第16章波動

Summaryまとめ

• A wave is an oscillation (of a physical quantity) that travels through a medium, accompanied by a transfer of energy. Energy transfers from one point to another in the direction of the wave motion. The particles of the medium oscillate up and down, back and forth, or both up and down and back and forth, around an equilibrium position.

  英語のヒント

  波は、エネルギーの移動を伴いながら媒質を伝わる物理量の振動である。エネルギーは波の進行方向へ、ある点から別の点へ移る。媒質の粒子は、つり合いの位置の周りで、上下、前後、またはその両方の方向に振動する。
• A snapshot of a sinusoidal wave at time $t=0.00\text{s}$ can be modeled as a function of position. Two examples of such functions are $y\left(x\right)=A\text{sin}\left(kx+\varphi \right)$ and $y\left(x\right)=A\text{cos}\left(kx+\varphi \right).$

  英語のヒント

  時刻$t=0.00\text{s}$の正弦波の形は、位置の関数として表せる。たとえば、$y\left(x\right)=A\text{sin}\left(kx+\varphi \right)$や$y\left(x\right)=A\text{cos}\left(kx+\varphi \right)$である。
• Given a function of a wave that is a snapshot of the wave, and is only a function of the position x, the motion of the pulse or wave moving at a constant velocity can be modeled with the function, replacing x with $x\mp vt$. The minus sign is for motion in the positive direction and the plus sign for the negative direction.

  英語のヒント

  ある瞬間の波の形を、位置xだけの関数として与える。一定速度で動くパルスや波の運動は、その関数のxを$x\mp vt$で置き換えると表せる。負の符号は正方向への運動、正の符号は負方向への運動に対応する。
• The wave function is given by $y\left(x,t\right)=A\text{sin}\left(kx-\omega t+\varphi \right)$ where $k=2\pi \text{/}\lambda$ is defined as the wave number, $\omega =2\pi \text{/}T$ is the angular frequency, and $\varphi$ is the phase shift.

  英語のヒント

  波動関数は$y\left(x,t\right)=A\text{sin}\left(kx-\omega t+\varphi \right)$で与えられる。$k=2\pi \text{/}\lambda$は波数、$\omega =2\pi \text{/}T$は角振動数、$\varphi$は位相のずれである。
• The wave moves with a constant velocity $v_w$, where the particles of the medium oscillate about an equilibrium position. The constant velocity of a wave can be found by $v=\frac{\lambda }{T}=\frac{\omega }{k}.$

  英語のヒント

  波は一定の速度$v_w$で進み、媒質の粒子はつり合いの位置の周りを振動する。波の一定の速度は、$v=\frac{\lambda }{T}=\frac{\omega }{k}$から求められる。

Conceptual Questions概念に関する問題

Problems問題

Exercises 25–38練習問題 25–38

Exercise 25問題 25

A pulse can be described as a single wave disturbance that moves through a medium. Consider a pulse that is defined at time $t=0.00\text{s}$ by the equation $y\left(x\right)=\frac{6.00{\text{m}}^3}{x^2+2.00{\text{m}}^2}$ centered around $x=0.00\text{m}.$ The pulse moves with a velocity of $v=3.00\text{m/s}$ in the positive x-direction. (a) What is the amplitude of the pulse? (b) What is the equation of the pulse as a function of position and time? (c) Where is the pulse centered at time $t=5.00\text{s}$?

英語のヒント

パルスは、媒質を進む単一の乱れからなる波である。時刻$t=0.00\text{s}$に式$y\left(x\right)=\frac{6.00{\text{m}}^3}{x^2+2.00{\text{m}}^2}$で定義され、$x=0.00\text{m}$を中心とするパルスを考える。これは速度$v=3.00\text{m/s}$でxの正方向へ進む。(a) 振幅はいくらか。(b) 位置と時間の関数としてパルスを表す式を求めよ。(c) 時刻$t=5.00\text{s}$にパルスの中心はどこにあるか。

Exercise 26問題 26

A transverse wave on a string is modeled with the wave function $y\left(x,t\right)=(0.20\text{cm})\text{sin}\left(2.00{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x-3.00{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t+\frac{\pi }{16}\right).$ What is the height of the string with respect to the equilibrium position at a position $x=4.00\text{m}$ and a time $t=10.00\text{s}?$

英語のヒント

糸の横波を波動関数$y\left(x,t\right)=(0.20\text{cm})\text{sin}\left(2.00{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x-3.00{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t+\frac{\pi }{16}\right)$で表す。位置$x=4.00\text{m}$、時刻$t=10.00\text{s}$で、つり合いの位置からの糸の高さはいくらか。

Solution解き方

$y\left(x,t\right)=\mathrm{-0.037}\text{cm}$

Exercise 27問題 27

Consider the wave function $y\left(x,t\right)=(3.00\text{cm})\text{sin}\left(0.4{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x+2.00{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t+\frac{\pi }{10}\right).$ What are the period, wavelength, speed, and initial phase shift of the wave modeled by the wave function?

英語のヒント

波動関数$y\left(x,t\right)=(3.00\text{cm})\text{sin}\left(0.4{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x+2.00{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t+\frac{\pi }{10}\right)$を考える。この波の周期、波長、速さ、初期位相を求めよ。

Exercise 28問題 28

A pulse is defined as $y\left(x,t\right)=e^{\mathrm{-2.77}{\left(\frac{2.00\left(x-2.00\text{m/s}\left(t\right)\right)}{5.00\text{m}}\right)}^2}.$ Use a spreadsheet, or other computer program, to plot the pulse as the height of medium y as a function of position x. Plot the pulse at times $t=0.00\text{s}$ and $t=3.00\text{s}$ on the same graph. Where is the pulse centered at time $t=3.00\text{s}$? Use your spreadsheet to check your answer.

英語のヒント

パルスを$y\left(x,t\right)=e^{\mathrm{-2.77}{\left(\frac{2.00\left(x-2.00\text{m/s}\left(t\right)\right)}{5.00\text{m}}\right)}^2}$で定義する。表計算ソフトなどを使い、媒質の高さyを位置xの関数として描け。時刻$t=0.00\text{s}$と$t=3.00\text{s}$の波形を同じグラフに示せ。時刻$t=3.00\text{s}$には、パルスの中心はどこにあるか。表計算ソフトで答えを確かめよ。

Solution解き方

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

The pulse will move $\text{Δ}x=6.00\text{m}$.

英語のヒント

パルスは$\text{Δ}x=6.00\text{m}$だけ移動する。

Exercise 29問題 29

A wave is modeled at time $t=0.00\text{s}$ with a wave function that depends on position. The equation is $y\left(x\right)=(0.30\text{m})\text{sin}\left(6.28{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x\right)$. The wave travels a distance of 4.00 meters in 0.50 s in the positive x-direction. Write an equation for the wave as a function of position and time.

英語のヒント

時刻$t=0.00\text{s}$の波を、位置だけに依存する波動関数$y\left(x\right)=(0.30\text{m})\text{sin}\left(6.28{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x\right)$で表す。この波はxの正方向へ0.50 sで4.00 m進む。位置と時間の関数として波を表す式を書け。

Exercise 30問題 30

A wave is modeled with the function $y\left(x,t\right)=(0.25\text{m})\text{cos}\left(0.30{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x-0.90{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t+\frac{\pi }{3}\right).$ Find the (a) amplitude, (b) wave number, (c) angular frequency, (d) wave speed, (e) initial phase shift, (f) wavelength, and (g) period of the wave.

英語のヒント

波を関数$y\left(x,t\right)=(0.25\text{m})\text{cos}\left(0.30{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x-0.90{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t+\frac{\pi }{3}\right)$で表す。(a) 振幅、(b) 波数、(c) 角振動数、(d) 波の速さ、(e) 初期位相、(f) 波長、(g) 周期を求めよ。

Solution解き方

a. $A=0.25\text{m};$ b. $k=0.30{\text{m}}^{\mathrm{-1}};$ c. $\omega =0.90{\text{s}}^{\mathrm{-1}};$ d. $v=3.0\text{m/s};$ e. $\varphi =\pi \text{/}3\text{rad};$ f. $\lambda =20.93\text{m}$; g. $T=6.98\text{s}$

a. $A=0.25\text{m};$；b. $k=0.30{\text{m}}^{\mathrm{-1}};$；c. $\omega =0.90{\text{s}}^{\mathrm{-1}};$；d. $v=3.0\text{m/s};$；e. $\varphi =\pi \text{/}3\text{rad};$；f. $\lambda =20.93\text{m}$；g. $T=6.98\text{s}$

Exercise 31問題 31

A surface ocean wave has an amplitude of 0.60 m and the distance from trough to trough is 8.00 m. It moves at a constant wave speed of 1.50 m/s propagating in the positive x-direction. At $t=0,$ the water displacement at $x=0$ is zero, and $v_y$ is positive. (a) Assuming the wave can be modeled as a sine wave, write a wave function to model the wave. (b) Use a spreadsheet to plot the wave function at times $t=0.00\text{s}$ and $t=2.00\text{s}$ on the same graph. Verify that the wave moves 3.00 m in those 2.00 s.

英語のヒント

海の水面波の振幅は0.60 mで、隣り合う谷の間隔は8.00 mである。xの正方向へ一定の速さ1.50 m/sで進む。$t=0$に位置$x=0$での水の変位はゼロで、$v_y$は正である。(a) 正弦波として表せると仮定し、波動関数を書け。(b) 表計算ソフトを使い、時刻$t=0.00\text{s}$と$t=2.00\text{s}$の波動関数を同じグラフに描け。この2.00 sに波が3.00 m進むことを確かめよ。

Exercise 32問題 32

A wave is modeled by the wave function $y\left(x,t\right)=(0.30\text{m})\text{sin}\left[\frac{2\pi }{4.50\text{m}}\left(x-18.00\frac{\text{m}}{\text{s}}t\right)\right].$ What are the amplitude, wavelength, wave speed, period, and frequency of the wave?

英語のヒント

波を波動関数$y\left(x,t\right)=(0.30\text{m})\text{sin}\left[\frac{2\pi }{4.50\text{m}}\left(x-18.00\frac{\text{m}}{\text{s}}t\right)\right]$で表す。振幅、波長、波の速さ、周期、振動数はいくらか。

Solution解き方

$A=0.30\text{m},\lambda =4.50\text{m},v=18.00\text{m/s},f=4.00\text{Hz},T=0.25\text{s}$

Exercise 33問題 33

A transverse wave on a string is described with the wave function $y\left(x,t\right)=(0.50\text{cm})\text{sin}\left(1.57{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x-6.28{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$. (a) What is the wave velocity of the wave? (b) What is the magnitude of the maximum velocity of the string perpendicular to the direction of the motion?

英語のヒント

糸の横波を波動関数$y\left(x,t\right)=(0.50\text{cm})\text{sin}\left(1.57{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x-6.28{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$で表す。(a) 波の速度はいくらか。(b) 波の進行方向に垂直な糸の最大速度の大きさはいくらか。

Exercise 34問題 34

A swimmer in the ocean observes one day that the ocean surface waves are periodic and resemble a sine wave. The swimmer estimates that the vertical distance between the crest and the trough of each wave is approximately 0.45 m, and the distance between each crest is approximately 1.8 m. The swimmer counts that 12 waves pass every two minutes. Determine the simple harmonic wave function that would describes these waves.

英語のヒント

海で泳ぐ人が、その日の水面波が周期的で、正弦波に似ていることに気づいた。各波の山と谷の鉛直距離は約0.45 m、山どうしの距離は約1.8 mと見積もった。2分間に12個の波が通過する。この波を表す正弦波の波動関数を求めよ。

Solution解き方

$y\left(x,t\right)=0.23\text{m}\text{sin}\left(3.49{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x-0.63{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$

Exercise 35問題 35

Consider a wave described by the wave function $y\left(x,t\right)=0.3\text{m}\text{sin}\left(2.00{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x-628.00{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right).$ (a) How many crests pass by an observer at a fixed location in 2.00 minutes? (b) How far has the wave traveled in that time?

英語のヒント

波動関数$y\left(x,t\right)=0.3\text{m}\text{sin}\left(2.00{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x-628.00{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$で表される波を考える。(a) 2.00分間に、固定位置の観測者の前をいくつの山が通るか。(b) その間に波はどれだけ進むか。

Exercise 36問題 36

Consider two waves defined by the wave functions $y_1\left(x,t\right)=0.50\text{m}\text{sin}\left(\frac{2\pi }{3.00\text{m}}x+\frac{2\pi }{4.00\text{s}}t\right)$ and $y_2\left(x,t\right)=0.50\text{m}\text{sin}\left(\frac{2\pi }{6.00\text{m}}x-\frac{2\pi }{4.00\text{s}}t\right).$ What are the similarities and differences between the two waves?

英語のヒント

波動関数$y_1\left(x,t\right)=0.50\text{m}\text{sin}\left(\frac{2\pi }{3.00\text{m}}x+\frac{2\pi }{4.00\text{s}}t\right)$と$y_2\left(x,t\right)=0.50\text{m}\text{sin}\left(\frac{2\pi }{6.00\text{m}}x-\frac{2\pi }{4.00\text{s}}t\right)$で定義される二つの波を考える。共通点と相違点は何か。

Solution解き方

They have the same angular frequency, frequency, and period. They are traveling in opposite directions and $y_2\left(x,t\right)$ has twice the wavelength as $y_1\left(x,t\right)$ and is moving at half the wave speed.

英語のヒント

角振動数、振動数、周期は同じである。進行方向は反対で、$y_2\left(x,t\right)$は$y_1\left(x,t\right)$の2倍の波長を持ち、波の速さは半分である。

Exercise 37問題 37

Consider two waves defined by the wave functions $y_1\left(x,t\right)=0.20\text{m}\text{sin}\left(\frac{2\pi }{6.00\text{m}}x-\frac{2\pi }{4.00\text{s}}t\right)$ and $y_2\left(x,t\right)=0.20\text{m}\text{cos}\left(\frac{2\pi }{6.00\text{m}}x-\frac{2\pi }{4.00\text{s}}t\right).$ What are the similarities and differences between the two waves?

英語のヒント

波動関数$y_1\left(x,t\right)=0.20\text{m}\text{sin}\left(\frac{2\pi }{6.00\text{m}}x-\frac{2\pi }{4.00\text{s}}t\right)$と$y_2\left(x,t\right)=0.20\text{m}\text{cos}\left(\frac{2\pi }{6.00\text{m}}x-\frac{2\pi }{4.00\text{s}}t\right)$で定義される二つの波を考える。共通点と相違点は何か。

Exercise 38問題 38

The speed of a transverse wave on a string is 300.00 m/s, its wavelength is 0.50 m, and the amplitude is 20.00 cm. How much time is required for a particle on the string to move through a distance of 5.00 km?

英語のヒント

糸の横波の速さは300.00 m/s、波長は0.50 m、振幅は20.00 cmである。糸上の一つの粒子が、合計5.00 kmの距離を動くのに必要な時間はいくらか。

Solution解き方

Each particle of the medium moves a distance of 4A each period. The period can be found by dividing the velocity by the wavelength: $t=10.42\text{s}$

英語のヒント

媒質の各粒子は、1周期ごとに距離4Aを動く。周期は速度を波長で割って求められる：$t=10.42\text{s}$。