第7章因数分解

7.2 Factor Trinomials of the Form x²+bx+c7.2　x²+bx+cの形の三項式を因数分解する

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Factor trinomials of the form $x^{2} + b x + c$
英語のヒント
$x^{2} + b x + c$ の形の三項式を因数分解する。
Factor trinomials of the form $x^{2} + b x y + c y^{2}$
英語のヒント
$x^{2} + b x y + c y^{2}$ の形の三項式を因数分解する。

Before You Begin (4)準備問題（4題）

Factor Trinomials of the Form x² + bx + cx² + bx + cの形の三項式を因数分解する

You have already learned how to multiply binomials using FOIL. Now you’ll need to “undo” this multiplication—to start with the product and end up with the factors. Let’s look at an example of multiplying binomials to refresh your memory.

英語のヒント

FOIL法を使って二項式を掛ける方法はすでに学んだ。今度はこの掛け算を「元に戻す」。積から始め、因数にたどり着くのである。記憶を呼び起こすために、二項式の掛け算の例を見てみよう。

因数(x + 2)と(x + 3)を掛ける手順を示した図である。掛け算はFOIL法を使って行われている。最初の項xの2乗はFの下、2番目の項3xはOの下、3番目の項2xはIの下、4番目の項6はLの下にある。最後に、簡単にした積x^2 + 5x + 6が示されている。

To factor the trinomial means to start with the product,

x^{2} + 5 x + 6

, and end with the factors,

(x + 2) (x + 3)

. You need to think about where each of the terms in the trinomial came from.

英語のヒント

三項式を因数分解するとは、積

x^{2} + 5 x + 6

から始め、因数の積

(x + 2) (x + 3)

を得ることである。三項式の各項がどこから来たかを考える必要がある。

The first term came from multiplying the first term in each binomial. So to get

x^{2}

in the product, each binomial must start with an x.

英語のヒント

最初の項は、各二項式の最初の項どうしを掛けてできた。したがって、積に

x^{2}

が現れるには、それぞれの二項式がxで始まらなければならない。

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 \\ (x) (x) \end{matrix}

The last term in the trinomial came from multiplying the last term in each binomial. So the last terms must multiply to 6.

英語のヒント

三項式の最後の項は、各二項式の最後の項どうしを掛けてできた。したがって、最後の項どうしの積は6でなければならない。

What two numbers multiply to 6?

英語のヒント

掛けると6になる2つの数は何だろうか。

The factors of 6 could be 1 and 6, or 2 and 3. How do you know which pair to use?

英語のヒント

6の因数の組には、1と6、または2と3がある。どちらの組を使えばよいのだろうか。

Consider the middle term. It came from adding the outer and inner terms.

英語のヒント

真ん中の項を考えよう。これは外側の項の積と内側の項の積を足してできた。

So the numbers that must have a product of 6 will need a sum of 5. We’ll test both possibilities and summarize the results in Table 7.1—the table will be very helpful when you work with numbers that can be factored in many different ways.

英語のヒント

したがって、積が6になる2つの数は、和が5にもなる必要がある。両方の組を試し、その結果を表7.1にまとめる。この表は、さまざまな方法で因数分解できる数を扱うときに、とても役立つ。

Table 7.1表 7.1
Factors of $6$ $6$ の因数	Sum of factors 因数の和
$1, 6$	$1 + 6 = 7$
$2, 3$	$2 + 3 = 5$

We see that 2 and 3 are the numbers that multiply to 6 and add to 5. So we have the factors of

x^{2} + 5 x + 6

. They are

(x + 2) (x + 3)

英語のヒント

2と3は、掛けると6、足すと5になる数である。したがって、

x^{2} + 5 x + 6

の因数分解ができた。それは

(x + 2) (x + 3)

である。

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 & product \\ (x + 2) (x + 3) & factors \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 & 積 \\ (x + 2) (x + 3) & 因子 \end{matrix}

You should check this by multiplying.

英語のヒント

掛け算して、この結果を確認しよう。

Looking back, we started with

x^{2} + 5 x + 6

, which is of the form

x^{2} + b x + c

, where

b = 5

and

c = 6

. We factored it into two binomials of the form

(x + m) and (x + n)

英語のヒント

振り返ると、

x^{2} + 5 x + 6

から始めた。これは

x^{2} + b x + c

の形で、

b = 5

、

c = 6

である。この式を、

(x + m) および (x + n)

という形の2つの二項式に因数分解した。

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 & x^{2} + b x + c \\ (x + 2) (x + 3) & (x + m) (x + n) \end{matrix}

To get the correct factors, we found two numbers m and n whose product is c and sum is b.

英語のヒント

正しい因数を得るために、積がc、和がbになる2つの数mとnを求めた。

Example 7.17例題 7.17

How to Factor Trinomials of the Form $x^{2} + b x + c$ $x^{2} + b x + c$ の形の三項式を因数分解する方法

Factor:

x^{2} + 7 x + 12

英語のヒント

因数分解せよ：

x^{2} + 7 x + 12

。

Solution解答

x^2 + 7x + 12を因数分解する手順を示す表である。第1行には最初の手順「最初の項がxである2つの二項式として因数を書く」がある。その第2列には「括弧を2組書き、最初の項をxとする」とある。第3列にはx^2 + 7x + 12があり、その下に最初の項をxとする2組の括弧がある。

第2行には2番目の手順「掛けるとcになるm × n = c、足すとbになるm + n = bを満たす2つの数mとnを求める」がある。その第2列には、12の因数の組と和が示されている。1、12は和1 + 12 = 13、2、6は和2 + 6 = 8、3、4は和3 + 4 = 7である。

第4行には「因数を掛けて確認する」とある。(x + 3)(x + 4)の積がx^2 + 7x + 12になることが示されている。

Try It (2)確認問題（2題）

Let’s summarize the steps we used to find the factors.

英語のヒント

因数を求めるために使った手順をまとめよう。

Example 7.18例題 7.18

Factor:

u^{2} + 11 u + 24

英語のヒント

因数分解せよ：

u^{2} + 11 u + 24

。

Solution解答

Notice that the variable is u, so the factors will have first terms u.

英語のヒント

変数はuなので、因数の最初の項もuになることに注目しよう。

\begin{matrix} u^{2} + 11 u + 24 \\ Write the factors as two binomials with first terms u . & (u) (u) \end{matrix}

\begin{matrix} u^{2} + 11 u + 24 \\ 次を初項とする二つの二項式を因子として書く： u . & (u) (u) \end{matrix}

Find two numbers that: multiply to 24 and add to 11.

英語のヒント

掛けると24、足すと11になる2つの数を求める。

Factors of $24$ $24$ の因数	Sum of factors 因数の和
$1, 24$	$1 + 24 = 25$
$2, 12$	$2 + 12 = 14$
$3, 8$	$3 + 8 = 11 *$
$4, 6$	$4 + 6 = 10$

\begin{matrix} Use 3 and 8 as the last terms of the binomials. & (u + 3) (u + 8) \\ Check. \\ (u + 3) (u + 8) \\ u^{2} + 3 u + 8 u + 24 \\ u^{2} + 11 u + 24 ✓ \end{matrix}

\begin{matrix} 二項式の末項に3と8を用いる。 & (u + 3) (u + 8) \\ 確かめる。 \\ (u + 3) (u + 8) \\ u^{2} + 3 u + 8 u + 24 \\ u^{2} + 11 u + 24 ✓ \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.19例題 7.19

Factor:

y^{2} + 17 y + 60

英語のヒント

因数分解せよ：

y^{2} + 17 y + 60

。

Solution解答

\begin{matrix} y^{2} + 17 y + 60 \\ Write the factors as two binomials with first terms y . & (y) (y) \end{matrix}

\begin{matrix} y^{2} + 17 y + 60 \\ 次を初項とする二つの二項式を因子として書く： y . & (y) (y) \end{matrix}

Find two numbers that multiply to 60 and add to 17.

英語のヒント

掛けると60、足すと17になる2つの数を求める。

Factors of $60$ $60$ の因数	Sum of factors 因数の和
$1, 60$	$1 + 60 = 61$
$2, 30$	$2 + 30 = 32$
$3, 20$	$3 + 20 = 23$
$4, 15$	$4 + 15 = 19$
$5, 12$	$5 + 12 = 17 *$
$6, 10$	$6 + 10 = 16$

\begin{matrix} Use 5 and 12 as the last terms. & (y + 5) (y + 12) \\ Check. \\ (y + 5) (y + 12) \\ (y^{2} + 12 y + 5 y + 60) \\ (y^{2} + 17 y + 60) ✓ \end{matrix}

\begin{matrix} 用いる値： 5 および 12 を末項とする。 & (y + 5) (y + 12) \\ 確かめる。 \\ (y + 5) (y + 12) \\ (y^{2} + 12 y + 5 y + 60) \\ (y^{2} + 17 y + 60) ✓ \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Factor Trinomials of the Form x² + bx + c with b Negative, c Positivebが負、cが正の場合に、x² + bx + cの形の三項式を因数分解する

In the examples so far, all terms in the trinomial were positive. What happens when there are negative terms? Well, it depends which term is negative. Let’s look first at trinomials with only the middle term negative.

英語のヒント

これまでの例では、三項式のすべての項が正だった。負の項があるとどうなるだろうか。それは、どの項が負かによって決まる。まず、真ん中の項だけが負の三項式を見てみよう。

Remember: To get a negative sum and a positive product, the numbers must both be negative.

英語のヒント

覚えておこう。和が負で積が正になるには、2つの数が両方とも負でなければならない。

Again, think about FOIL and where each term in the trinomial came from. Just as before,

英語のヒント

もう一度、FOIL法と、三項式の各項がどこから来たかを考えよう。先ほどと同じように、

the first term, $x^{2}$ , comes from the product of the two first terms in each binomial factor, x and y;
英語のヒント
最初の項 $x^{2}$ は、各二項式因子の最初の項であるxとyの積からできる。
the positive last term is the product of the two last terms
英語のヒント
正の最後の項は、最後の項どうしの積である。
the negative middle term is the sum of the outer and inner terms.
英語のヒント
負の真ん中の項は、外側の項の積と内側の項の積の和である。

How do you get a positive product and a negative sum? With two negative numbers.

英語のヒント

積を正に、和を負にするにはどうすればよいだろうか。2つの負の数を使えばよい。

Example 7.20例題 7.20

Factor:

t^{2} - 11 t + 28

英語のヒント

因数分解せよ：

t^{2} - 11 t + 28

。

Solution解答

Again, with the positive last term, 28, and the negative middle term,

−11 t

, we need two negative factors. Find two numbers that multiply 28 and add to

−11

英語のヒント

ここでも、最後の項28が正で真ん中の項

−11 t

が負なので、負の因数が2つ必要である。掛けると28、足すと

−11

になる2つの数を求める。

\begin{matrix} t^{2} - 11 t + 28 \\ Write the factors as two binomials with first terms t . & (t) (t) \end{matrix}

\begin{matrix} t^{2} - 11 t + 28 \\ 次を初項とする二つの二項式を因子として書く： t . & (t) (t) \end{matrix}

Find two numbers that: multiply to 28 and add to

−11

英語のヒント

掛けると28、足すと

−11

になる2つの数を求める。

Factors of $28$ $28$ の因数	Sum of factors 因数の和
$−1, −28$	$−1 + (−28) = −29$
$−2, −14$	$−2 + (−14) = −16$
$−4, −7$	$−4 + (−7) = −11 *$

\begin{matrix} Use −4, −7 as the last terms of the binomials. & (t - 4) (t - 7) \\ Check. \\ (t - 4) (t - 7) \\ t^{2} - 7 t - 4 t + 28 \\ t^{2} - 11 t + 28 ✓ \end{matrix}

\begin{matrix} 用いる値： −4, −7 を二項式の末項とする。 & (t - 4) (t - 7) \\ 確かめる。 \\ (t - 4) (t - 7) \\ t^{2} - 7 t - 4 t + 28 \\ t^{2} - 11 t + 28 ✓ \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

第7章因数分解

7.2 Factor Trinomials of the Form x2+bx+c7.2 x2+bx+cの形の三項式を因数分解する

Learning Objectives学習目標

Factor Trinomials of the Form x2 + bx + cx2 + bx + cの形の三項式を因数分解する

How to Factor Trinomials of the Form x2+bx+cx2+bx+cの形の三項式を因数分解する方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Factor Trinomials of the Form x2 + bx + c with b Negative, c Positivebが負、cが正の場合に、x2 + bx + cの形の三項式を因数分解する

Solution解答

7.2 Factor Trinomials of the Form x²+bx+c7.2　x²+bx+cの形の三項式を因数分解する

Factor Trinomials of the Form x² + bx + cx² + bx + cの形の三項式を因数分解する

How to Factor Trinomials of the Form $x^{2} + b x + c$ $x^{2} + b x + c$ の形の三項式を因数分解する方法

Factor Trinomials of the Form x² + bx + c with b Negative, c Positivebが負、cが正の場合に、x² + bx + cの形の三項式を因数分解する