第7章因数分解

Factor Trinomials using Trial and Error試行錯誤によって三項式を因数分解する

What happens when the leading coefficient is not 1 and there is no GCF? There are several methods that can be used to factor these trinomials. First we will use the Trial and Error method.

英語のヒント

最高次の係数が1ではなく、最大公約因子もない場合はどうなるだろうか。そのような三項式を因数分解する方法はいくつかある。まずは試行錯誤の方法を使う。

Let’s factor the trinomial

3 x^{2} + 5 x + 2

英語のヒント

三項式

3 x^{2} + 5 x + 2

を因数分解しよう。

From our earlier work we expect this will factor into two binomials.

英語のヒント

これまでの学習から、この式は2つの二項式に因数分解されると予想できる。

\begin{matrix} 3 x^{2} + 5 x + 2 \\ () () \end{matrix}

We know the first terms of the binomial factors will multiply to give us

3 x^{2}

. The only factors of

3 x^{2}

are

1 x, 3 x

. We can place them in the binomials.

英語のヒント

二項式の因数の最初の項どうしを掛けると、

3 x^{2}

になるはずである。

3 x^{2}

の因数の組は

1 x, 3 x

だけなので、これらを二項式の中に入れる。

多項式3x^2 + 5x + 2が示されている。その下に1xと3xの2つの項があり、さらに下で2つの因数xと(3x)が掛けられている。

Check. Does

1 x \cdot 3 x = 3 x^{2}

英語のヒント

確認する。

1 x \cdot 3 x = 3 x^{2}

となるだろうか。

We know the last terms of the binomials will multiply to 2. Since this trinomial has all positive terms, we only need to consider positive factors. The only factors of 2 are 1 and 2. But we now have two cases to consider as it will make a difference if we write 1, 2, or 2, 1.

英語のヒント

二項式の最後の項どうしを掛けると2になるはずである。この三項式の項はすべて正なので、正の因数だけを考えればよい。2の因数は1と2だけである。ただし、1、2と並べるか、2、1と並べるかで違いが生じるため、今度は2つの場合を考える必要がある。

多項式3x^2 + 5x + 2の因数の候補を示した図である。多項式が2回書かれている。どちらも3x^2の下に1x、3xが、2の下に因数1、2がある。図の下部には2通りの因数分解の候補があり、最初は(x + 1)(3x + 2)、次は(x + 2)(3x + 1)である。

Which factors are correct? To decide that, we multiply the inner and outer terms.

英語のヒント

どの因数が正しいだろうか。それを判断するために、内側の項どうしと外側の項どうしを掛ける。

多項式3x^2 + 5x + 2の因数の候補を示した図である。多項式が2回書かれている。どちらも3x^2の下に1x、3xが、2の下に因数1、2がある。図の下部には2通りの因数分解の候補がある。最初は(x + 1)(3x + 2)で、その下には内側の項1と3xを掛けた3xと、外側の項xと2を掛けた2xがある。3xと2xの和は5xである。 2番目の候補の下には、内側の項2と3xを掛けた6xと、外側の項xと1を掛けた1xがある。6xと1xの和は7xである。

Since the middle term of the trinomial is 5x, the factors in the first case will work. Let’s FOIL to check.

英語のヒント

三項式の真ん中の項は5xなので、最初の場合の因数が使える。FOIL法で確認しよう。

\begin{matrix} (x + 1) (3 x + 2) \\ 3 x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \\ 3 x^{2} + 5 x + 2 ✓ \end{matrix}

Our result of the factoring is:

英語のヒント

因数分解の結果は次のようになる：

\begin{matrix} 3 x^{2} + 5 x + 2 \\ (x + 1) (3 x + 2) \end{matrix}

Example 7.33例題 7.33

How to Factor Trinomials of the Form $a x^{2} + b x + c$ Using Trial and Error試行錯誤によって $a x^{2} + b x + c$ の形の三項式を因数分解する方法

Factor completely:

3 y^{2} + 22 y + 7

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

3 y^{2} + 22 y + 7

。

Solution解答

3y^2 + 22y + 7を因数分解する手順をまとめた表である。第1行には、三項式を降べきの順に書くとある。多項式は3y^2 + 22y + 7と書かれている。

第2行には、最初の項の因数の組をすべて求めるとある。挙げられている組は1y、3yだけである。組は1つだけなので、これらを括弧に入れて(1y)、(3y)と書いている。

第3行には「3番目の項の因数の組をすべて求める」とある。また、7の因数は1と7だけだとある。

第4行には、正しい積が得られるまで、因数の可能な組合せをすべて試すとある。候補として(y + 1)(3y + 7)と(y + 7)(3y + 1)が示されている。それぞれの下には外側の項の積と内側の項の積があり、最初の候補では7yと3y、2番目では21yとyである。(y + 7)(3y + 1)が正しい因数分解である。

最後の行には掛け算して確認するとある。(y + 7)(3y + 1)の積が3y^2 + 22y + 7と示されている。

Try It (2)確認問題（2題）

When the middle term is negative and the last term is positive, the signs in the binomials must both be negative.

英語のヒント

真ん中の項が負で最後の項が正のときは、二項式内の符号を両方とも負にしなければならない。

Example 7.34例題 7.34

Factor completely:

6 b^{2} - 13 b + 5

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

6 b^{2} - 13 b + 5

。

Solution解答

The trinomial is already in descending order. 三項式はすでに降べきの順に並んでいる。
Find the factors of the first term. 最初の項の因数を求める。
Find the factors of the last term. Consider the signs. Since the last term, 5 is positive its factors must both be positive or both be negative. The coefficient of the middle term is negative, so we use the negative factors. 最後の項の因数を求める。符号を考えよう。最後の項5は正なので、その因数は両方とも正か、両方とも負でなければならない。真ん中の項の係数が負なので、負の因数を使う。

Consider all the combinations of factors.

英語のヒント

因数の組合せをすべて考える。

$6 b^{2} - 13 b + 5$
Possible factors 因数の候補	Product 積
$(b - 1) (6 b - 5)$	$6 b^{2} - 11 b + 5$
$(b - 5) (6 b - 1)$	$6 b^{2} - 31 b + 5$
$(2 b - 1) (3 b - 5)$	$6 b^{2} - 13 b + 5$ *
$(2 b - 5) (3 b - 1)$	$6 b^{2} - 17 b + 5$

The correct factors are those whose product is the original trinomial. 積が元の三項式になるものが、正しい因数である。	$(2 b - 1) (3 b - 5)$
Check by multiplying. $\begin{matrix} (2 b - 1) (3 b - 5) \\ 6 b^{2} - 10 b - 3 b + 5 \\ 6 b^{2} - 13 b + 5 ✓ \end{matrix}$ 掛け算して確認する。 $\begin{matrix} (2 b - 1) (3 b - 5) \\ 6 b^{2} - 10 b - 3 b + 5 \\ 6 b^{2} - 13 b + 5 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

When we factor an expression, we always look for a greatest common factor first. If the expression does not have a greatest common factor, there cannot be one in its factors either. This may help us eliminate some of the possible factor combinations.

英語のヒント

式を因数分解するときは、必ず最初に最大公約因子を探す。式に最大公約因子がなければ、その因数の中にも共通因子は存在しない。このことを使うと、因数の組合せの候補をいくつか除外できる。

Example 7.35例題 7.35

Factor completely:

14 x^{2} - 47 x - 7

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

14 x^{2} - 47 x - 7

。

Solution解答

The trinomial is already in descending order. 三項式はすでに降べきの順に並んでいる。
Find the factors of the first term. 最初の項の因数を求める。
Find the factors of the last term. Consider the signs. Since it is negative, one factor must be positive and one negative. 最後の項の因数を求める。符号を考えよう。最後の項が負なので、一方の因数は正、他方は負でなければならない。

Consider all the combinations of factors. We use each pair of the factors of

14 x^{2}

with each pair of factors of

−7 .

英語のヒント

因数の組合せをすべて考える。

14 x^{2}

の因数の各組と、

−7

の因数の各組を組み合わせる。

Factors of $14 x^{2}$ $14 x^{2}$ の因数	Pair with 組み合わせる相手	Factors of $−7$ $−7$ の因数
$x$ , $14 x$		$1$ , $−7$ $−7$ , $1$ (reverse order) $1$ 、 $−7$ 　 $−7$ 、 $1$ （逆の順序）
$x$ , $14 x$		$−1$ , $7$ $7$ , $−1$ (reverse order) $−1$ 、 $7$ 　 $7$ 、 $−1$ （逆の順序）
$2 x, 7 x$		$1$ , $−7$ $−7$ , $1$ (reverse order) $1$ 、 $−7$ 　 $−7$ 、 $1$ （逆の順序）
$2 x, 7 x$		$−1$ , $7$ $7$ , $−1$ (reverse order) $−1$ 、 $7$ 　 $7$ 、 $−1$ （逆の順序）

These pairings lead to the following eight combinations.

英語のヒント

これらの組から、次の8通りの組合せができる。

表の見出しは14x^2 − 47x − 7である。表は2列で、第1列は「因数の候補」、第2列は「積」となっている。第1列には候補となる因数の組合せがすべて並び、第2列にはその積がある。最初の行の因数は(x + 1)と(14x − 7)で、積の列には「候補にならない」とある。次の行は(x − 7)と(14x + 1)、その次は(x − 1)と(14x + 7)で、後者の積の列には「候補にならない」とある。次は(x + 7)と(14x − 1)で、積は14x^2 + 97x − 7である。次は(2x + 1)と(7x − 7)で、「候補にならない」とある。次は(2x − 7)と(7x + 1)で、積14x^2 − 47x − 7の後ろにアスタリスクが付いている。次は(2x − 1)と(7x + 7)で、「候補にならない」とある。最後は(2x + 7)と(7x − 1)で、積は14x^2 + 47x − 7である。表の横には、「候補にならない」とある4つの行を矢印で指した枠がある。理由として「三項式に共通因子がなければ、どちらの因数にも共通因子は含まれない。したがって、これらの組合せは候補にならない」と書かれている。

The correct factors are those whose product is the original trinomial. 積が元の三項式になるものが、正しい因数である。	$(2 x - 7) (7 x + 1)$
Check by multiplying. $\begin{matrix} (2 x - 7) (7 x + 1) \\ 14 x^{2} + 2 x - 49 x - 7 \\ 14 x^{2} - 47 x - 7 ✓ \end{matrix}$ 掛け算して確認する。 $\begin{matrix} (2 x - 7) (7 x + 1) \\ 14 x^{2} + 2 x - 49 x - 7 \\ 14 x^{2} - 47 x - 7 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.36例題 7.36

Factor completely:

18 n^{2} - 37 n + 15

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

18 n^{2} - 37 n + 15

。

Solution解答

The trinomial is already in descending order. 三項式はすでに降べきの順に並んでいる。	$18 n^{2} - 37 n + 15$
Find the factors of the first term. 最初の項の因数を求める。
Find the factors of the last term. Consider the signs. Since 15 is positive and the coefficient of the middle term is negative, we use the negative facotrs. 最後の項の因数を求める。符号を考えよう。15が正で真ん中の項の係数が負なので、負の因数を使う。

Consider all the combinations of factors.

英語のヒント

因数の組合せをすべて考える。

表の見出しは18n^2 − 37n + 15である。表は2列で、第1列は「因数の候補」、第2列は「積」となっている。第1列には候補となる因数の組合せがすべて並び、第2列にはその積がある。8つの行では、積が候補にならないとされている。理由を示す枠には「三項式に共通因子がなければ、どちらの因数にも共通因子は含まれない」とある。因数(2n − 3)(9n − 5)、積18n^2 − 37n + 15の行には、アスタリスクが付いている。

The correct factors are those whose product is the original trinomial. 積が元の三項式になるものが、正しい因数である。	$(2 n - 3) (9 n - 5)$
Check by multiplying. $\begin{matrix} (2 n - 3) (9 n - 5) \\ 18 n^{2} - 10 n - 27 n + 15 \\ 18 n^{2} - 37 n + 15 ✓ \end{matrix}$ 掛け算して確認する。 $\begin{matrix} (2 n - 3) (9 n - 5) \\ 18 n^{2} - 10 n - 27 n + 15 \\ 18 n^{2} - 37 n + 15 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Don’t forget to look for a GCF first.

英語のヒント

最初に最大公約因子を探すことを忘れないようにしよう。

Example 7.37例題 7.37

Factor completely:

10 y^{4} + 55 y^{3} + 60 y^{2}

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

10 y^{4} + 55 y^{3} + 60 y^{2}

。

Solution解答

	$10 y^{4} + 55 y^{3} + 60 y^{2}$
Notice the greatest common factor, and factor it first. 最大公約因子に注目し、最初にくくり出す。	$15 y^{2} (2 y^{2} + 11 y + 12)$
Factor the trinomial. 三項式を因数分解する。

Consider all the combinations.

英語のヒント

すべての組合せを考える。

表の見出しは2y^2 + 11y + 12である。表は2列で、第1列は「因数の候補」、第2列は「積」となっている。第1列には候補となる因数の組合せがすべて並び、第2列にはその積がある。4つの行では、積が候補にならないとされている。理由を示す枠には「三項式に共通因子がなければ、どちらの因数にも共通因子は含まれない」とある。因数(y + 4)(2y + 3)、積2y^2 + 11y + 12の行には、アスタリスクが付いている。

The correct factors are those whose product is the original trinomial. Remember to include the factor 5y². 積が元の三項式になるものが、正しい因数である。因子5y²を含めることを忘れないようにする。	$5 y^{2} (y + 4) (2 y + 3)$
Check by multiplying. $\begin{matrix} 5 y^{2} (y + 4) (2 y + 3) \\ 5 y^{2} (2 y^{2} + 8 y + 3 y + 12) \\ 10 y^{4} + 55 y^{3} + 60 y^{2} ✓ \end{matrix}$ 掛け算して確認する。 $\begin{matrix} 5 y^{2} (y + 4) (2 y + 3) \\ 5 y^{2} (2 y^{2} + 8 y + 3 y + 12) \\ 10 y^{4} + 55 y^{3} + 60 y^{2} ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

第7章因数分解

Factor Trinomials using Trial and Error試行錯誤によって三項式を因数分解する

How to Factor Trinomials of the Form ax2+bx+c Using Trial and Error試行錯誤によってax2+bx+cの形の三項式を因数分解する方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

How to Factor Trinomials of the Form $a x^{2} + b x + c$ Using Trial and Error試行錯誤によって $a x^{2} + b x + c$ の形の三項式を因数分解する方法