第7章因数分解

Key Concepts重要な概念

Factor trinomials of the form $x^{2} + b x + c$
英語のヒント
$x^{2} + b x + c$ の形の三項式を因数分解する。
1. Write the factors as two binomials with first terms x: $(x) (x)$ .
  英語のヒント
  因数を、最初の項がxである2つの二項式として書く： $(x) (x)$ 。
2. Find two numbers m and n that
  Multiply to c, $m \cdot n = c$
  Add to b, $m + n = b$
  英語のヒント
  次を満たす2つの数mとnを求める。掛けるとcになる： $m \cdot n = c$ 。足すとbになる： $m + n = b$ 。
3. Use m and n as the last terms of the factors: $(x + m) (x + n)$ .
  英語のヒント
  因数の最後の項にmとnを使う： $(x + m) (x + n)$ 。
4. Check by multiplying the factors.
  英語のヒント
  因数を掛けて確かめる。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 63–96練習問題 63–96

Factor Trinomials of the Form $x^{2} + b x + c$

英語のヒント

x^{2} + b x + c

の形の三項式を因数分解する

In the following exercises, factor each trinomial of the form

x^{2} + b x + c

英語のヒント

以下の問題では、

x^{2} + b x + c

の形の各三項式を因数分解せよ。

Exercise 63問題 63

x^{2} + 4 x + 3

Solution解き方

(x + 1) (x + 3)

Exercise 64問題 64

y^{2} + 8 y + 7

Exercise 65問題 65

m^{2} + 12 m + 11

Solution解き方

(m + 1) (m + 11)

Exercise 66問題 66

b^{2} + 14 b + 13

Exercise 67問題 67

a^{2} + 9 a + 20

Solution解き方

(a + 4) (a + 5)

Exercise 68問題 68

m^{2} + 7 m + 12

Exercise 69問題 69

p^{2} + 11 p + 30

Solution解き方

(p + 5) (p + 6)

Exercise 70問題 70

w^{2} + 10 w + 21

Exercise 71問題 71

n^{2} + 19 n + 48

Solution解き方

(n + 3) (n + 16)

Exercise 72問題 72

b^{2} + 14 b + 48

Exercise 73問題 73

a^{2} + 25 a + 100

Solution解き方

(a + 5) (a + 20)

Exercise 74問題 74

u^{2} + 101 u + 100

Exercise 75問題 75

x^{2} - 8 x + 12

Solution解き方

(x - 2) (x - 6)

Exercise 76問題 76

q^{2} - 13 q + 36

Exercise 77問題 77

y^{2} - 18 y + 45

Solution解き方

(y - 3) (y - 15)

Exercise 78問題 78

m^{2} - 13 m + 30

Exercise 79問題 79

x^{2} - 8 x + 7

Solution解き方

(x - 1) (x - 7)

Exercise 80問題 80

y^{2} - 5 y + 6

Exercise 81問題 81

p^{2} + 5 p - 6

Solution解き方

(p - 1) (p + 6)

Exercise 82問題 82

n^{2} + 6 n - 7

Exercise 83問題 83

y^{2} - 6 y - 7

Solution解き方

(y + 1) (y - 7)

Exercise 84問題 84

v^{2} - 2 v - 3

Exercise 85問題 85

x^{2} - x - 12

Solution解き方

(x - 4) (x + 3)

Exercise 86問題 86

r^{2} - 2 r - 8

Exercise 87問題 87

a^{2} - 3 a - 28

Solution解き方

(a - 7) (a + 4)

Exercise 88問題 88

b^{2} - 13 b - 30

Exercise 89問題 89

w^{2} - 5 w - 36

Solution解き方

(w - 9) (w + 4)

Exercise 90問題 90

t^{2} - 3 t - 54

Exercise 91問題 91

x^{2} + x + 5

Solution解き方

prime

英語のヒント

素数

Exercise 92問題 92

x^{2} - 3 x - 9

Exercise 93問題 93

8 - 6 x + x^{2}

Solution解き方

(x - 4) (x - 2)

Exercise 94問題 94

7 x + x^{2} + 6

Exercise 95問題 95

x^{2} - 12 - 11 x

Solution解き方

(x - 12) (x + 1)

Exercise 96問題 96

−11 - 10 x + x^{2}

Exercises 97–112練習問題 97–112

Factor Trinomials of the Form $x^{2} + b x y + c y^{2}$

英語のヒント

x^{2} + b x y + c y^{2}

の形の三項式を因数分解する

In the following exercises, factor each trinomial of the form

x^{2} + b x y + c y^{2}

. If the trinomial cannot be factored, answer “Prime.”

英語のヒント

以下の問題では、

x^{2} + b x y + c y^{2}

の形の各三項式を因数分解せよ。因数分解できない場合は「既約」と答えよ。

Exercise 97問題 97

p^{2} + 3 p q + 2 q^{2}

Solution解き方

(p + q) (p + 2 q)

Exercise 98問題 98

m^{2} + 6 m n + 5 n^{2}

Exercise 99問題 99

r^{2} + 15 r s + 36 s^{2}

Solution解き方

(r + 3 s) (r + 12 s)

Exercise 100問題 100

u^{2} + 10 u v + 24 v^{2}

Exercise 101問題 101

m^{2} - 12 m n + 20 n^{2}

Solution解き方

(m - 2 n) (m - 10 n)

Exercise 102問題 102

p^{2} - 16 p q + 63 q^{2}

Exercise 103問題 103

x^{2} - 2 x y - 80 y^{2}

Solution解き方

(x + 8 y) (x - 10 y)

Exercise 104問題 104

p^{2} - 8 p q - 65 q^{2}

Exercise 105問題 105

m^{2} - 64 m n - 65 n^{2}

Solution解き方

(m + n) (m - 65 n)

Exercise 106問題 106

p^{2} - 2 p q - 35 q^{2}

Exercise 107問題 107

a^{2} + 5 a b - 24 b^{2}

Solution解き方

(a + 8 b) (a - 3 b)

Exercise 108問題 108

r^{2} + 3 r s - 28 s^{2}

Exercise 109問題 109

x^{2} - 3 x y - 14 y^{2}

Solution解き方

prime

英語のヒント

素数

Exercise 110問題 110

u^{2} - 8 u v - 24 v^{2}

Exercise 111問題 111

m^{2} - 5 m n + 30 n^{2}

Solution解き方

prime

英語のヒント

素数

Exercise 112問題 112

c^{2} - 7 c d + 18 d^{2}

Exercises 113–128練習問題 113–128

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

In the following exercises, factor each expression.

英語のヒント

以下の問題では、各式を因数分解せよ。

Exercise 113問題 113

u^{2} - 12 u + 36

Solution解き方

(u - 6) (u - 6)

Exercise 114問題 114

w^{2} + 4 w - 32

Exercise 115問題 115

x^{2} - 14 x - 32

Solution解き方

(x + 2) (x - 16)

Exercise 116問題 116

y^{2} + 41 y + 40

Exercise 117問題 117

r^{2} - 20 r s + 64 s^{2}

Solution解き方

(r - 4 s) (r - 16 s)

Exercise 118問題 118

x^{2} - 16 x y + 64 y^{2}

Exercise 119問題 119

k^{2} + 34 k + 120

Solution解き方

(k + 4) (k + 30)

Exercise 120問題 120

m^{2} + 29 m + 120

Exercise 121問題 121

y^{2} + 10 y + 15

Solution解き方

prime

英語のヒント

素数

Exercise 122問題 122

z^{2} - 3 z + 28

Exercise 123問題 123

m^{2} + m n - 56 n^{2}

Solution解き方

(m + 8 n) (m - 7 n)

Exercise 124問題 124

q^{2} - 29 q r - 96 r^{2}

Exercise 125問題 125

u^{2} - 17 u v + 30 v^{2}

Solution解き方

(u - 15 v) (u - 2 v)

Exercise 126問題 126

m^{2} - 31 m n + 30 n^{2}

Exercise 127問題 127

c^{2} - 8 c d + 26 d^{2}

Solution解き方

prime

英語のヒント

素数

Exercise 128問題 128

r^{2} + 11 r s + 36 s^{2}

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 129–130練習問題 129–130

Exercise 129問題 129

Consecutive integers Deirdre is thinking of two consecutive integers whose product is 56. The trinomial

x^{2} + x - 56

describes how these numbers are related. Factor the trinomial.

英語のヒント

連続する整数　ディアドラは、積が56になる連続する2つの整数を考えている。三項式

x^{2} + x - 56

は、その2つの数の関係を表す。この三項式を因数分解せよ。

Solution解き方

(x + 8) (x - 7)

Exercise 130問題 130

Consecutive integers Deshawn is thinking of two consecutive integers whose product is 182. The trinomial

x^{2} + x - 182

describes how these numbers are related. Factor the trinomial.

英語のヒント

連続する整数　デショーンは、積が182になる連続する2つの整数を考えている。三項式

x^{2} + x - 182

は、その2つの数の関係を表す。この三項式を因数分解せよ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 131–134練習問題 131–134

Exercise 131問題 131

Many trinomials of the form

x^{2} + b x + c

factor into the product of two binomials

(x + m) (x + n)

. Explain how you find the values of m and n.

英語のヒント

x^{2} + b x + c

の形の多くの三項式は、2つの二項式の積

(x + m) (x + n)

に因数分解できる。mとnの値をどのように求めるか説明せよ。

Solution解き方

Answers may vary

英語のヒント

解答はさまざまである。

Exercise 132問題 132

How do you determine whether to use plus or minus signs in the binomial factors of a trinomial of the form

x^{2} + b x + c

where

b

and

c

may be positive or negative numbers?

英語のヒント

x^{2} + b x + c

の形の三項式で、

b

と

c

が正でも負でもよいとき、二項式の因数にプラスとマイナスのどちらの符号を使うかをどう決めるか。

Exercise 133問題 133

Will factored

x^{2} - x - 20

(x + 5) (x - 4)

. Bill factored it as

(x + 4) (x - 5)

. Phil factored it as

(x - 5) (x - 4)

. Who is correct? Explain why the other two are wrong.

英語のヒント

ウィルは

x^{2} - x - 20

を

(x + 5) (x - 4)

と因数分解した。ビルは

(x + 4) (x - 5)

と、フィルは

(x - 5) (x - 4)

と因数分解した。正しいのは誰か。他の2人が間違っている理由を説明せよ。

Solution解き方

Answers may vary

英語のヒント

解答はさまざまである。

Exercise 134問題 134

Look at Example 7.19, where we factored

y^{2} + 17 y + 60

. We made a table listing all pairs of factors of 60 and their sums. Do you find this kind of table helpful? Why or why not?

英語のヒント

y^{2} + 17 y + 60

を因数分解した例7.19を見よう。そこでは60の因数の組と、その和をすべて挙げた表を作った。このような表は役に立つと思うか。その理由、または役に立たない理由を述べよ。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

表には、すべて「私は…できる」を付けて読む項目がある。最初は「x^2 + bx + cの形の三項式を因数分解する」、2番目は「x^2 + bxy + cy^2の形の三項式を因数分解する」である。その横の列には「自信を持って」「少し助けがあれば」「いいえ、理解できない！」という見出しがある。

ⓑ After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all goals?

英語のヒント

ⓑ このチェックリストを見直した後、すべての目標について自信を持つために何をするか。