第7章因数分解

7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping7.1　最大公約因子と、項をグループに分ける因数分解

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Find the greatest common factor of two or more expressions
英語のヒント
2つ以上の式の最大公約因子を求める
Factor the greatest common factor from a polynomial
英語のヒント
多項式から最大公約因子をくくり出す
Factor by grouping
英語のヒント
項をグループに分けて因数分解する

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Find the Greatest Common Factor of Two or More Expressions2つ以上の式の最大公約因子を求める

Earlier we multiplied factors together to get a product. Now, we will be reversing this process; we will start with a product and then break it down into its factors. Splitting a product into factors is called factoring.

英語のヒント

これまでは、因数どうしを掛けて積を求めた。今度はその手順を逆にし、積から始めて因数に分けていく。積を因数に分けることを、因数分解という。

2つの因数8と7を掛ける式がある。その横には、別の因数2xと(x+3)を掛ける式があり、積は2x^2+6xと示されている。図の上には「掛け算する」と書かれた右向きの矢印があり、下には「因数分解する」と書かれた左向きの矢印がある。

We have learned how to factor numbers to find the least common multiple (LCM) of two or more numbers. Now we will factor expressions and find the greatest common factor of two or more expressions. The method we use is similar to what we used to find the LCM.

英語のヒント

これまで、2つ以上の数の最小公倍数（LCM）を求めるために、数を因数分解する方法を学んだ。ここでは式を因数分解し、2つ以上の式の最大公約因子を求める。この方法は、最小公倍数を求めるときに使った方法と似ている。

First we’ll find the GCF of two numbers.

英語のヒント

まず、2つの数の最大公約数（GCF）を求める。

Example 7.1例題 7.1

How to Find the Greatest Common Factor of Two or More Expressions2つ以上の式の最大公約因子を求める方法

Find the GCF of 54 and 36.

英語のヒント

54と36の最大公約数を求めよ。

Solution解答

表は3列からなる。第1列には因数分解の手順がある。第1行は最初の手順で、各係数を素因数分解し、指数のある変数をすべて掛け算の形に展開するとある。第1行の第2列には「54と36を因数分解する」とあり、第3列には54と36を因数の木で分解したものがある。54の素因数3、3、2、3と、36の素因数2、3、2、3が丸で囲まれている。

第2行には2番目の手順「各列の共通因子を丸で囲む」がある。その第2列には「両方の数に共通する2、3、3を丸で囲む」とある。第3列では36と54の素因数が上下に並べられ、共通因子2、3、3が丸で囲まれている。

第3行には「すべての式に共通する因子を下に書き出す」という手順がある。その第2列には「2、3、3を下に書き出して掛ける」、第3列には「GCF = 2 × 3 × 3」とある。

第4行には4番目の手順「因数を掛ける」がある。その第2列は空欄で、第3列には「GCF = 18」と「54と36の最大公約数は18である」とある。

Notice that, because the GCF is a factor of both numbers, 54 and 36 can be written as multiples of 18.

英語のヒント

最大公約数は両方の数の約数なので、54と36を18の倍数として書けることに注目しよう。

\begin{matrix} 54 = 18 \cdot 3 \\ 36 = 18 \cdot 2 \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

We summarize the steps we use to find the GCF below.

英語のヒント

最大公約因子を求める手順を、以下にまとめる。

In the first example, the GCF was a constant. In the next two examples, we will get variables in the greatest common factor.

英語のヒント

最初の例では、最大公約因子は定数だった。次の2つの例では、最大公約因子に変数が含まれる。

Example 7.2例題 7.2

Find the greatest common factor of

27 x^{3} and 18 x^{4}

英語のヒント

27 x^{3} および 18 x^{4}

の最大公約因子を求めよ。

Solution解答

Factor each coefficient into primes and write the variables with exponents in expanded form. Circle the common factors in each column. 各係数を素因数分解し、指数のある変数は掛け算の形に展開する。各列の共通因子を丸で囲む。
Bring down the common factors. 共通因子を下に書き出す。
Multiply the factors. 因数どうしを掛ける。
	The GCF of $27 x^{3}$ and $18 x^{4}$ is $9 x^{3} .$ $27 x^{3}$ と $18 x^{4}$ の最大公約因子は $9 x^{3}$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.3例題 7.3

Find the GCF of

4 x^{2} y, 6 x y^{3}

英語のヒント

4 x^{2} y, 6 x y^{3}

の最大公約因子を求めよ。

Solution解答

Factor each coefficient into primes and write the variables with exponents in expanded form. Circle the common factors in each column. 各係数を素因数分解し、指数のある変数は掛け算の形に展開する。各列の共通因子を丸で囲む。
Bring down the common factors. 共通因子を下に書き出す。
Multiply the factors. 因数どうしを掛ける。
	The GCF of $4 x^{2} y$ and $6 x y^{3}$ is $2 xy$ . $4 x^{2} y$ と $6 x y^{3}$ の最大公約因子は $2 xy$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.4例題 7.4

Find the GCF of:

21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x

英語のヒント

次の最大公約因子を求めよ：

21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x

。

Solution解答

Factor each coefficient into primes and write the variables with exponents in expanded form. Circle the common factors in each column. 各係数を素因数分解し、指数のある変数は掛け算の形に展開する。各列の共通因子を丸で囲む。
Bring down the common factors. 共通因子を下に書き出す。
Multiply the factors. 因数どうしを掛ける。
	The GCF of $21 x^{3}$ , $9 x^{2}$ and $15 x$ is $3 x .$ $21 x^{3}$ 、 $9 x^{2}$ 、 $15 x$ の最大公約因子は $3 x$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial多項式から最大公約因子をくくり出す

Just like in arithmetic, where it is sometimes useful to represent a number in factored form (for example, 12 as

2 \cdot 6 or 3 \cdot 4),

in algebra, it can be useful to represent a polynomial in factored form. One way to do this is by finding the GCF of all the terms. Remember, we multiply a polynomial by a monomial as follows:

英語のヒント

算数で数を因数の積の形に表すと便利な場合があるのと同様に（例えば、12を

2 \cdot 6 または 3 \cdot 4)

、代数でも多項式を因数分解した形に表すと便利な場合がある。その方法の1つは、すべての項の最大公約因子を求めることである。多項式に単項式を掛ける方法を思い出そう。

\begin{matrix} 2 (x + 7) & factors \\ 2 \cdot x + 2 \cdot 7 \\ 2 x + 14 & product \end{matrix}

\begin{matrix} 2 (x + 7) & 因子 \\ 2 \cdot x + 2 \cdot 7 \\ 2 x + 14 & 積 \end{matrix}

Now we will start with a product, like

2 x + 14

, and end with its factors,

2 (x + 7)

. To do this we apply the Distributive Property “in reverse.”

英語のヒント

今度は、

2 x + 14

のような積から始めて、因数の積

2 (x + 7)

を得る。このために、分配法則を「逆向き」に使う。

We state the Distributive Property here just as you saw it in earlier chapters and “in reverse.”

英語のヒント

前の章で見た分配法則と、それを「逆向き」にしたものを示す。

So how do you use the Distributive Property to factor a polynomial? You just find the GCF of all the terms and write the polynomial as a product!

英語のヒント

それでは、分配法則を使って多項式を因数分解するにはどうすればよいだろうか。すべての項の最大公約因子を求め、多項式を積の形で書くだけでよい。

Example 7.5例題 7.5

How to Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial多項式から最大公約因子をくくり出す方法

Factor:

4 x + 12

英語のヒント

因数分解せよ：

4 x + 12

。

Solution解答

表は3列からなる。第1列には因数分解の手順がある。第1行の最初の手順は「多項式のすべての項の最大公約因子を求める」である。その第2列には「4xと12の最大公約因子を求める」とある。第3列では4xが2 × 2 × xに、その下で18が2 × 2 × 3に因数分解されている。さらにその下に「GCF = 2 × 2」「GCF = 4」とある。

第2行には2番目の手順「最大公約因子を使って各項を積に書き直す」がある。その第2列には「4xと12を、最大公約因子4を含む積に書き直す」とあり、その後に4x = 4 × x、12 = 4 × 3の2つの式がある。第3列には4x + 12と、その下に4 × x + 4 × 3がある。

第3行には「分配法則を逆向きに使って式を因数分解する」という手順がある。その第2列は空欄で、第3列には4(x + 3)がある。

第4行には4番目の手順「因数を掛けて確認する」がある。その第2列は空欄で、第3列には3つの式がある。順に4(x + 3)、4 × x + 4 × 3、4x + 12である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.6例題 7.6

Factor:

5 a + 5

英語のヒント

因数分解せよ：

5 a + 5

。

Solution解答

Find the GCF of 5a and 5. 5aと5の最大公約因子を求める。

Rewrite each term as a product using the GCF. 最大公約因子を使った積の形に、各項を書き直す。
Use the Distributive Property "in reverse" to factor the GCF. 分配法則を「逆向き」に使って最大公約因子をくくり出す。
Check by mulitplying the factors to get the orginal polynomial. 因数を掛け、元の多項式になることを確認する。
$5 (a + 1)$
$5 \cdot a + 5 \cdot 1$
$5 a + 5 ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

The expressions in the next example have several factors in common. Remember to write the GCF as the product of all the common factors.

英語のヒント

次の例の式には、共通の因数がいくつもある。共通するすべての因数の積として最大公約因子を書くことを忘れないようにしよう。

Example 7.7例題 7.7

Factor:

12 x - 60

英語のヒント

因数分解せよ：

12 x - 60

。

Solution解答

Find the GCF of 12x and 60. 12xと60の最大公約因子を求める。

Rewrite each term as a product using the GCF. 最大公約因子を使った積の形に、各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Check by mulitplying the factors. 因数を掛けて確認する。
$12 (x - 5)$
$12 \cdot x - 12 \cdot 5$
$12 x - 60 ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

Now we’ll factor the greatest common factor from a trinomial. We start by finding the GCF of all three terms.

英語のヒント

次は、三項式から最大公約因子をくくり出す。まず、3つの項すべての最大公約因子を求める。

Example 7.8例題 7.8

Factor:

4 y^{2} + 24 y + 28

英語のヒント

因数分解せよ：

4 y^{2} + 24 y + 28

。

Solution解答

We start by finding the GCF of all three terms.

英語のヒント

まず、3つすべての項の最大公約因子を求める。

Find the GCF of $4 y^{2}$ , $24 y$ and 28. $4 y^{2}$ 、 $24 y$ 、28の最大公約因子を求める。

Rewrite each term as a product using the GCF. 最大公約因子を使った積の形に、各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Check by mulitplying. 掛け算して確認する。
$4 (y^{2} + 6 y + 7)$
$4 \cdot y^{2} + 4 \cdot 6 y + 4 \cdot 7$
$4 y^{2} + 24 y + 28 ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.9例題 7.9

Factor:

5 x^{3} - 25 x^{2}

英語のヒント

因数分解せよ：

5 x^{3} - 25 x^{2}

。

Solution解答

Find the GCF of $5 x^{3}$ and $25 x^{2} .$ $5 x^{3}$ と $25 x^{2}$ の最大公約因子を求める。

Rewrite each term. 各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Check. 確かめる。
$5 x^{2} (x - 5)$
$5 x^{2} \cdot x - 5 x^{2} \cdot 5$
$5 x^{3} - 25 x^{2} ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.10例題 7.10

Factor:

21 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x

英語のヒント

因数分解せよ：

21 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x

。

Solution解答

In a previous example we found the GCF of

21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x

to be

3 x

英語のヒント

前の例で、

21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x

の最大公約因子は

3 x

だとわかった。


Rewrite each term using the GCF, 3x. 最大公約因子3xを使って各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Check. 確かめる。
$3 x (7 x^{2} - 3 x + 5)$
$3 x \cdot 7 x^{2} - 3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot 5$
$21 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.11例題 7.11

Factor:

8 m^{3} - 12 m^{2} n + 20 m n^{2}

英語のヒント

因数分解せよ：

8 m^{3} - 12 m^{2} n + 20 m n^{2}

。

Solution解答

Find the GCF of $8 m^{3}$ , $12 m^{2} n$ , $20 m n^{2}$ . $8 m^{3}$ 、 $12 m^{2} n$ 、 $20 m n^{2}$ の最大公約因子を求める。

Rewrite each term. 各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Check. 確かめる。
$4 m (2 m^{2} - 3 m n + 5 n^{2})$
$4 m \cdot 2 m^{2} - 4 m \cdot 3 m n + 4 m \cdot 5 n^{2}$
$8 m^{3} - 12 m^{2} n + 20 m n^{2} ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

When the leading coefficient is negative, we factor the negative out as part of the GCF.

英語のヒント

最高次の係数が負のときは、負の符号も最大公約因子の一部としてくくり出す。

Example 7.12例題 7.12

Factor:

−8 y - 24

英語のヒント

因数分解せよ：

−8 y - 24

。

Solution解答

When the leading coefficient is negative, the GCF will be negative.

英語のヒント

最高次の係数が負のときは、最大公約因子も負にする。

Ignoring the signs of the terms, we first find the GCF of 8y and 24 is 8. Since the expression −8y − 24 has a negative leading coefficient, we use −8 as the GCF. 項の符号を無視して、まず8yと24の最大公約因子が8であることを求める。式−8y − 24は最高次の係数が負なので、−8を最大公約因子として使う。
Rewrite each term using the GCF. 最大公約因子を使って、各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Check. 確かめる。
$−8 (y + 3)$
$−8 \cdot y + (−8) \cdot 3$
$−8 y - 24 ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.13例題 7.13

Factor:

−6 a^{2} + 36 a

英語のヒント

因数分解せよ：

−6 a^{2} + 36 a

。

Solution解答

The leading coefficient is negative, so the GCF will be negative?

英語のヒント

最高次の係数が負なので、最大公約因子も負になるだろうか。

Since the leading coefficient is negative, the GCF is negative, −6a. 最高次の係数が負なので、最大公約因子は負の−6aである。
Rewrite each term using the GCF. 最大公約因子を使って、各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Check. 確かめる。
$−6 a (a - 6)$
$−6 a \cdot a + (−6 a) (−6)$
$−6 a^{2} + 36 a ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.14例題 7.14

Factor:

5 q (q + 7) - 6 (q + 7)

英語のヒント

因数分解せよ：

5 q (q + 7) - 6 (q + 7)

。

Solution解答

The GCF is the binomial

q + 7

英語のヒント

最大公約因子は二項式

q + 7

である。


Factor the GCF, (q + 7). 最大公約因子(q + 7)をくくり出す。
Check on your own by multiplying. 各自で掛け算をして確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

第7章因数分解

7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping7.1 最大公約因子と、項をグループに分ける因数分解

Learning Objectives学習目標

Find the Greatest Common Factor of Two or More Expressions2つ以上の式の最大公約因子を求める

How to Find the Greatest Common Factor of Two or More Expressions2つ以上の式の最大公約因子を求める方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial多項式から最大公約因子をくくり出す

How to Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial多項式から最大公約因子をくくり出す方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping7.1　最大公約因子と、項をグループに分ける因数分解