types of motion would each of these expressions be more applicable than the other one?

英語のヒント

液体中を動く物体の抗力について、速さに比例する式と、速さの2乗に比例する式を使った。それぞれは、どのような運動で、もう一方より適切に使えるか。

Exercise 77問題 77

As cars travel, oil and gasoline leaks onto the road surface. If a light rain falls, what does this do to the control of the car? Does a heavy rain make any difference?

英語のヒント

車が走ると、油やガソリンが路面に漏れる。小雨が降ると、車の制御にどのような影響があるか。大雨では違いがあるか。

Solution解き方

The oil is less dense than the water and so rises to the top when a light rain falls and collects on the road. This creates a dangerous situation in which friction is greatly lowered, and so a car can lose control. In a heavy rain, the oil is dispersed and does not affect the motion of cars as much.

英語のヒント

油は水より密度が小さいので、小雨の水が路面にたまると上へ浮く。摩擦が大きく下がる危険な状況となり、車の制御を失うことがある。大雨では油が分散し、車の運動への影響はそれほど大きくない。

Exercise 78問題 78

Why can a squirrel jump from a tree branch to the ground and run away undamaged, while a human could break a bone in such a fall?

英語のヒント

リスが木の枝から地面へ跳び下りても、けがをせず走り去れるのに、人間は同じ落下で骨折することがあるのはなぜか。

Problems問題

Exercises 79–89練習問題 79–89

Exercise 79問題 79

The terminal velocity of a person falling in air depends upon the weight and the area of the person facing the fluid. Find the terminal velocity (in meters per second and kilometers per hour) of an 80.0-kg skydiver falling in a headfirst position with a surface area of

0.140 m^{2}

英語のヒント

空気中を落ちる人の終端速度は、重さと流体に向かい合う面積によって決まる。質量80.0 kgのスカイダイバーが、面積

0.140 m^{2}

で頭から先に落下する場合の終端速度を、m/sとkm/hで求めよ。

Solution解き方

115 m/s or 414 km/h

英語のヒント

115 m/s、すなわち414 km/h。

Exercise 80問題 80

A 60.0-kg and a 90.0-kg skydiver jump from an airplane at an altitude of

6.00 \times 10^{3} m

, both falling in a headfirst position. Make some assumption on their frontal areas and calculate their terminal velocities. How long will it take for each skydiver to reach the ground (assuming the time to reach terminal velocity is small)? Assume all values are accurate to three significant digits.

英語のヒント

質量60.0 kgと90.0 kgのスカイダイバーが高度

6.00 \times 10^{3} m

の飛行機から跳び、二人とも頭から先に落ちる。前面面積について仮定を置き、終端速度を求めよ。終端速度までの時間が短いとして、それぞれが地面に着くまで何秒かかるか。すべての値は有効数字3桁まで正確とする。

Exercise 81問題 81

A 560-g squirrel with a surface area of

650 {cm}^{2}

falls from a 5.0-m tree to the ground. Estimate its terminal velocity. (Use a drag coefficient for a skydiver falling feet first.) What will be the velocity of a 56-kg person hitting the ground, assuming no drag contribution in such a short distance?

英語のヒント

質量560 g、表面積

650 {cm}^{2}

のリスが、高さ5.0 mの木から地面へ落ちる。足から先に落ちるスカイダイバーの抗力係数を使い、終端速度を見積もれ。質量56 kgの人では、この短い距離で抗力の寄与を無視した場合、地面に当たるときの速度はいくらか。

Solution解き方

v_{T} = 11.8 m/s; v_{2} = 9.9 m/s

Exercise 82問題 82

To maintain a constant speed, the force provided by a car’s engine must equal the drag force plus the force of friction of the road (the rolling resistance). (a) What are the drag forces at 70 km/h and 100 km/h for a Toyota Camry? (Drag area is

0.70 m^{2}

) (b) What is the drag force at 70 km/h and 100 km/h for a Hummer H2? (Drag area is

2.44 m^{2})

Assume all values are accurate to three significant digits.

英語のヒント

一定の速さを保つには、車のエンジンの力が、抗力と道路からの摩擦（転がり抵抗）の和に等しくなければならない。(a) トヨタ・カムリが70 km/hと100 km/hで走るときの抗力を求めよ。抗力面積は

0.70 m^{2}

である。(b) ハマーH2について、同じ二つの速さでの抗力を求めよ。(抗力面積は

2.44 m^{2})

。すべての値は有効数字3桁まで正確とする。

Exercise 83問題 83

By what factor does the drag force on a car increase as it goes from 65 to 110 km/h?

英語のヒント

車の速さが65 km/hから110 km/hへ増すと、抗力は何倍になるか。

Solution解き方

{(\frac{110}{65})}^{2} = 2.86

times

英語のヒント

{(\frac{110}{65})}^{2} = 2.86

倍。

Exercise 84問題 84

Calculate the velocity a spherical rain drop would achieve falling from 5.00 km (a) in the absence of air drag (b) with air drag. Take the size across of the drop to be 4 mm, the density to be

1.00 \times 10^{3} {kg/m}^{3}

, and the surface area to be

π r^{2}

英語のヒント

球形の雨粒が高さ5.00 kmから落ちるときの速度を、(a) 空気抵抗がない場合と、(b) ある場合について求めよ。雨粒の直径を4 mm、密度を

1.00 \times 10^{3} {kg/m}^{3}

、表面積を

π r^{2}

とする。

Exercise 85問題 85

Using Stokes’ law, verify that the units for viscosity are kilograms per meter per second.

英語のヒント

ストークスの法則を使い、粘性率の単位がkg/(m・s)になることを確かめよ。

Solution解き方

Stokes’ law is

F_{s} = 6 π r η v .

Solving for the viscosity,

η = \frac{F_{s}}{6 π r v} .

Considering only the units, this becomes

[η] = \frac{kg}{m \cdot s} .

英語のヒント

ストークスの法則は

F_{s} = 6 π r η v

である。粘性率について解くと

η = \frac{F_{s}}{6 π r v}

となる。単位だけを考えれば

[η] = \frac{kg}{m \cdot s}

を得る。

Exercise 86問題 86

Find the terminal velocity of a spherical bacterium (diameter

2.00 μm

) falling in water. You will first need to note that the drag force is equal to the weight at terminal velocity. Take the density of the bacterium to be

1.10 \times 10^{3} {kg/m}^{3}

英語のヒント

直径

2.00 μm

の球形の細菌が水中を落下するとき、終端速度を求めよ。まず、終端速度では抗力と重さが等しいことに注意する。細菌の密度を

1.10 \times 10^{3} {kg/m}^{3}

とする。

Exercise 87問題 87

Stokes’ law describes sedimentation of particles in liquids and can be used to measure viscosity. Particles in liquids achieve terminal velocity quickly. One can measure the time it takes for a particle to fall a certain distance and then use Stokes’ law to calculate the viscosity of the liquid. Suppose a steel ball bearing (density

7.8 \times 10^{3} {kg/m}^{3}

, diameter 3.0 mm) is dropped in a container of motor oil. It takes 12 s to fall a distance of 0.60 m. Calculate the viscosity of the oil.

英語のヒント

ストークスの法則は液体中の粒子の沈降を記述し、粘性率の測定にも使える。粒子はすぐ終端速度に達するので、一定距離を落ちる時間を測り、この法則で液体の粘性率を計算できる。密度

7.8 \times 10^{3} {kg/m}^{3}

、直径3.0 mmの鋼の軸受球を、モーターオイルの容器に落とす。0.60 m落ちるのに12 sかかった。油の粘性率を求めよ。

Solution解き方

0.76 kg/m \cdot s

Exercise 88問題 88

Suppose that the resistive force of the air on a skydiver can be approximated by

f = − b v^{2} .

If the terminal velocity of a 50.0-kg skydiver is 60.0 m/s, what is the value of b?

英語のヒント

ダイバーに働く空気の抵抗力を

f = − b v^{2}

で近似できるとする。質量50.0 kgのダイバーの終端速度が60.0 m/sなら、bはいくらか。

Exercise 89問題 89

A small diamond of mass 10.0 g drops from a swimmer’s earring and falls through the water, reaching a terminal velocity of 2.0 m/s. (a) Assuming the frictional force on the diamond obeys

f = − b v,

what is b? (b) How far does the diamond fall before it reaches 90 percent of its terminal speed?

英語のヒント

質量10.0 gの小さなダイヤモンドが泳いでいる人のイヤリングから外れて水中を落ち、終端速度2.0 m/sに達する。(a) 摩擦力が

f = − b v

に従うとして、bを求めよ。(b) 終端の速さの90%に達するまでに、どれだけ落ちるか。

Solution解き方

a. 0.049 kg/s; b. 0.57 m

a. 0.049 kg/s、b. 0.57 m