第7章因数分解

Factor by Grouping項をグループに分けて因数分解する

When there is no common factor of all the terms of a polynomial, look for a common factor in just some of the terms. When there are four terms, a good way to start is by separating the polynomial into two parts with two terms in each part. Then look for the GCF in each part. If the polynomial can be factored, you will find a common factor emerges from both parts.

英語のヒント

多項式のすべての項に共通する因子がない場合は、一部の項だけに共通する因子を探す。4つの項があるときは、多項式を2項ずつの2つの部分に分けるとよい。次に、それぞれの部分の最大公約因子を探す。多項式を因数分解できるなら、両方の部分から共通因子が現れる。

(Not all polynomials can be factored. Just like some numbers are prime, some polynomials are prime.)

英語のヒント

（すべての多項式を因数分解できるわけではない。素数があるのと同じように、多項式にも既約なものがある。）

Example 7.15例題 7.15

How to Factor by Grouping項をグループに分けて因数分解する方法

Factor:

x y + 3 y + 2 x + 6

英語のヒント

因数分解せよ：

x y + 3 y + 2 x + 6

。

Solution解答

xy + 3y + 2x + 6を因数分解する手順を示す表である。第1行には「共通因子を持つ項をグループに分ける」とある。次の列には、4つすべての項の共通因子はないとある。最後の列では、最初の2項と最後の2項がそれぞれグループに分けられている。

第2行には「各グループから共通因子をくくり出す」とある。その第2列は、2つの別々のグループから最大公約因子をくくり出すよう指示している。第3列にはy(x + 3) + 2(x + 3)という式がある。

第3行には「式から共通因子をくくり出す」とある。その第2列では、共通因子(x + 3)があることを指摘している。第3列では、2つのグループから(x + 3)をくくり出し、(x + 3) × (y + 2)としている。

最後の行には「確認する」とある。その第2列には(x + 3)(y + 2)を掛けるとある。最後の列には、その積として元の多項式xy + 3y + 2x + 6が示されている。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.16例題 7.16

Factor:

x^{2} + 3 x - 2 x - 6

英語のヒント

因数分解せよ：

x^{2} + 3 x - 2 x - 6

。

Solution解答

\begin{matrix} There is no GCF in all four terms. & x^{2} + 3 x −2 x - 6 \\ Separate into two parts. & \underset{⎵}{x^{2} + 3 x} \underset{⎵}{−2 x - 6} \\ \begin{matrix} Factor the GCF from both parts. Be careful \\ with the signs when factoring the GCF from \\ the last two terms. \end{matrix} & \begin{matrix} x (x + 3) - 2 (x + 3) \\ (x + 3) (x - 2) \end{matrix} \\ Check on your own by multiplying. \end{matrix}

\begin{matrix} 4項すべてに共通する最大公約因子はない。 & x^{2} + 3 x −2 x - 6 \\ 二つの部分に分ける。 & \underset{⎵}{x^{2} + 3 x} \underset{⎵}{−2 x - 6} \\ \begin{matrix} 両方の部分から最大公約因子をくくり出す。 \\ 後ろの2項から最大公約因子をくくり出すときは、 \\ 符号に注意する。 \end{matrix} & \begin{matrix} x (x + 3) - 2 (x + 3) \\ (x + 3) (x - 2) \end{matrix} \\ 自分で掛け算をして確かめる。 \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Finding the Greatest Common Factor (GCF): To find the GCF of two expressions:
英語のヒント
最大公約因子（GCF）を求める：2つの式の最大公約因子を求めるには：
1. Factor each coefficient into primes. Write all variables with exponents in expanded form.
  英語のヒント
  各係数を素因数分解する。指数の付いた変数は、すべて繰り返しの積に書き直す。
2. List all factors—matching common factors in a column. In each column, circle the common factors.
  英語のヒント
  すべての因数を並べ、共通の因数を同じ列にそろえる。各列で、共通の因数を丸で囲む。
3. Bring down the common factors that all expressions share.
  英語のヒント
  すべての式に共通する因数を下に書き出す。
4. Multiply the factors as in Example 7.2.
  英語のヒント
  例7.2のように、因子を掛ける。
Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial: To factor a greatest common factor from a polynomial:
英語のヒント
多項式から最大公約因子をくくり出す：多項式から最大公約因子をくくり出すには：
1. Find the GCF of all the terms of the polynomial.
  英語のヒント
  多項式のすべての項の最大公約因子を求める。
2. Rewrite each term as a product using the GCF.
  英語のヒント
  最大公約因子を使った積の形に、各項を書き直す。
3. Use the ‘reverse’ Distributive Property to factor the expression.
  英語のヒント
  分配法則を「逆向き」に使って式を因数分解する。
4. Check by multiplying the factors as in Example 7.5.
  英語のヒント
  例7.5のように、因子を掛けて確認する。
Factor by Grouping: To factor a polynomial with 4 four or more terms
英語のヒント
項をグループに分ける因数分解：4項以上の多項式を因数分解するには：
1. Group terms with common factors.
  英語のヒント
  共通因子を持つ項をグループに分ける。
2. Factor out the common factor in each group.
  英語のヒント
  各グループの共通因子をくくり出す。
3. Factor the common factor from the expression.
  英語のヒント
  式から共通因子をくくり出す。
4. Check by multiplying the factors as in Example 7.15.
  英語のヒント
  例7.15のように、因子を掛けて確認する。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–18練習問題 1–18

Find the Greatest Common Factor of Two or More Expressions

英語のヒント

2つ以上の式の最大公約因子を求める

In the following exercises, find the greatest common factor.

英語のヒント

次の練習問題では、最大公約因子を求める。

Exercise 1問題 1

8, 18

Solution解き方

Exercise 2問題 2

24, 40

Exercise 3問題 3

72, 162

Solution解き方

Exercise 4問題 4

150, 275

Exercise 5問題 5

10a, 50

10a、50

Solution解き方

Exercise 6問題 6

5b, 30

5b、30

Exercise 7問題 7

3 x, 10 x^{2}

Solution解き方

x

Exercise 8問題 8

21 b^{2}, 14 b

Exercise 9問題 9

8 w^{2}, 24 w^{3}

Solution解き方

8 w^{2}

Exercise 10問題 10

30 x^{2}, 18 x^{3}

Exercise 11問題 11

10 p^{3} q, 12 p q^{2}

Solution解き方

2 p q

Exercise 12問題 12

8 a^{2} b^{3}, 10 a b^{2}

Exercise 13問題 13

12 m^{2} n^{3}, 30 m^{5} n^{3}

Solution解き方

6 m^{2} n^{3}

Exercise 14問題 14

28 x^{2} y^{4}, 42 x^{4} y^{4}

Exercise 15問題 15

10 a^{3}, 12 a^{2}, 14 a

Solution解き方

2 a

Exercise 16問題 16

20 y^{3}, 28 y^{2}, 40 y

Exercise 17問題 17

35 x^{3}, 10 x^{4}, 5 x^{5}

Solution解き方

5 x^{3}

Exercise 18問題 18

27 p^{2}, 45 p^{3}, 9 p^{4}

Exercises 19–44練習問題 19–44

Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial

英語のヒント

多項式から最大公約因子をくくり出す

In the following exercises, factor the greatest common factor from each polynomial.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの多項式から最大公約因子をくくり出す。

Exercise 19問題 19

4 x + 20

Solution解き方

4 (x + 5)

Exercise 20問題 20

8 y + 16

Exercise 21問題 21

6 m + 9

Solution解き方

3 (2 m + 3)

Exercise 22問題 22

14 p + 35

Exercise 23問題 23

9 q + 9

Solution解き方

9 (q + 1)

Exercise 24問題 24

7 r + 7

Exercise 25問題 25

8 m - 8

Solution解き方

8 (m - 1)

Exercise 26問題 26

4 n - 4

Exercise 27問題 27

9 n - 63

Solution解き方

9 (n - 7)

Exercise 28問題 28

45 b - 18

Exercise 29問題 29

3 x^{2} + 6 x - 9

Solution解き方

3 (x^{2} + 2 x - 3)

Exercise 30問題 30

4 y^{2} + 8 y - 4

Exercise 31問題 31

8 p^{2} + 4 p + 2

Solution解き方

2 (4 p^{2} + 2 p + 1)

Exercise 32問題 32

10 q^{2} + 14 q + 20

Exercise 33問題 33

8 y^{3} + 16 y^{2}

Solution解き方

8 y^{2} (y + 2)

Exercise 34問題 34

12 x^{3} - 10 x

Exercise 35問題 35

5 x^{3} - 15 x^{2} + 20 x

Solution解き方

5 x (x^{2} - 3 x + 4)

Exercise 36問題 36

8 m^{2} - 40 m + 16

Exercise 37問題 37

12 x y^{2} + 18 x^{2} y^{2} - 30 y^{3}

Solution解き方

6 y^{2} (2 x + 3 x^{2} - 5 y)

Exercise 38問題 38

21 p q^{2} + 35 p^{2} q^{2} - 28 q^{3}

Exercise 39問題 39

−2 x - 4

Solution解き方

−2 (x + 2)

Exercise 40問題 40

−3 b + 12

Exercise 41問題 41

5 x (x + 1) + 3 (x + 1)

Solution解き方

(x + 1) (5 x + 3)

Exercise 42問題 42

2 x (x - 1) + 9 (x - 1)

Exercise 43問題 43

3 b (b - 2) - 13 (b - 2)

Solution解き方

(b - 2) (3 b - 13)

Exercise 44問題 44

6 m (m - 5) - 7 (m - 5)

Exercises 45–52練習問題 45–52

Factor by Grouping

英語のヒント

項をグループに分けて因数分解する

In the following exercises, factor by grouping.

英語のヒント

以下の問題では、項をグループに分けて因数分解せよ。

Exercise 45問題 45

x y + 2 y + 3 x + 6

Solution解き方

(y + 3) (x + 2)

Exercise 46問題 46

m n + 4 n + 6 m + 24

Exercise 47問題 47

u v - 9 u + 2 v - 18

Solution解き方

(u + 2) (v - 9)

Exercise 48問題 48

p q - 10 p + 8 q - 80

Exercise 49問題 49

b^{2} + 5 b - 4 b - 20

Solution解き方

(b - 4) (b + 5)

Exercise 50問題 50

m^{2} + 6 m - 12 m - 72

Exercise 51問題 51

p^{2} + 4 p - 9 p - 36

Solution解き方

(p - 9) (p + 4)

Exercise 52問題 52

x^{2} + 5 x - 3 x - 15

Exercises 53–58練習問題 53–58

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 53問題 53

−20 x - 10

Solution解き方

−10 (2 x + 1)

Exercise 54問題 54

5 x^{3} - x^{2} + x

Exercise 55問題 55

3 x^{3} - 7 x^{2} + 6 x - 14

Solution解き方

(x^{2} + 2) (3 x - 7)

Exercise 56問題 56

x^{3} + x^{2} - x - 1

Exercise 57問題 57

x^{2} + x y + 5 x + 5 y

Solution解き方

(x + y) (x + 5)

Exercise 58問題 58

5 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 3

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 59–60練習問題 59–60

Exercise 59問題 59

Area of a rectangle The area of a rectangle with length 6 less than the width is given by the expression

w^{2} - 6 w

, where

w =

width. Factor the greatest common factor from the polynomial.

英語のヒント

長方形の面積　縦の長さが横の長さより6短い長方形の面積は、

w^{2} - 6 w

という式で表される。ここで、

w =

横の長さである。この多項式から最大公約因子をくくり出せ。

Solution解き方

w (w - 6)

Exercise 60問題 60

Height of a baseball The height of a baseball t seconds after it is hit is given by the expression

−16 t^{2} + 80 t + 4

. Factor the greatest common factor from the polynomial.

英語のヒント

野球のボールの高さ　打たれてからt秒後の野球のボールの高さは、

−16 t^{2} + 80 t + 4

という式で表される。この多項式から最大公約因子をくくり出せ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 61–62練習問題 61–62

Exercise 61問題 61

The greatest common factor of 36 and 60 is 12. Explain what this means.

英語のヒント

36と60の最大公約数は12である。これはどういう意味か説明せよ。

Solution解き方

Answers will vary.

英語のヒント

解答は一通りではない。

Exercise 62問題 62

What is the GCF of

y^{4}, y^{5}, and y^{10}

? Write a general rule that tells you how to find the GCF of

y^{a}, y^{b}, and y^{c}

英語のヒント

y^{4}, y^{5}, および y^{10}

の最大公約因子は何か。

y^{a}, y^{b}, および y^{c}

の最大公約因子を求める一般的な規則を書け。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

表には、すべて「私は…できる」を付けて読む項目がある。順に「2つ以上の式の最大公約因子を求める」「多項式から最大公約因子をくくり出す」「項をグループに分けて因数分解する」である。その横の列には「自信を持って」「少し助けがあれば」「いいえ、理解できない！」という見出しがある。

ⓑ If most of your checks were:

英語のヒント

ⓑ チェックの大部分が次の項目に付いた場合：

…confidently. Congratulations! You have achieved your goals in this section! Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific!

英語のヒント

…自信を持って。おめでとう。この節の目標を達成した。これからも使えるように、今回使った学習方法を振り返ろう。これらのことができると自信を持てるようになるために、何をしただろうか。具体的に挙げよう。

…with some help. This must be addressed quickly as topics you do not master become potholes in your road to success. Math is sequential—every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Whom can you ask for help? Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?

英語のヒント

…少し助けがあれば。身に付いていない内容は成功への道の障害になるので、すぐに対処する必要がある。数学には順序があり、どの内容もそれまでの学習の上に成り立つ。先へ進む前に、確かな基礎ができているかを確かめることが大切である。誰に助けを求められるだろうか。同じ授業を受ける仲間や教員は、よい相談相手である。学内に数学の学習を支援してくれる場所はあるだろうか。学習方法を改善できるだろうか。

…no - I don’t get it! This is critical and you must not ignore it. You need to get help immediately or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as possible to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.

英語のヒント

…いいえ、理解できない！　これは重大なことで、放置してはいけない。すぐに助けを得ないと、たちまち手に負えなくなる。できるだけ早く教員に会い、状況を相談しよう。一緒に、必要な支援を受ける計画を立てられる。

factoring

因数分解

Factoring is splitting a product into factors; in other words, it is the reverse process of multiplying.

英語のヒント

因数分解とは、積を因数に分けることである。つまり、掛け算の逆の過程である。

greatest common factor

最大公約因子

The greatest common factor is the largest expression that is a factor of two or more expressions is the greatest common factor (GCF).

英語のヒント

最大公約因子（GCF）とは、2つ以上の式の因子である式のうち、最大のものである。