第6章ニュートンの法則の応用

The rotation of tropical cyclones and the path of a ball on a merry-go-round can just as well be explained by inertia and the rotation of the system underneath. When noninertial frames are used, inertial forces, such as the Coriolis force, must be invented to explain the curved path. There is no identifiable physical source for these inertial forces. In an inertial frame, inertia explains the path, and no force is found to be without an identifiable source. Either view allows us to describe nature, but a view in an inertial frame is the simplest in the sense that all forces have origins and explanations.

英語のヒント

熱帯低気圧の回転も、回転台上の球の軌道も、慣性と、その下にある系の回転によって同じように説明できる。非慣性基準系を使うなら、曲がる軌道を説明するために、コリオリの力などの慣性力を導入しなければならない。これらに特定できる物理的な起源はない。慣性基準系では慣性によって軌道を説明でき、起源を特定できない力は現れない。どちらの見方でも自然を記述できるが、すべての力に起源と説明があるという意味では、慣性基準系から見るほうが最も単純である。

Summaryまとめ

Centripetal force ${\vec{F}}_{c}$ is a “center-seeking” force that always points toward the center of rotation. It is perpendicular to linear velocity and has the magnitude
英語のヒント
向心力 ${\vec{F}}_{c}$ は、常に回転中心を向く「中心を求める」力である。並進速度に垂直で、大きさは次の式で与えられる。

$F_{c} = m a_{c} .$
Rotating and accelerated frames of reference are noninertial. Inertial forces, such as the Coriolis force, are needed to explain motion in such frames.
英語のヒント
回転または加速する基準系は非慣性基準系である。その中の運動を説明するには、コリオリの力のような慣性力が必要になる。

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 46–60練習問題 46–60

Exercise 46問題 46

If you wish to reduce the stress (which is related to centripetal force) on high-speed tires, would you use large- or small-diameter tires? Explain.

英語のヒント

高速で回るタイヤの応力（向心力に関係する）を減らしたいなら、直径の大きいタイヤと小さいタイヤのどちらを使うか。説明せよ。

Exercise 47問題 47

Define centripetal force. Can any type of force (for example, tension, gravitational force, friction, and so on) be a centripetal force? Can any combination of forces be a centripetal force?

英語のヒント

向心力を定義せよ。張力、重力、摩擦など、どの種類の力でも向心力になれるか。力のどのような組合せでも向心力になれるか。

Solution解き方

Centripetal force is defined as any net force causing uniform circular motion. The centripetal force is not a new kind of force. The label “centripetal” refers to any force that keeps something turning in a circle. That force could be tension, gravity, friction, electrical attraction, the normal force, or any other force. Any combination of these could be the source of centripetal force, for example, the centripetal force at the top of the path of a tetherball swung through a vertical circle is the result of both tension and gravity.

英語のヒント

向心力は、等速円運動を生む合力として定義され、新しい種類の力ではない。「向心」という呼び名は、物体を円に沿って回し続ける力を指す。その力は張力、重力、摩擦、電気的な引力、垂直抗力など、どのような力でもよい。それらの組合せも向心力となる。たとえば、ひもにつないだ球を鉛直な円で振り回すとき、軌道の最上部の向心力は張力と重力の両方による。

Exercise 48問題 48

If centripetal force is directed toward the center, why do you feel that you are ‘thrown’ away from the center as a car goes around a curve? Explain.

英語のヒント

向心力は中心へ向かうのに、車がカーブを曲がると、なぜ中心から外へ「投げ出される」と感じるのか。説明せよ。

Exercise 49問題 49

Race car drivers routinely cut corners, as shown below (Path 2). Explain how this allows the curve to be taken at the greatest speed.

英語のヒント

レーシングドライバーは、下図の経路2のようにコーナーを横切る線をよく取る。これによって、なぜ最も速くカーブを曲がれるのかを説明せよ。

レース場の90度のカーブ内に二つの経路がある。青い車は内側に沿う経路1できつく曲がる。赤い車はより広い弧で青い車を追い越し、その前を横切って内側へ入り、再び外側へ出る。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

The driver who cuts the corner (on Path 2) has a more gradual curve, with a larger radius. That one will be the better racing line. If the driver goes too fast around a corner using a racing line, he will still slide off the track; the key is to stay at the maximum value of static friction. So, the driver wants maximum possible speed and maximum friction. Consider the equation for centripetal force:

F_{c} = m \frac{v^{2}}{r}

where v is speed and r is the radius of curvature. So by decreasing the curvature (1/r) of the path that the car takes, we reduce the amount of force the tires have to exert on the road, meaning we can now increase the speed, v. Looking at this from the point of view of the driver on Path 1, we can reason this way: the sharper the turn, the smaller the turning circle; the smaller the turning circle, the larger is the required centripetal force. If this centripetal force is not exerted, the result is a skid.

英語のヒント

経路2を取るドライバーのカーブは、半径が大きく、緩やかになる。このほうがよい走行ラインになる。ただし、このラインでも速すぎればコースを滑り出す。重要なのは、最大静止摩擦力の範囲にとどまることである。そこで、可能な限り高い速さと大きな摩擦力を使いたい。向心力の式

F_{c} = m \frac{v^{2}}{r}

を考えよう。vは速さ、rは曲率半径である。経路の曲率1/rを小さくすれば、タイヤが路面に及ぼす必要のある力を減らせるので、速さvを増やせる。経路1から見ると、急に曲がるほど旋回円は小さく、円が小さいほど必要な向心力は大きい。その向心力が働かなければ、横滑りする。

Exercise 50問題 50

Many amusement parks have rides that make vertical loops like the one shown below. For safety, the cars are attached to the rails in such a way that they cannot fall off. If the car goes over the top at just the right speed, gravity alone will supply the centripetal force. What other force acts and what is its direction if:

英語のヒント

遊園地には、下図のような鉛直ループを通る乗り物が多い。安全のため、車両は落下しないようレールに取り付けられている。ちょうどよい速さで頂点を通過すれば、重力だけが向心力を与える。次の場合、ほかにどのような力がどちら向きに働くか。

(a) The car goes over the top at faster than this speed?

英語のヒント

(a) その速さより速く頂点を通過する場合。

(b) The car goes over the top at slower than this speed?

英語のヒント

(b) その速さより遅く頂点を通過する場合。

鉛直ループのあるジェットコースターの写真。頂点は底よりきつく曲がり、逆さの涙滴形になっている。

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Exercise 51問題 51

What causes water to be removed from clothes in a spin-dryer?

英語のヒント

回転式の脱水機で、衣類から水が抜ける原因は何か。

Solution解き方

The barrel of the dryer provides a centripetal force on the clothes (including the water droplets) to keep them moving in a circular path. As a water droplet comes to one of the holes in the barrel, it will move in a path tangent to the circle.

英語のヒント

脱水機の槽が、水滴を含む衣類に向心力を与え、円軌道に保つ。水滴が槽の穴に来ると、円の接線方向へ進む。

Exercise 52問題 52

As a skater forms a circle, what force is responsible for making his turn? Use a free-body diagram in your answer.

英語のヒント

スケーターが円を描くとき、曲がる原因となる力は何か。力の図を使って答えよ。

Exercise 53問題 53

Suppose a child is riding on a merry-go-round at a distance about halfway between its center and edge. She has a lunch box resting on wax paper, so that there is very little friction between it and the merry-go-round. (a) Which path shown below, as viewed from the ground, will the lunch box take when she lets go? (b) The lunch box leaves a trail in the dust on the merry-go-round. What is the shape of the dust trail? Explain your answers.

英語のヒント

子どもが回転台の中心と縁のほぼ中間に乗っている。ワックス紙の上に弁当箱を置いているので、台との摩擦は非常に小さい。(a) 手を放したとき、地面から見ると弁当箱は下図のどの経路を進むか。(b) 弁当箱は台のほこりに跡を残す。その跡はどのような形か。理由も説明せよ。

円形の回転台に馬と子どもが一組乗り、角速度ωで時計回りに回る。馬の近くの点Pは台と同心の円上にあり、弁当箱の三つの候補経路がPから伸びる。Aは箱から見て右へ、円の内側に曲がる。Bは円の接線に沿う直線。Cは左へ、円の外側に曲がる。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

(a) If there is no friction, then there is no centripetal force. This means that in the inertial frame of the ground, the lunch box will move along a straight path tangent to the circle, and thus follows path B. This is a result of Newton’s first law of motion. (b) The dust trail traces the motion of the box relative to the merry-go-round and will be radially out.

英語のヒント

(a) 摩擦がなければ向心力もない。したがって、地面の慣性基準系では、弁当箱は円の接線に沿ってまっすぐ進み、経路Bを取る。ニュートンの第1法則による。(b) ほこりの跡は回転台に対する運動を記録し、半径方向に外へ伸びる。

Exercise 54問題 54

Do you feel yourself thrown to either side when you negotiate a curve that is ideally banked for your car’s speed? What is the direction of the force exerted on you by the car seat?

英語のヒント

車の速さに対して理想的な傾斜のカーブを曲がるとき、左右のどちらかへ投げ出されるように感じるか。座席が体に及ぼす力の向きはどちらか。

Exercise 55問題 55

Suppose a mass is moving in a circular path on a frictionless table as shown below. In Earth’s frame of reference, there is no centrifugal force pulling the mass away from the center of rotation, yet there is a force stretching the string attaching the mass to the nail. Using concepts related to centripetal force and Newton’s third law, explain what force stretches the string, identifying its physical origin.

英語のヒント

図のように、摩擦のないテーブル上で物体が円運動している。地球の基準系では、回転中心から物体を引き離す遠心力はない。しかし、物体と釘をつなぐひもを伸ばす力はある。向心力とニュートンの第3法則を使い、ひもを伸ばす力は何か、その物理的な起源を明らかにして説明せよ。

テーブル上で物体が円軌道を動く。物体につないだひもの他端は、円の中心でテーブルに固定されている。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Solution解き方

There must be a centripetal force to maintain the circular motion; this is provided by the nail at the center. Newton’s third law explains the phenomenon. The action force is the force of the string on the mass; the reaction force is the force of the mass on the string. This reaction force causes the string to stretch.

英語のヒント

円運動を保つには向心力が必要で、中心の釘がそれを与える。ニュートンの第3法則で説明できる。作用はひもが物体に及ぼす力、反作用は物体がひもに及ぼす力である。この反作用がひもを伸ばす。

Exercise 56問題 56

When a toilet is flushed or a sink is drained, the water (and other material) begins to rotate about the drain on the way down. Assuming no initial rotation and a flow initially directly straight toward the drain, explain what causes the rotation and which direction it has in the Northern Hemisphere. (Note that this is a small effect and in most toilets the rotation is caused by directional water jets.) Would the direction of rotation reverse if water were forced up the drain?

英語のヒント

便器を流したり流し台の水を抜いたりすると、水などが排水口へ落ちながら回転し始める。初めは回転せず、排水口へまっすぐ流れていたとして、回転が起きる原因と、北半球での向きを説明せよ。この効果は小さく、ほとんどの便器では、特定方向に噴き出す水が回転を生む。水を排水口から上へ押し出せば、回転方向は逆になるか。

Exercise 57問題 57

A car rounds a curve and encounters a patch of ice with a very low coefficient of kinetic fiction. The car slides off the road. Describe the path of the car as it leaves the road.

英語のヒント

車がカーブを曲がっている途中で、動摩擦係数の非常に小さい氷の部分に乗り、道路を滑り出す。道路を離れるときの軌道を説明せよ。

Solution解き方

Since the radial friction with the tires supplies the centripetal force, and friction is nearly 0 when the car encounters the ice, the car will obey Newton’s first law and go off the road in a straight line path, tangent to the curve. A common misconception is that the car will follow a curved path off the road.

英語のヒント

タイヤとの半径方向の摩擦が向心力を与えるが、氷に乗ると摩擦はほぼ0になる。そのため車はニュートンの第1法則に従い、カーブの接線に沿う直線で道路を離れる。道路の外でも曲がった軌道を進むと思うのは、よくある誤解である。

Exercise 58問題 58

In one amusement park ride, riders enter a large vertical barrel and stand against the wall on its horizontal floor. The barrel is spun up and the floor drops away. Riders feel as if they are pinned to the wall by a force something like the gravitational force. This is an inertial force sensed and used by the riders to explain events in the rotating frame of reference of the barrel. Explain in an inertial frame of reference (Earth is nearly one) what pins the riders to the wall, and identify all forces acting on them.

英語のヒント

ある遊園地の乗り物では、大きな鉛直の円筒に入り、水平な床の上で壁に背を付けて立つ。円筒が回り始めると、床が下がる。乗客は重力のような力で壁に押し付けられたと感じる。これは、回転する円筒の基準系で出来事を説明するため、乗客が感じて用いる慣性力である。ほぼ慣性基準系である地球の側から、何が乗客を壁に押し付けるのかを説明し、乗客に働くすべての力を特定せよ。

Exercise 59問題 59

Two friends are having a conversation. Anna says a satellite in orbit is in free fall because the satellite keeps falling toward Earth. Tom says a satellite in orbit is not in free fall because the acceleration due to gravity is not

9.80 {m/s}^{2}

. Who do you agree with and why?

英語のヒント

友人二人が話している。アンナは、軌道上の人工衛星は地球へ落ち続けているので自由落下中だと言う。トムは、重力による加速度が

9.80 {m/s}^{2}

ではないので自由落下ではないと言う。どちらに賛成するか。理由も述べよ。

Solution解き方

Anna is correct. The satellite is freely falling toward Earth due to gravity, even though gravity is weaker at the altitude of the satellite, and g is not

9.80 {m/s}^{2}

. Free fall does not depend on the value of g; that is, you could experience free fall on Mars if you jumped off Olympus Mons (the tallest volcano in the solar system).

英語のヒント

アンナが正しい。衛星の高度では重力が弱くgが

9.80 {m/s}^{2}

でなくても、衛星は重力によって地球へ自由落下している。自由落下はgの値によらない。たとえば火星で、太陽系最高の火山であるオリンポス山から跳び下りても、自由落下を経験できる。

Exercise 60問題 60

A nonrotating frame of reference placed at the center of the Sun is very nearly an inertial one. Why is it not exactly an inertial frame?

英語のヒント

太陽の中心に置いた回転しない基準系は、慣性基準系に非常に近い。なぜ完全な慣性基準系ではないのか。