第7章因数分解

7.6 Quadratic Equations7.6　二次方程式

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve quadratic equations by using the Zero Product Property
英語のヒント
積が0になる性質を使って二次方程式を解く
Solve quadratic equations factoring
英語のヒント
因数分解によって二次方程式を解く
Solve applications modeled by quadratic equations
英語のヒント
二次方程式でモデル化される応用問題を解く

Before You Begin (4)準備問題（4題）

We have already solved linear equations, equations of the form

a x + b y = c

. In linear equations, the variables have no exponents. Quadratic equations are equations in which the variable is squared. Listed below are some examples of quadratic equations:

英語のヒント

これまでに、

a x + b y = c

の形の一次方程式を解いた。一次方程式では、変数に指数が付いていない。二次方程式は、変数が2乗されている方程式である。以下に、二次方程式の例をいくつか示す：

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 = 0 & 3 y^{2} + 4 y = 10 & 64 u^{2} - 81 = 0 & n (n + 1) = 42 \end{matrix}

The last equation doesn’t appear to have the variable squared, but when we simplify the expression on the left we will get

n^{2} + n

英語のヒント

最後の方程式には変数の2乗がないように見えるが、左辺の式を簡単にすると

n^{2} + n

になる。

The general form of a quadratic equation is

a x^{2} + b x + c = 0, with a \neq 0

英語のヒント

二次方程式の一般形は

a x^{2} + b x + c = 0, ただし、 a \neq 0

である。

To solve quadratic equations we need methods different than the ones we used in solving linear equations. We will look at one method here and then several others in a later chapter.

英語のヒント

二次方程式を解くには、一次方程式を解いたときとは異なる方法が必要である。ここでは1つの方法を取り上げ、後の章でさらにいくつかの方法を学ぶ。

Solve Quadratic Equations Using the Zero Product Property積が0になる性質を使って二次方程式を解く

We will first solve some quadratic equations by using the Zero Product Property. The Zero Product Property says that if the product of two quantities is zero, it must be that at least one of the quantities is zero. The only way to get a product equal to zero is to multiply by zero itself.

英語のヒント

まず、積が0になる性質を使って二次方程式をいくつか解く。この性質は、2つの量の積が0なら、そのうち少なくとも一方が0でなければならないというものである。積を0にする唯一の方法は、0そのものを掛けることである。

We will now use the Zero Product Property, to solve a quadratic equation.

英語のヒント

では、積が0になる性質を使って二次方程式を解こう。

Example 7.69例題 7.69

How to Use the Zero Product Property to Solve a Quadratic Equation積が0になる性質を使って二次方程式を解く方法

Solve:

(x + 1) (x - 4) = 0

英語のヒント

解け：

(x + 1) (x - 4) = 0

。

Solution解答

(x + 1)(x − 4) = 0を解く手順を示す表である。最初の手順は、各因数を0とおくことである。積が0なので、少なくとも1つの因数は0でなければならない。x + 1 = 0またはx − 4 = 0となる。

Try It (2)確認問題（2題）

We usually will do a little more work than we did in this last example to solve the linear equations that result from using the Zero Product Property.

英語のヒント

積が0になる性質を使って得られる一次方程式を解くには、通常、先ほどの例よりも少し多くの計算が必要になる。

Example 7.70例題 7.70

Solve:

(5 n - 2) (6 n - 1) = 0

英語のヒント

解け：

(5 n - 2) (6 n - 1) = 0

。

Solution解答

	$(5 n - 2) (6 n - 1) = 0$
Use the Zero Product Property to set each factor to 0. 積が0になる性質を使い、各因数を0とおく。	$5 n - 2 = 0$	$6 n - 1 = 0$
Solve the equations. 方程式を解く。	$n = \frac{2}{5}$	$n = \frac{1}{6}$
Check your answers. 答えを確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Notice when we checked the solutions that each of them made just one factor equal to zero. But the product was zero for both solutions.

英語のヒント

解を確認したとき、それぞれの解は因数のうち1つだけを0にしたことに注目しよう。しかし、どちらの解でも積は0になった。

Example 7.71例題 7.71

Solve:

3 p (10 p + 7) = 0

英語のヒント

解け：

3 p (10 p + 7) = 0

。

Solution解答

	$3 p (10 p + 7) = 0$
Use the Zero Product Property to set each factor to 0. 積が0になる性質を使い、各因数を0とおく。	$3 p = 0$	$10 p + 7 = 0$
Solve the equations. 方程式を解く。	$p = 0$	$10 p = −7$
		$p = - \frac{7}{10}$
Check your answers. 答えを確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

It may appear that there is only one factor in the next example. Remember, however, that

{(y - 8)}^{2}

means

(y - 8) (y - 8)

英語のヒント

次の例では、因数が1つしかないように見えるかもしれない。しかし、

{(y - 8)}^{2}

は

(y - 8) (y - 8)

を意味することを思い出そう。

Example 7.72例題 7.72

Solve:

{(y - 8)}^{2} = 0

英語のヒント

解け：

{(y - 8)}^{2} = 0

。

Solution解答

	${(y - 8)}^{2} = 0$
Rewrite the left side as a product. 左辺を積の形に書き直す。	$(y - 8) (y - 8) = 0$
Use the Zero Product Property and set each factor to 0. 積が0になる性質を使い、各因数を0とおく。	$y - 8 = 0$	$y - 8 = 0$
Solve the equations. 方程式を解く。	$y = 8$	$y = 8$
When a solution repeats, we call it a double root. 同じ解が繰り返されるとき、その解を重解という。
Check your answer. 答えを確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve Quadratic Equations by Factoring因数分解によって二次方程式を解く

Each of the equations we have solved in this section so far had one side in factored form. In order to use the Zero Product Property, the quadratic equation must be factored, with zero on one side. So we must be sure to start with the quadratic equation in standard form,

a x^{2} + b x + c = 0

. Then we can factor the expression on the left.

英語のヒント

この節でこれまでに解いた方程式は、すべて一方の辺が因数分解された形になっていた。積が0になる性質を使うには、二次方程式が因数分解され、一方の辺が0になっていなければならない。したがって、最初に二次方程式を標準形

a x^{2} + b x + c = 0

にしておく必要がある。それから左辺の式を因数分解できる。

Example 7.73例題 7.73

How to Solve a Quadratic Equation by Factoring因数分解によって二次方程式を解く方法

Solve:

x^{2} + 2 x - 8 = 0

英語のヒント

解け：

x^{2} + 2 x - 8 = 0

。

Solution解答

方程式x^2 + 2x − 8 = 0を解く手順を示す表である。最初の手順は、方程式を二次方程式の標準形にすることだが、この式はすでにその形になっている。

2番目の手順は、二次式x^2 + 2x − 8を因数分解することである。因数は(x + 4)、(x − 2)である。

Try It (2)確認問題（2題）

Before we factor, we must make sure the quadratic equation is in standard form.

英語のヒント

因数分解する前に、二次方程式が標準形であることを確かめなければならない。

Example 7.74例題 7.74

Solve:

2 y^{2} = 13 y + 45

英語のヒント

解け：

2 y^{2} = 13 y + 45

。

Solution解答

	$2 y^{2} = 13 y + 45$
Write the quadratic equation in standard form. 二次方程式を標準形で書く。	$2 y^{2} - 13 y - 45 = 0$
Factor the quadratic expression. 二次式を因数分解する。	$(2 y + 5) (y - 9) = 0$
Use the Zero Product Property to set each factor to 0. 積が0になる性質を使い、各因数を0とおく。	$2 y + 5 = 0$	$y - 9 = 0$
Solve each equation. それぞれの方程式を解く。	$y = - \frac{5}{2}$	$y = 9$
Check your answers. 答えを確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.75例題 7.75

Solve:

5 x^{2} - 13 x = 7 x

英語のヒント

解け：

5 x^{2} - 13 x = 7 x

。

Solution解答

	$5 x^{2} - 13 x = 7 x$
Write the quadratic equation in standard form. 二次方程式を標準形で書く。	$5 x^{2} - 20 x = 0$
Factor the left side of the equation. 方程式の左辺を因数分解する。	$5 x (x - 4) = 0$
Use the Zero Product Property to set each factor to 0. 積が0になる性質を使い、各因数を0とおく。	$5 x = 0$	$x - 4 = 0$
Solve each equation. それぞれの方程式を解く。	$x = 0$	$x = 4$
Check your answers. 答えを確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Solving quadratic equations by factoring will make use of all the factoring techniques you have learned in this chapter! Do you recognize the special product pattern in the next example?

英語のヒント

因数分解によって二次方程式を解く際には、この章で学んだ因数分解の技法をすべて活用する。次の例で、特別な積の形を見分けられるだろうか。

Example 7.76例題 7.76

Solve:

144 q^{2} = 25

英語のヒント

解け：

144 q^{2} = 25

。

Solution解答


Write the quadratic equation in standard form. 二次方程式を標準形で書く。
Factor. It is a difference of squares. 因数分解する。平方の差である。
Use the Zero Product Property to set each factor to 0. 積が0になる性質を使い、各因数を0とおく。	$\begin{matrix} 12 q - 5 = 0 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 12 q + 5 = 0 \end{matrix}$
Solve each equation. それぞれの方程式を解く。	$\begin{matrix} 12 q & = & 5 \\ q & = & \frac{5}{12} \end{matrix}$	$\begin{matrix} 12 q & = & –5 \\ q & = & - \frac{5}{12} \end{matrix}$
Check your answers. 答えを確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

The left side in the next example is factored, but the right side is not zero. In order to use the Zero Product Property, one side of the equation must be zero. We’ll multiply the factors and then write the equation in standard form.

英語のヒント

次の例では左辺が因数分解されているが、右辺は0ではない。積が0になる性質を使うには、方程式の一方の辺が0でなければならない。因数を掛け、方程式を標準形で書こう。

Example 7.77例題 7.77

Solve:

(3 x - 8) (x - 1) = 3 x

英語のヒント

解け：

(3 x - 8) (x - 1) = 3 x

。

Solution解答

	$\begin{matrix} (3 x - 8) (x - 1) & = & 3 x \end{matrix}$
Multiply the binomials. 二項式どうしを掛ける。	$\begin{matrix} 3 x^{2} - 11 x + 8 & = & 3 x \end{matrix}$
Write the quadratic equation in standard form. 二次方程式を標準形で書く。	$\begin{matrix} 3 x^{2} - 14 x + 8 & = & 0 \end{matrix}$
Factor the trinomial. 三項式を因数分解する。	$\begin{matrix} (3 x - 2) (x - 4) & = & 0 \end{matrix}$
Use the Zero Product Property to set each factor to 0. Solve each equation. 積が0になる性質を使い、各因数を0とおく。それぞれの方程式を解く。	$\begin{matrix} 3 x - 2 & = & 0 & x - 4 & = & 0 \\ 3 x & = & 2 & x & = & 4 \\ x & = & \frac{2}{3} \end{matrix}$
Check your answers. 答えを確かめる。	The check is left to you! 確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

The Zero Product Property also applies to the product of three or more factors. If the product is zero, at least one of the factors must be zero. We can solve some equations of degree more than two by using the Zero Product Property, just like we solved quadratic equations.

英語のヒント

積が0になる性質は、3つ以上の因数の積にも当てはまる。積が0なら、少なくとも1つの因数が0でなければならない。二次方程式を解いたのと同じように、この性質を使って、次数が2より大きい方程式もいくつか解くことができる。

Example 7.78例題 7.78

Solve:

9 m^{3} + 100 m = 60 m^{2}

英語のヒント

解け：

9 m^{3} + 100 m = 60 m^{2}

。

Solution解答


Bring all the terms to one side so that the other side is zero. 一方の辺が0になるように、すべての項をもう一方の辺に移す。
Factor the greatest common factor first. 最初に最大公約因子をくくり出す。
Factor the trinomial. 三項式を因数分解する。
Use the Zero Product Property to set each factor to 0. 積が0になる性質を使い、各因数を0とおく。
Solve each equation. それぞれの方程式を解く。
Check your answers. 答えを確かめる。	The check is left to you. 確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

When we factor the quadratic equation in the next example we will get three factors. However the first factor is a constant. We know that factor cannot equal 0.

英語のヒント

次の例で二次方程式を因数分解すると、3つの因数が得られる。ただし、最初の因数は定数である。この因数が0になることはないとわかる。

Example 7.79例題 7.79

Solve:

4 x^{2} = 16 x + 84

英語のヒント

解け：

4 x^{2} = 16 x + 84

。

Solution解答

	$\begin{matrix} 4 x^{2} & = & 16 x + 84 \end{matrix}$
Write the quadratic equation in standard form. 二次方程式を標準形で書く。	$\begin{matrix} 4 x^{2} - 16 x - 84 & = & 0 \end{matrix}$
Factor the greatest common factor first. 最初に最大公約因子をくくり出す。	$\begin{matrix} 4 (x^{2} - 4 x - 21) & = & 0 \end{matrix}$
Factor the trinomial. 三項式を因数分解する。	$\begin{matrix} 4 (x - 7) (x + 3) & = & 0 \end{matrix}$
Use the Zero Product Property to set each factor to 0. Solve each equation. 積が0になる性質を使い、各因数を0とおく。それぞれの方程式を解く。	$\begin{matrix} 4 & \neq & 0 & x - 7 & = & 0 & x + 3 & = & 0 \\ 4 & \neq & 0 & x & = & 7 & x & = & −3 \end{matrix}$
Check your answers. 答えを確かめる。	The check is left to you. 確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

第7章因数分解

7.6 Quadratic Equations7.6 二次方程式

Learning Objectives学習目標

Solve Quadratic Equations Using the Zero Product Property積が0になる性質を使って二次方程式を解く

How to Use the Zero Product Property to Solve a Quadratic Equation積が0になる性質を使って二次方程式を解く方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solve Quadratic Equations by Factoring因数分解によって二次方程式を解く

How to Solve a Quadratic Equation by Factoring因数分解によって二次方程式を解く方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

7.6 Quadratic Equations7.6　二次方程式