第16章波動

Velocity and Acceleration of the Medium媒質の速度と加速度

As seen in Example 16.4, the wave speed is constant and represents the speed of the wave as it propagates through the medium, not the speed of the particles that make up the medium. The particles of the medium oscillate around an equilibrium position as the wave propagates through the medium. In the case of the transverse wave propagating in the x-direction, the particles oscillate up and down in the y-direction, perpendicular to the motion of the wave. The velocity of the particles of the medium is not constant, which means there is an acceleration. The velocity of the medium, which is perpendicular to the wave velocity in a transverse wave, can be found by taking the partial derivative of the position equation with respect to time. The partial derivative is found by taking the derivative of the function, treating all variables as constants, except for the variable in question. In the case of the partial derivative with respect to time t, the position x is treated as a constant. Although this may sound strange if you haven’t seen it before, the object of this exercise is to find the transverse velocity at a point, so in this sense, the x-position is not changing. We have

英語のヒント

例題16.4で見たように、波の速さは一定で、媒質中を進む波の速さを表す。媒質を構成する粒子自身の速さではない。粒子は、波が通る間、つり合いの位置の周りを振動する。x方向へ進む横波では、粒子は波に垂直なy方向へ上下する。粒子の速度は一定ではないので、加速度を持つ。横波では波の速度に垂直なこの媒質の速度を、位置の式の時間に関する偏微分で求められる。偏微分では、微分する変数以外をすべて定数として扱い、その変数で微分する。時間tに関する偏微分なら、位置xを一定に保つ。初めて見ると奇妙に思えるかもしれないが、ここで求めたいのは、ある点での横方向の速度である。その意味でx座標は変えていない。したがって、次の式を得る。

\begin{matrix} y (x, t) & = & A sin (k x - ω t + ϕ) \\ v_{y} (x, t) & = & \frac{\partial y (x, t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (A sin (k x - ω t + ϕ)) \\ = & − A ω cos (k x - ω t + ϕ) \\ = & − v_{y max} cos (k x - ω t + ϕ) . \end{matrix}

The magnitude of the maximum velocity of the medium is

| v_{y_{max}} | = A ω

. This may look familiar from the Oscillations and a mass on a spring.

英語のヒント

媒質の最大速度の大きさは

| v_{y_{max}} | = A ω

である。「振動」の、ばねにつながれた質点の場合と同じ形である。

We can find the acceleration of the medium by taking the partial derivative of the velocity equation with respect to time,

英語のヒント

媒質の加速度は、速度の式を時間で偏微分すると求められる。

\begin{matrix} a_{y} (x, t) & = \frac{\partial v_{y}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (− A ω cos (k x - ω t + ϕ)) \\ = − A ω^{2} sin (k x - ω t + ϕ) \\ = − a_{y max} sin (k x - ω t + ϕ) . \end{matrix}

The magnitude of the maximum acceleration is

| a_{y_{max}} | = A ω^{2} .

The particles of the medium, or the mass elements, oscillate in simple harmonic motion for a mechanical wave.

英語のヒント

最大加速度の大きさは

| a_{y_{max}} | = A ω^{2}

である。力学的波では、媒質の粒子、すなわち微小な質量要素が単振動する。

The Linear Wave Equation線形波動方程式

We have just determined the velocity of the medium at a position x by taking the partial derivative, with respect to time, of the position y. For a transverse wave, this velocity is perpendicular to the direction of propagation of the wave. We found the acceleration by taking the partial derivative, with respect to time, of the velocity, which is the second time derivative of the position:

英語のヒント

位置xにおける媒質の速度を、y座標の時間に関する偏微分で求めた。横波では、この速度は波の進行方向に垂直である。速度をさらに時間で偏微分し、位置の時間に関する2階微分として加速度を得た。

a_{y} (x, t) = \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} (A sin (k x - ω t + ϕ)) = − A ω^{2} sin (k x - ω t + ϕ) .

Now consider the partial derivatives with respect to the other variable, the position x, holding the time constant. The first derivative is the slope of the wave at a point x at a time t,

英語のヒント

今度は、時間を一定に保ち、もう一つの変数である位置xについて偏微分する。1階微分は、時刻t、位置xでの波の傾きである。

slope = \frac{\partial y (x, t)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (A sin (k x - ω t + ϕ)) = A k cos (k x - ω t + ϕ) .

傾き = \frac{\partial y (x, t)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (A sin (k x - ω t + ϕ)) = A k cos (k x - ω t + ϕ)

The second partial derivative expresses how the slope of the wave changes with respect to position—in other words, the curvature of the wave, where

英語のヒント

2階偏微分は、位置に対して波の傾きがどのように変わるか、すなわち波の曲がり具合を表す。

curvature = \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} (A sin (k x - ω t + ϕ)) = − A k^{2} sin (k x - ω t + ϕ) .

曲がり具合 = \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} (A sin (k x - ω t + ϕ)) = − A k^{2} sin (k x - ω t + ϕ)

The ratio of the acceleration and the curvature leads to a very important relationship in physics known as the linear wave equation. Taking the ratio and using the equation

v = ω / k

yields the linear wave equation (also known simply as the wave equation or the equation of a vibrating string),

英語のヒント

加速度と曲がり具合の比から、物理学で非常に重要な、線形波動方程式という関係が得られる。比を取り、

v = ω / k

を使うと、線形波動方程式、あるいは単に波動方程式、弦の振動方程式と呼ぶ式を得る。

\begin{matrix} \frac{\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}}} & = \frac{− A ω^{2} sin (k x - ω t + ϕ)}{− A k^{2} sin (k x - ω t + ϕ)} \\ = \frac{ω^{2}}{k^{2}} = v^{2}, \end{matrix}

Equation 16.6 is the linear wave equation, which is one of the most important equations in physics and engineering. We derived it here for a transverse wave, but it is equally important when investigating longitudinal waves. This relationship was also derived using a sinusoidal wave, but it successfully describes any wave or pulse that has the form

y (x, t) = f (x \mp v t) .

These waves result due to a linear restoring force of the medium—thus, the name linear wave equation. Any wave function that satisfies this equation is a linear wave function.

英語のヒント

この線形波動方程式は、物理学と工学で最も重要な式の一つである。ここでは横波について導いたが、縦波の研究でも同じく重要である。また、正弦波から導いたものの、

y (x, t) = f (x \mp v t)

という形の波やパルスなら、どれも表せる。これらの波は媒質の線形な復元力によって生じるため、線形波動方程式という名が付く。この式を満たす波動関数を、線形な波動関数と呼ぶ。

An interesting aspect of the linear wave equation is that if two wave functions are individually solutions to the linear wave equation, then the sum of the two linear wave functions is also a solution to the wave equation. Consider two transverse waves that propagate along the x-axis, occupying the same medium. Assume that the individual waves can be modeled with the wave functions

y_{1} (x, t) = f (x \mp v t)

and

y_{2} (x, t) = g (x \mp v t),

which are solutions to the linear wave equations and are therefore linear wave functions. The sum of the wave functions is the wave function

英語のヒント

線形波動方程式の興味深い性質は、二つの波動関数がそれぞれ解なら、その和も解になることである。同じ媒質を占め、x軸に沿って進む二つの横波を考える。各波を波動関数

y_{1} (x, t) = f (x \mp v t)

と

y_{2} (x, t) = g (x \mp v t)

で表せ、それらが線形波動方程式の解であり、したがって線形な波動関数だとする。両者の和は、次の波動関数となる。

y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t) = f (x \mp v t) + g (x \mp v t) .

Consider the linear wave equation:

英語のヒント

線形波動方程式を考える。

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} (f + g)}{\partial x^{2}} & = & \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} (f + g)}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} & = & \frac{1}{v^{2}} [\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial t^{2}}] . \end{matrix}

This has shown that if two linear wave functions are added algebraically, the resulting wave function is also linear. This wave function models the displacement of the medium of the resulting wave at each position along the x-axis. If two linear waves occupy the same medium, they are said to interfere. If these waves can be modeled with a linear wave function, these wave functions add to form the wave equation of the wave resulting from the interference of the individual waves. The displacement of the medium at every point of the resulting wave is the algebraic sum of the displacements due to the individual waves.

英語のヒント

これにより、二つの線形な波動関数を代数的に加えると、得られる関数も線形であることが分かる。この関数は、x軸の各位置での、合成された波による媒質の変位を表す。同じ媒質に二つの線形波があると、それらは干渉するという。各波を線形な波動関数で表せるなら、その和は、各波の干渉によってできる波の式になる。合成された波の各点での媒質の変位は、個々の波による変位の代数和である。

Taking this analysis a step further, if wave functions

y_{1} (x, t) = f (x \mp v t)

and

y_{2} (x, t) = g (x \mp v t)

are solutions to the linear wave equation, then

A y_{1} (x, t) + B y_{2} (x, t),

where A and B are constants, is also a solution to the linear wave equation. This property is known as the principle of superposition. Interference and superposition are covered in more detail in Interference of Waves.

英語のヒント

さらに一歩進めると、波動関数

y_{1} (x, t) = f (x \mp v t)

と

y_{2} (x, t) = g (x \mp v t)

が線形波動方程式の解なら、A、Bを定数として、

A y_{1} (x, t) + B y_{2} (x, t)

も解である。この性質を重ね合わせの原理と呼ぶ。干渉と重ね合わせは、「波の干渉」でさらに詳しく扱う。

Example 16.4例題 16.4

Interference of Waves on a String糸を伝わる波の干渉

Consider a very long string held taut by two students, one on each end. Student A oscillates the end of the string producing a wave modeled with the wave function

y_{1} (x, t) = A sin (k x - ω t)

and student B oscillates the string producing at twice the frequency, moving in the opposite direction. Both waves move at the same speed

v = \frac{ω}{k} .

The two waves interfere to form a resulting wave whose wave function is

y_{R} (x, t) = y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t) .

Find the velocity of the resulting wave using the linear wave equation

\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}} .

英語のヒント

非常に長い糸の両端を、2人の学生がぴんと張って持っている。学生Aが端を振動させ、波動関数

y_{1} (x, t) = A sin (k x - ω t)

で表される波を作る。学生Bはその2倍の振動数で、逆方向へ進む波を作る。両方の速さは同じ

v = \frac{ω}{k}

である。二つの波が干渉してできる波の関数は

y_{R} (x, t) = y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t)

となる。線形波動方程式

\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}}

を使い、合成された波の速度を求めよ。

Strategy方針

First, write the wave function for the wave created by the second student. Note that the angular frequency of the second wave is twice the frequency of the first wave

(2 ω)

, and since the velocity of the two waves are the same, the wave number of the second wave is twice that of the first wave

(2 k) .

Next, write the wave equation for the resulting wave function, which is the sum of the two individual wave functions. Then find the second partial derivative with respect to position and the second partial derivative with respect to time. Use the linear wave equation to find the velocity of the resulting wave.

英語のヒント

まず、2人目の学生の波動関数を書く。第2の波の角振動数は第1の2倍

(2 ω)

で、両者の速さが同じなので、波数も2倍

(2 k)

になる。次に、二つの関数の和として合成された波の式を書く。位置に関する2階偏微分と、時間に関する2階偏微分を求め、線形波動方程式から合成された波の速度を求める。

Solution解答

Write the wave function of the second wave: $y_{2} (x, t) = A sin (2 k x + 2 ω t) .$
英語のヒント
第2の波の波動関数を書く： $y_{2} (x, t) = A sin (2 k x + 2 ω t)$ 。
Write the resulting wave function:
英語のヒント
合成された波の関数を書く。

$y_{R} (x, t) = y_{1} (x, t) + y (x, t) = A sin (k x - ω t) + A sin (2 k x + 2 ω t) .$
Find the partial derivatives:
英語のヒント
偏微分を求める。

$\begin{matrix} \frac{\partial y_{R} (x, t)}{\partial x} & = & + A k cos (k x - ω t) + 2 A k cos (2 k x + 2 ω t), \\ \frac{\partial^{2} y_{R} (x, t)}{\partial x^{2}} & = & − A k^{2} sin (k x - ω t) - 4 A k^{2} sin (2 k x + 2 ω t), \\ \frac{\partial y_{R} (x, t)}{\partial t} & = & − A ω cos (k x - ω t) + 2 A ω cos (2 k x + 2 ω t), \\ \frac{\partial^{2} y_{R} (x, t)}{\partial t^{2}} & = & − A ω^{2} sin (k x - ω t) - 4 A ω^{2} sin (2 k x + 2 ω t) . \end{matrix}$
Use the wave equation to find the velocity of the resulting wave:
英語のヒント
波動方程式を用いて、合成された波の速度を求める。

$\begin{matrix} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} & = & \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}}, \\ - A k^{2} sin (k x - ω t) - 4 A k^{2} sin (2 k x + 2 ω t) & = & \frac{1}{v^{2}} (− A ω^{2} sin (k x - ω t) - 4 A ω^{2} sin (2 k x + 2 ω t)), \\ k^{2} (− A sin (k x - ω t) - 4 A sin (2 k x + 2 ω t)) & = & \frac{ω^{2}}{v^{2}} (− A sin (k x - ω t) - 4 A sin (2 k x + 2 ω t)), \\ k^{2} & = & \frac{ω^{2}}{v^{2}}, | v | = \frac{ω}{k} . \end{matrix}$

Significance考察

The speed of the resulting wave is equal to the speed of the original waves

(v = \frac{ω}{k}) .

We will show in the next section that the speed of a simple harmonic wave on a string depends on the tension in the string and the mass per length of the string. For this reason, it is not surprising that the component waves as well as the resultant wave all travel at the same speed.

英語のヒント

合成された波の速さは、元の波の速さ

(v = \frac{ω}{k})

に等しい。次節で示すように、糸の正弦波の速さは、張力と単位長さ当たりの質量で決まる。したがって、構成する各波も合成された波も同じ速さで進むことは、不思議ではない。

The wave equation

\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}}

works for any wave of the form

y (x, t) = f (x \mp v t) .

In the previous section, we stated that a cosine function could also be used to model a simple harmonic mechanical wave. Check if the wave

英語のヒント

波動方程式

\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}}

は、

y (x, t) = f (x \mp v t)

の形のどんな波にも成り立つ。前節では、正弦波形の力学的波を余弦関数でも表せると述べた。次の波が、

y (x, t) = 0.50 m cos (0.20 π m^{−1} x - 4.00 π s^{−1} t + \frac{π}{10})

is a solution to the wave equation.

英語のヒント

波動方程式の解になるか確かめよ。

Solution解き方

This wave, with amplitude

A = 0.5 m,

wavelength

λ = 10.00 m,

period

T = 0.50 s,

is a solution to the wave equation with a wave velocity

v = 20.00 m/s .

英語のヒント

振幅

A = 0.5 m

、波長

λ = 10.00 m

、周期

T = 0.50 s

のこの波は、波の速度

v = 20.00 m/s

の波動方程式の解となる。

Any disturbance that complies with the wave equation can propagate as a wave moving along the x-axis with a wave speed v. It works equally well for waves on a string, sound waves, and electromagnetic waves. This equation is extremely useful. For example, it can be used to show that electromagnetic waves move at the speed of light.

英語のヒント

波動方程式を満たす乱れは、x軸に沿って速さvで進む波として伝わることができる。この式は、糸の波、音波、電磁波のどれにも使える。非常に有用な式であり、たとえば電磁波が光速で進むことを示すのに使える。