第7章因数分解

Key Concepts重要な概念

Zero Product Property If $a \cdot b = 0$ , then either $a = 0$ or $b = 0$ or both. See Example 7.69.
英語のヒント
積が0になる性質　 $a \cdot b = 0$ なら、 $a = 0$ または $b = 0$ のいずれか、あるいは両方が成り立つ。例7.69を参照。
Solve a quadratic equation by factoring To solve a quadratic equation by factoring: See Example 7.73.
英語のヒント
因数分解によって二次方程式を解く。因数分解によって二次方程式を解くには：例7.73を参照。
1. Write the quadratic equation in standard form, $a x^{2} + b x + c = 0$ .
  英語のヒント
  二次方程式を標準形 $a x^{2} + b x + c = 0$ で書く。
2. Factor the quadratic expression.
  英語のヒント
  二次式を因数分解する。
3. Use the Zero Product Property.
  英語のヒント
  積が0になる性質を使う。
4. Solve the linear equations.
  英語のヒント
  一次方程式を解く。
5. Check.
  英語のヒント
  確かめる。
Use a problem solving strategy to solve word problems See Example 7.80.
英語のヒント
問題解決の方針を使って文章問題を解く。例7.80を参照。
1. Read the problem. Make sure all the words and ideas are understood.
  英語のヒント
  問題を読む。すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる。
2. Identify what we are looking for.
  英語のヒント
  何を求めるのかを明確にする。
3. Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
  英語のヒント
  求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。
4. Translate into an equation. It may be helpful to restate the problem in one sentence with all the important information. Then, translate the English sentence into an algebra equation.
  英語のヒント
  方程式に表す。重要な情報をすべて含む1文に言い直すと役立つことがある。その後、その文を方程式に表す。
5. Solve the equation using good algebra techniques.
  英語のヒント
  適切な代数の手順を使って方程式を解く。
6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
  英語のヒント
  答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
7. Answer the question with a complete sentence.
  英語のヒント
  完全な文で問いに答える。

Section Exercises節の練習問題

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 315–324練習問題 315–324

Use the Zero Product Property

英語のヒント

積が0になる性質を使う

In the following exercises, solve.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 315問題 315

(x - 3) (x + 7) = 0

Solution解き方

x = 3, x = −7

Exercise 316問題 316

(y - 11) (y + 1) = 0

Exercise 317問題 317

(3 a - 10) (2 a - 7) = 0

Solution解き方

a = 10 / 3, a = 7 / 2

Exercise 318問題 318

(5 b + 1) (6 b + 1) = 0

Exercise 319問題 319

6 m (12 m - 5) = 0

Solution解き方

m = 0, m = 5 / 12

Exercise 320問題 320

2 x (6 x - 3) = 0

Exercise 321問題 321

{(y - 3)}^{2} = 0

Solution解き方

y = 3

Exercise 322問題 322

{(b + 10)}^{2} = 0

Exercise 323問題 323

{(2 x - 1)}^{2} = 0

Solution解き方

x = 1 / 2

Exercise 324問題 324

{(3 y + 5)}^{2} = 0

Exercises 325–342練習問題 325–342

Solve Quadratic Equations by Factoring

英語のヒント

因数分解によって二次方程式を解く

In the following exercises, solve.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 325問題 325

x^{2} + 7 x + 12 = 0

Solution解き方

x = −3, x = −4

Exercise 326問題 326

y^{2} - 8 y + 15 = 0

Exercise 327問題 327

5 a^{2} - 26 a = 24

Solution解き方

a = −4 / 5, a = 6

Exercise 328問題 328

4 b^{2} + 7 b = −3

Exercise 329問題 329

4 m^{2} = 17 m - 15

Solution解き方

m = 5 / 4, m = 3

Exercise 330問題 330

n^{2} = 5 n - 6

Exercise 331問題 331

7 a^{2} + 14 a = 7 a

Solution解き方

a = −1, a = 0

Exercise 332問題 332

12 b^{2} - 15 b = −9 b

Exercise 333問題 333

49 m^{2} = 144

Solution解き方

m = 12 / 7, m = −12 / 7

Exercise 334問題 334

625 = x^{2}

Exercise 335問題 335

(y - 3) (y + 2) = 4 y

Solution解き方

y = −1, y = 6

Exercise 336問題 336

(p - 5) (p + 3) = −7

Exercise 337問題 337

(2 x + 1) (x - 3) = −4 x

Solution解き方

x = 3 / 2, x = −1

Exercise 338問題 338

(x + 6) (x - 3) = −8

Exercise 339問題 339

16 p^{3} = 24 p^{2} - 9 p

Solution解き方

p = 0, p = ¾

Exercise 340問題 340

m^{3} - 2 m^{2} = − m

Exercise 341問題 341

20 x^{2} - 60 x = −45

Solution解き方

x = 3 / 2

Exercise 342問題 342

3 y^{2} - 18 y = −27

Exercises 343–348練習問題 343–348

Solve Applications Modeled by Quadratic Equations

英語のヒント

二次方程式でモデル化される応用問題を解く

In the following exercises, solve.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 343問題 343

The product of two consecutive integers is 56. Find the integers.

英語のヒント

連続する2つの整数の積は56である。その整数を求めよ。

Solution解き方

7 and 8; - 8 and −7

7 および 8; - 8 および −7

Exercise 344問題 344

The product of two consecutive integers is 42. Find the integers.

英語のヒント

連続する2つの整数の積は42である。その整数を求めよ。

Exercise 345問題 345

The area of a rectangular carpet is 28 square feet. The length is three feet more than the width. Find the length and the width of the carpet.

英語のヒント

長方形のカーペットの面積は28平方フィートである。縦の長さは横の長さより3フィート長い。カーペットの縦と横の長さを求めよ。

Solution解き方

4 feet and 7 feet

4 フィートと 7 フィート

Exercise 346問題 346

A rectangular retaining wall has area 15 square feet. The height of the wall is two feet less than its length. Find the height and the length of the wall.

英語のヒント

長方形の擁壁の面積は15平方フィートである。壁の高さは長さより2フィート短い。壁の高さと長さを求めよ。

Exercise 347問題 347

A pennant is shaped like a right triangle, with hypotenuse 10 feet. The length of one side of the pennant is two feet longer than the length of the other side. Find the length of the two sides of the pennant.

英語のヒント

ペナントは斜辺が10フィートの直角三角形である。一方の辺の長さは、もう一方の辺より2フィート長い。ペナントの2辺の長さを求めよ。

Solution解き方

6 feet and 8 feet

6 フィートと 8 フィート

Exercise 348問題 348

A reflecting pool is shaped like a right triangle, with one leg along the wall of a building. The hypotenuse is 9 feet longer than the side along the building. The third side is 7 feet longer than the side along the building. Find the lengths of all three sides of the reflecting pool.

英語のヒント

水鏡の池は直角三角形の形で、直角を挟む1辺が建物の壁に沿っている。斜辺は建物に沿う辺より9フィート長い。3番目の辺は建物に沿う辺より7フィート長い。この池の3辺すべての長さを求めよ。

Exercises 349–358練習問題 349–358

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

In the following exercises, solve.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 349問題 349

(x + 8) (x - 3) = 0

Solution解き方

x = −8, x = 3

Exercise 350問題 350

(3 y - 5) (y + 7) = 0

Exercise 351問題 351

p^{2} + 12 p + 11 = 0

Solution解き方

p = −1, p = −11

Exercise 352問題 352

q^{2} - 12 q - 13 = 0

Exercise 353問題 353

m^{2} = 6 m + 16

Solution解き方

m = −2, m = 8

Exercise 354問題 354

4 n^{2} + 19 n = 5

Exercise 355問題 355

a^{3} - a^{2} - 42 a = 0

Solution解き方

a = 0, a = −6, a = 7

Exercise 356問題 356

4 b^{2} - 60 b + 224 = 0

Exercise 357問題 357

The product of two consecutive integers is 110. Find the integers.

英語のヒント

連続する2つの整数の積は110である。その整数を求めよ。

Solution解き方

10 and 11; - 11 and −10

10 および 11; - 11 および −10

Exercise 358問題 358

The length of one leg of a right triangle is three feet more than the other leg. If the hypotenuse is 15 feet, find the lengths of the two legs.

英語のヒント

直角三角形の直角を挟む一方の辺は、もう一方より3フィート長い。斜辺が15フィートのとき、直角を挟む2辺の長さを求めよ。

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 359–360練習問題 359–360

Exercise 359問題 359

Area of a patio If each side of a square patio is increased by 4 feet, the area of the patio would be 196 square feet. Solve the equation

{(s + 4)}^{2} = 196

for s to find the length of a side of the patio.

英語のヒント

パティオの面積　正方形のパティオの各辺を4フィートずつ長くすると、面積は196平方フィートになる。方程式

{(s + 4)}^{2} = 196

をsについて解き、元のパティオの1辺の長さを求めよ。

Solution解き方

10 feet

英語のヒント

10フィート

Exercise 360問題 360

Watermelon drop A watermelon is dropped from the tenth story of a building. Solve the equation

−16 t^{2} + 144 = 0

for

t

to find the number of seconds it takes the watermelon to reach the ground.

英語のヒント

スイカ落とし　建物の10階からスイカを落とす。方程式

−16 t^{2} + 144 = 0

を

t

について解き、スイカが地面に着くまでの秒数を求めよ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 361–362練習問題 361–362

Exercise 361問題 361

Explain how you solve a quadratic equation. How many answers do you expect to get for a quadratic equation?

英語のヒント

二次方程式をどのように解くか説明せよ。二次方程式にはいくつの答えが得られると予想するか。

Solution解き方

Answers may vary.

英語のヒント

解答はさまざまである。

Exercise 362問題 362

Give an example of a quadratic equation that has a GCF and none of the solutions to the equation is zero.

英語のヒント

最大公約因子を持ち、解のどれも0ではない二次方程式の例を挙げよ。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

表には、すべて「私は…できる」を付けて読む項目がある。第1行は「積が0になる性質を使って二次方程式を解く」、第2行は「因数分解によって二次方程式を解く」、第3行は「二次方程式でモデル化される応用問題を解く」である。その横の列には「自信を持って」「少し助けがあれば」「いいえ、理解できない！」という見出しがある。

ⓑ Overall, after looking at the checklist, do you think you are well-prepared for the next section? Why or why not?

英語のヒント

ⓑ チェックリストを見て、全体として次の節に進む準備は十分にできていると思うか。その理由、またはできていないと思う理由を述べよ。

Chapter 7 Review Exercises第7章の復習問題

7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping7.1 最大公約因子と、項をグループに分ける因数分解

Exercises 363–366練習問題 363–366

Find the Greatest Common Factor of Two or More Expressions

英語のヒント

2つ以上の式の最大公約因子を求める

In the following exercises, find the greatest common factor.

英語のヒント

次の練習問題では、最大公約因子を求める。

Exercise 363問題 363

42, 60

Solution解き方

Exercise 364問題 364

450, 420

Exercise 365問題 365

90, 150, 105

Solution解き方

15

Exercise 366問題 366

60, 294, 630

Exercises 367–370練習問題 367–370

Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial

英語のヒント

多項式から最大公約因子をくくり出す

In the following exercises, factor the greatest common factor from each polynomial.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの多項式から最大公約因子をくくり出す。

Exercise 367問題 367

24 x - 42

Solution解き方

6 (4 x - 7)

Exercise 368問題 368

35 y + 84

Exercise 369問題 369

15 m^{4} + 6 m^{2} n

Solution解き方

3 m^{2} (5 m^{2} + 2 n)

Exercise 370問題 370

24 p t^{4} + 16 t^{7}

Exercises 371–376練習問題 371–376

Factor by Grouping

英語のヒント

項をグループに分けて因数分解する

In the following exercises, factor by grouping.

英語のヒント

以下の問題では、項をグループに分けて因数分解せよ。

Exercise 371問題 371

a x - a y + b x - b y

Solution解き方

(a + b) (x - y)

Exercise 372問題 372

x^{2} y - x y^{2} + 2 x - 2 y

Exercise 373問題 373

x^{2} + 7 x - 3 x - 21

Solution解き方

(x - 3) (x + 7)

Exercise 374問題 374

4 x^{2} - 16 x + 3 x - 12

Exercise 375問題 375

m^{3} + m^{2} + m + 1

Solution解き方

(m^{2} + 1) (m + 1)

Exercise 376問題 376

5 x - 5 y - y + x