第7章因数分解

Solve Applications Modeled by Quadratic Equations二次方程式でモデル化される応用問題を解く

The problem solving strategy we used earlier for applications that translate to linear equations will work just as well for applications that translate to quadratic equations. We will copy the problem solving strategy here so we can use it for reference.

英語のヒント

前に、一次方程式に置き換えられる応用問題で使った問題解決の方針は、二次方程式に置き換えられる応用問題でも同じように使える。参照できるように、問題解決の方針をここに再掲する。

Use a problem-solving strategy to solve word problems.問題解決の方針を使って文章問題を解く。

Read the problem. Make sure all the words and ideas are understood.
英語のヒント
問題を読む。すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる。
Identify what we are looking for.
英語のヒント
何を求めるのかを明確にする。
Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
英語のヒント
求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。
Translate into an equation. It may be helpful to restate the problem in one sentence with all the important information. Then, translate the English sentence into an algebra equation.
英語のヒント
方程式に表す。重要な情報をすべて含む1文に言い直すと役立つことがある。その後、その文を方程式に表す。
Solve the equation using good algebra techniques.
英語のヒント
適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
英語のヒント
答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Answer the question with a complete sentence.
英語のヒント
完全な文で問いに答える。

We will start with a number problem to get practice translating words into a quadratic equation.

英語のヒント

言葉を二次方程式に置き換える練習として、数に関する問題から始める。

Example 7.80例題 7.80

The product of two consecutive integers is 132. Find the integers.

英語のヒント

連続する2つの整数の積は132である。その整数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明確にする。	We are looking for two consecutive integers. 求めるものは、連続する2つの整数である。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。	$\begin{matrix} Let n = the first integer \\ n + 1 = the next consecutive integer \end{matrix}$ $\begin{matrix} 次のように置く： n = 最初の整数 \\ n + 1 = その次の連続する整数 \end{matrix}$
Step 4. Translate into an equation. Restate the problem in a sentence. 手順4．方程式に置き換える。問題を1つの文で言い直す。	The product of the two consecutive integers is 132. 連続する2つの整数の積は132である。
	The first integer times the next integer is 132. 最初の整数と次の整数の積は132である。
Translate to an equation. 方程式で表す。	$\begin{matrix} n (n + 1) & = & 132 \end{matrix}$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$\begin{matrix} n^{2} + n & = & 132 \end{matrix}$
Bring all the terms to one side. すべての項を一方の辺に移す。	$\begin{matrix} n^{2} + n - 132 & = & 0 \end{matrix}$
Factor the trinomial. 三項式を因数分解する。	$\begin{matrix} (n - 11) (n + 12) & = & 0 \end{matrix}$
Use the zero product property. Solve the equations. 積が0になる性質を使う。方程式を解く。	$\begin{matrix} n - 11 & = & 0 & n + 12 & = & 0 \\ n & = & 11 & n & = & −12 \end{matrix}$
There are two values for $n$ that are solutions to this problem. So there are two sets of consecutive integers that will work. この問題の解になる $n$ の値は2つある。したがって、条件を満たす連続する整数の組も2つある。
$\begin{matrix} If the first integer is n = 11 & If the first integer is n = −12 \\ then the next integer is n + 1 & then the next integer is n + 1 \\ 11 + 1 & −12 + 1 \\ 12 & −11 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 最初の整数が次の場合： n = 11 & 最初の整数が次の場合： n = −12 \\ その次の整数は次となる： n + 1 & その次の整数は次となる： n + 1 \\ 11 + 1 & −12 + 1 \\ 12 & −11 \end{matrix}$
Step 6. Check the answer. 手順6．答えを確認する。
The consecutive integers are $11, 12$ and $−11, −12$ . The product $11 \cdot 12 = 132$ and the product $−11 (−12) = 132$ . Both pairs of consecutive integers are solutions. 連続する整数は $11, 12$ と $−11, −12$ である。積は $11 \cdot 12 = 132$ 、また $−11 (−12) = 132$ となる。連続する整数の両方の組が解である。
Step 7. Answer the question. The consecutive integers are $11, 12$ and $−11, −12$ . 手順7．問いに答える。連続する整数は $11, 12$ と $−11, −12$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Were you surprised by the pair of negative integers that is one of the solutions to the previous example? The product of the two positive integers and the product of the two negative integers both give 132.

英語のヒント

前の例の解の1つが負の整数の組であることに驚いただろうか。2つの正の整数の積も、2つの負の整数の積も、ともに132になる。

In some applications, negative solutions will result from the algebra, but will not be realistic for the situation.

英語のヒント

応用問題の中には、代数計算で負の解が得られても、その状況では現実的でない場合がある。

Example 7.81例題 7.81

A rectangular garden has an area

15

square feet. The length of the garden is two feet more than the width. Find the length and width of the garden.

英語のヒント

長方形の庭の面積は

15

平方フィートである。庭の縦の長さは横の長さより2フィート長い。庭の縦と横の長さを求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. In problems involving geometric figures, a sketch can help you visualize the situation. 手順1．問題を読む。図形を扱う問題では、略図をかくと状況を思い描きやすくなる。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	We are looking for the length and width. 求めるものは、縦と横の長さである。
Step 3. Name what you are looking for. The length is two feet more than width. 手順3．求めるものを文字で表す。縦の長さは横の長さより2フィート長い。	Let W = the width of the garden. W + 2 = the length of the garden W = 庭の横の長さとする。W + 2 = 庭の縦の長さ。
Step 4. Translate into an equation. Restate the important information in a sentence. 手順4．方程式に置き換える。重要な情報を1つの文で言い直す。	The area of the rectangular garden is 15 square feet. 長方形の庭の面積は15平方フィートである。
Use the formula for the area of a rectangle. 長方形の面積の公式を使う。	$A = L \cdot W$
Substitute in the variables. 変数を代入する。	$15 = (W + 2) W$
Step 5. Solve the equation. Distribute first. 手順5．方程式を解く。最初に分配法則を使う。	$15 = W^{2} + 2 W$
Get zero on one side. 一方の辺を0にする。	$0 = W^{2} + 2 W - 15$
Factor the trinomial. 三項式を因数分解する。	$0 = (W + 5) (W - 3)$
Use the Zero Product Property. 積が0になる性質を使う。	$0 = W + 5$	$0 = W - 3$
Solve each equation. それぞれの方程式を解く。	$−5 = W$	$3 = W$
Since W is the width of the garden, it does not make sense for it to be negative. We eliminate that value for W. Wは庭の横の長さなので、負の値は意味をなさない。このWの値は除く。	$−5 = W$ $W = 3$	$3 = W$ Width is 3 feet. $3 = W$ 横の長さは3フィートである。
Find the value of the length. 縦の長さを求める。	$W + 2 = length$ $W + 2 = 長さ$
	$3 + 2$
	$5$	Length is 5 feet. 縦の長さは5フィートである。
Step 6. Check the answer. Does the answer make sense? 手順6．答えを確認する。答えは筋が通っているか。

	Yes, this makes sense. そうである。筋が通っている。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The width of the garden is 3 feet and the length is 5 feet. 庭の横の長さは3フィート、縦の長さは5フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）

In an earlier chapter, we used the Pythagorean Theorem

(a^{2} + b^{2} = c^{2})

. It gave the relation between the legs and the hypotenuse of a right triangle.

英語のヒント

前の章では、ピタゴラスの定理

(a^{2} + b^{2} = c^{2})

を使った。これは、直角三角形の直角を挟む2辺と斜辺との関係を表す。

We will use this formula in the next example.

英語のヒント

次の例では、この公式を使う。

Example 7.82例題 7.82

Justine wants to put a deck in the corner of her backyard in the shape of a right triangle, as shown below. The hypotenuse will be 17 feet long. The length of one side will be 7 feet less than the length of the other side. Find the lengths of the sides of the deck.

英語のヒント

ジャスティンは、下図のように、裏庭の隅に直角三角形のデッキを設けたい。斜辺の長さは17フィートとなる。一方の辺の長さは、もう一方の辺より7フィート短い。デッキの各辺の長さを求めよ。

直角三角形の図である。垂直な辺には「x − 7」、水平な底辺には「x」、斜辺には「17」というラベルがある。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	We are looking for the lengths of the sides of the deck. 求めるものは、デッキの各辺の長さである。
Step 3. Name what you are looking for. One side is 7 less than the other. 手順3．求めるものを文字で表す。一方の辺はもう一方より7短い。	Let x = length of a side of the deck x − 7 = length of other side x = デッキの一方の辺の長さとする。x − 7 = もう一方の辺の長さ。
Step 4. Translate into an equation. Since this is a right triangle we can use the Pythagorean Theorem. 手順4．方程式に置き換える。直角三角形なので、ピタゴラスの定理を使える。	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
Substitute in the variables. 変数を代入する。	$x^{2} + {(x - 7)}^{2} = 17^{2}$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$x^{2} + x^{2} - 14 x + 49 = 289$
Simplify. 簡単にする。	$2 x^{2} - 14 x + 49 = 289$
It is a quadratic equation, so get zero on one side. 二次方程式なので、一方の辺を0にする。	$2 x^{2} - 14 x - 240 = 0$
Factor the greatest common factor. 最大公約因子をくくり出す。	$2 (x^{2} - 7 x - 120) = 0$
Factor the trinomial. 三項式を因数分解する。	$2 (x - 15) (x + 8) = 0$
Use the Zero Product Property. 積が0になる性質を使う。	$2 \neq 0$	$x - 15 = 0$	$x + 8 = 0$
Solve. 解く。	$2 \neq 0$	$x = 15$	$x = −8$
Since x is a side of the triangle, $x = −8$ does not make sense. xは三角形の辺の長さなので、 $x = −8$ は意味をなさない。	$2 \neq 0$	$x = 15$	$x = −8$
Find the length of the other side. もう一方の辺の長さを求める。
If the length of one side is 一方の辺の長さが次の値なら、
then the length of the other side is もう一方の辺の長さは次のようになる。

	8 is the length of the other side. もう一方の辺の長さは8である。
Step 6. Check the answer. Do these numbers make sense? 手順6．答えを確認する。これらの数は筋が通っているか。

Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The sides of the deck are 8, 15, and 17 feet. デッキの各辺の長さは8フィート、15フィート、17フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）