第16章波動

The equations for the energy of the wave and the time-averaged power were derived for a sinusoidal wave on a string. In general, the energy of a mechanical wave and the power are proportional to the amplitude squared and to the angular frequency squared (and therefore the frequency squared).

英語のヒント

波のエネルギーと時間平均の仕事率の式は、糸の正弦波について導いた。一般に、力学的な波のエネルギーと仕事率は、振幅の2乗と角振動数の2乗、したがって振動数の2乗に比例する。

Another important characteristic of waves is the intensity of the waves. Waves can also be concentrated or spread out. Waves from an earthquake, for example, spread out over a larger area as they move away from a source, so they do less damage the farther they get from the source. Changing the area the waves cover has important effects. All these pertinent factors are included in the definition of intensity (I) as power per unit area:

英語のヒント

波のもう一つの重要な性質が強度である。波は集中させることも、広く拡散させることもできる。例えば地震の波は、震源から遠ざかるにつれて広い面積に広がるので、震源から遠いほど被害が小さくなる。波が覆う面積の変化には重要な効果がある。これらの関連する要因をすべて含めて、強度（I）を単位面積当たりの仕事率として定義する。

where P is the power carried by the wave through area A. The definition of intensity is valid for any energy in transit, including that carried by waves. The SI unit for intensity is watts per square meter (W/m²). Many waves are spherical waves that move out from a source as a sphere. For example, a sound speaker mounted on a post above the ground may produce sound waves that move away from the source as a spherical wave. Sound waves are discussed in more detail in the next chapter, but in general, the farther you are from the speaker, the less intense the sound you hear. As a spherical wave moves out from a source, the surface area of the wave increases as the radius increases

(A = 4 π r^{2}) .

The intensity for a spherical wave is therefore

英語のヒント

ここでPは、波が面積Aを通して運ぶ仕事率である。強度の定義は、波によって運ばれるものも含め、移動中のあらゆるエネルギーに適用できる。強度のSI単位はワット毎平方メートル（W/m²）である。多くの波は、波源から球状に広がる球面波である。例えば、地面より高い支柱に取り付けたスピーカーは、音源から球面波として広がる音波を作る場合がある。音波は次章で詳しく扱うが、一般にスピーカーから遠いほど聞こえる音は弱くなる。球面波が波源から広がると、半径の増大につれて表面積も増す。

(A = 4 π r^{2})

したがって、球面波の強度は次のようになる。

If there are no dissipative forces, the energy will remain constant as the spherical wave moves away from the source, but the intensity will decrease as the surface area increases.

英語のヒント

散逸力がなければ、球面波が波源から遠ざかってもエネルギーは一定に保たれるが、表面積が増すにつれて強度は減少する。

In the case of the two-dimensional circular wave, the wave moves out, increasing the circumference of the wave as the radius of the circle increases. If you toss a pebble in a pond, the surface ripple moves out as a circular wave. As the ripple moves away from the source, the amplitude decreases. The energy of the wave spreads around a larger circumference and the intensity decreases proportional to

\frac{1}{r},

which is also the same in the case of a spherical wave, since intensity is proportional to the amplitude squared.

英語のヒント

2次元の円形の波では、波が広がって円の半径が増すにつれて、その円周も長くなる。池へ小石を投げると、水面の波紋が円形の波として広がる。波紋が波源から遠ざかるにつれて、振幅は減少する。波のエネルギーはより長い円周に広がり、強度は

\frac{1}{r}

に比例して減少する。強度は振幅の2乗に比例するので、この点は球面波でも同じである。

Summaryまとめ

The energy and power of a wave are proportional to the square of the amplitude of the wave and the square of the angular frequency of the wave.
英語のヒント
波のエネルギーと仕事率は、波の振幅の2乗と角振動数の2乗に比例する。
The time-averaged power of a sinusoidal wave on a string is found by $P_{ave} = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2} v,$ where $μ$ is the linear mass density of the string, A is the amplitude of the wave, $ω$ is the angular frequency of the wave, and v is the speed of the wave.
英語のヒント
糸の正弦波の時間平均の仕事率は $P_{ave} = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2} v$ で求める。ここで $μ$ は糸の線密度、Aは波の振幅、 $ω$ は角振動数、vは波の速さである。
Intensity is defined as the power divided by the area. In a spherical wave, the area is $A = 4 π r^{2}$ and the intensity is $I = \frac{P}{4 π r^{2}} .$ As the wave moves out from a source, the energy is conserved, but the intensity decreases as the area increases.
英語のヒント
強度は仕事率を面積で割った値と定義する。球面波では面積は $A = 4 π r^{2}$ 、強度は $I = \frac{P}{4 π r^{2}}$ である。波が波源から広がるとき、エネルギーは保存されるが、面積が増すにつれて強度は減少する。

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 60–64練習問題 60–64

Exercise 60問題 60

Consider a string with under tension with a constant linear mass density. A sinusoidal wave is produced by some external driving force. If the frequency, keeping the wave amplitude as it was originally, how is the time-averaged power of the wave affected? If the amplitude of the wave is decreased by half, keeping the wave frequency as it was originally, how is the time-averaged power affected? Explain your answer.

英語のヒント

張力が働き、線密度が一定の糸を考える。外からの駆動力によって正弦波を作る。振幅を元のままにして振動数を変えると、波の時間平均の仕事率はどう変わるか。振動数を元のままにして振幅を半分にすると、時間平均の仕事率はどう変わるか。説明せよ。

Solution解き方

The time averaged power is

P = \frac{E_{λ}}{T} = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2} \frac{λ}{T} = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2} v .

If the frequency or amplitude is halved, the power decreases by a factor of 4.

英語のヒント

時間平均の仕事率は

P = \frac{E_{λ}}{T} = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2} \frac{λ}{T} = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2} v

である。振動数または振幅を半分にすると、仕事率は4分の1になる。

Exercise 61問題 61

Circular water waves decrease in amplitude as they move away from where a rock is dropped. Explain why.

英語のヒント

円形の水面波は、石を落とした場所から遠ざかるにつれて振幅が減少する。その理由を説明せよ。

Exercise 62問題 62

In a transverse wave on a string, the motion of the string is perpendicular to the motion of the wave. If this is so, how is possible to move energy along the length of the string?

英語のヒント

糸の横波では、糸の運動は波の運動に垂直である。それでも、糸の長さに沿ってエネルギーを運べるのはなぜか。

Solution解き方

As a portion on the string moves vertically, it exerts a force on the neighboring portion of the string, doing work on the portion and transferring the energy.

英語のヒント

糸の一部分が上下に動くと、隣の部分に力を及ぼし、その部分に仕事をしてエネルギーを伝える。

Exercise 63問題 63

The energy from the sun warms the portion of the earth facing the sun during the daylight hours. Why are the North and South Poles cold while the equator is quite warm?

英語のヒント

太陽のエネルギーは、昼間、地球の太陽に向いている部分を暖める。赤道は非常に暖かいのに、北極と南極が寒いのはなぜか。

Exercise 64問題 64

The intensity of a spherical waves decreases as the wave moves away from the source. If the intensity of the wave at the source is

I_{0},

how far from the source will the intensity decrease by a factor of nine?

英語のヒント

球面波の強度は、波源から遠ざかるにつれて減少する。波源での強度が

I_{0}

のとき、波源からどれだけ離れれば強度は9分の1になるか。

Solution解き方

The intensity of a spherical wave is

I = \frac{P}{4 π r^{2}},

if no energy is dissipated the intensity will decrease by a factor of nine at three meters.

英語のヒント

球面波の強度は

I = \frac{P}{4 π r^{2}}

である。エネルギーの散逸がなければ、3 mで強度は9分の1になる。