第7章因数分解

Factor Trinomials of the Form $x^{2} + b x + c$ with c Negativecが負の場合に、 $x^{2} + b x + c$ の形の三項式を因数分解する

Now, what if the last term in the trinomial is negative? Think about FOIL. The last term is the product of the last terms in the two binomials. A negative product results from multiplying two numbers with opposite signs. You have to be very careful to choose factors to make sure you get the correct sign for the middle term, too.

英語のヒント

では、三項式の最後の項が負の場合はどうだろうか。FOIL法を考えよう。最後の項は、2つの二項式の最後の項どうしの積である。符号が異なる2つの数を掛けると、積は負になる。真ん中の項の符号も正しくなるように、因数を慎重に選ぶ必要がある。

Remember: To get a negative product, the numbers must have different signs.

英語のヒント

覚えておこう。積が負になるには、2つの数の符号が異ならなければならない。

Example 7.21例題 7.21

Factor:

z^{2} + 4 z - 5

英語のヒント

因数分解せよ：

z^{2} + 4 z - 5

。

Solution解答

To get a negative last term, multiply one positive and one negative. We need factors of

−5

that add to positive 4.

英語のヒント

最後の項を負にするには、正の数と負の数を1つずつ掛ける。足すと正の4になる

−5

の因数の組が必要である。

Factors of $−5$ $−5$ の因数	Sum of factors 因数の和
$1, −5$	$1 + (−5) = −4$
$−1, 5$	$−1 + 5 = 4 *$

Notice: We listed both

1, −5 and - 1, 5

to make sure we got the sign of the middle term correct.

英語のヒント

真ん中の項の符号が正しくなるように、

1, −5 および - 1, 5

の両方の組を挙げたことに注目しよう。

	$z^{2} + 4 z - 5$
Factors will be two binomials with first terms z. 因数は、最初の項がzである2つの二項式になる。	$(z) (z)$
Use −1, 5 as the last terms of the binomials. 二項式の最後の項に−1、5を使う。	$(z - 1) (z + 5)$
Check. $\begin{matrix} (z - 1) (z + 5) \\ z^{2} + 5 z - 1 z - 5 \\ z^{2} + 4 z - 5 ✓ \end{matrix}$ 確認する。 $\begin{matrix} (z - 1) (z + 5) \\ z^{2} + 5 z - 1 z - 5 \\ z^{2} + 4 z - 5 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Let’s make a minor change to the last trinomial and see what effect it has on the factors.

英語のヒント

先ほどの三項式を少し変え、因数にどのような影響があるか見てみよう。

Example 7.22例題 7.22

Factor:

z^{2} - 4 z - 5

英語のヒント

因数分解せよ：

z^{2} - 4 z - 5

。

Solution解答

This time, we need factors of

−5

that add to

−4

英語のヒント

今回は、足すと

−4

になる

−5

の因数の組が必要である。

Factors of $−5$ $−5$ の因数	Sum of factors 因数の和
$1, −5$	$1 + (−5) = −4 *$
$−1, 5$	$−1 + 5 = 4$

	$z^{2} - 4 z - 5$
Factors will be two binomials with first terms z. 因数は、最初の項がzである2つの二項式になる。	$(z) (z)$
Use 1, −5 as the last terms of the binomials. 二項式の最後の項に1、−5を使う。	$(z + 1) (z - 5)$
Check. $\begin{matrix} (z + 1) (z - 5) \\ z^{2} - 5 z + 1 z - 5 \\ z^{2} - 4 z - 5 ✓ \end{matrix}$ 確認する。 $\begin{matrix} (z + 1) (z - 5) \\ z^{2} - 5 z + 1 z - 5 \\ z^{2} - 4 z - 5 ✓ \end{matrix}$

Notice that the factors of

z^{2} - 4 z - 5

are very similar to the factors of

z^{2} + 4 z - 5

. It is very important to make sure you choose the factor pair that results in the correct sign of the middle term.

英語のヒント

z^{2} - 4 z - 5

の因数は、

z^{2} + 4 z - 5

の因数ととてもよく似ている。真ん中の項の符号が正しくなる因数の組を選ぶことが、とても大切である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.23例題 7.23

Factor:

q^{2} - 2 q - 15

英語のヒント

因数分解せよ：

q^{2} - 2 q - 15

。

Solution解答

\begin{matrix} q^{2} - 2 q - 15 \\ Factors will be two binomials with first terms q . & (q) (q) \\ You can use 3, −5 as the last terms of the & (q + 3) (q - 5) \\ binomials. \end{matrix}

\begin{matrix} q^{2} - 2 q - 15 \\ 因子は、次を初項とする二つの二項式となる： q . & (q) (q) \\ 使用できる値： 3, −5 を末項に用いた & (q + 3) (q - 5) \\ 二項式となる。 \end{matrix}

Factors of $−15$ $−15$ の因数	Sum of factors 因数の和
$1, −15$	$1 + (−15) = −14$
$−1, 15$	$−1 + 15 = 14$
$3, −5$	$3 + (−5) = −2 *$
$−3, 5$	$−3 + 5 = 2$

Check.

英語のヒント

確かめる。

(q + 3) (q - 5)

q^{2} - 5 q + 3 q - 15

q^{2} - 2 q - 15 ✓

Try It (2)確認問題（2題）

Some trinomials are prime. The only way to be certain a trinomial is prime is to list all the possibilities and show that none of them work.

英語のヒント

三項式には既約なものもある。三項式が既約だと確実に判断する唯一の方法は、考えられる組をすべて挙げ、そのどれもうまくいかないことを示すことである。

Example 7.24例題 7.24

Factor:

y^{2} - 6 y + 15

英語のヒント

因数分解せよ：

y^{2} - 6 y + 15

。

Solution解答

	$y^{2} - 6 y + 15$
Factors will be two binomials with first terms y. 因数は、最初の項がyである2つの二項式になる。	$(y) (y)$

Factors of 15 15の因数	Sum of factors 因数の和
$−1, −15$	$−1 + (−15) = −16$
$−3, −5$	$−3 + (−5) = −8$

As shown in the table, none of the factors add to

−6

; therefore, the expression is prime.

英語のヒント

表に示したように、足して

−6

になる因数の組はない。したがって、この式は既約である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.25例題 7.25

Factor:

2 x + x^{2} - 48

英語のヒント

因数分解せよ：

2 x + x^{2} - 48

。

Solution解答

	$2 x + x^{2} - 48$
First we put the terms in decreasing degree order. まず、次数の高い順に項を並べる。	$x^{2} + 2 x - 48$
Factors will be two binomials with first terms x. 因数は、最初の項がxである2つの二項式になる。	$(x) (x)$

As shown in the table, you can use

−6, 8

as the last terms of the binomials.

英語のヒント

表に示したように、二項式の最後の項には

−6, 8

を使える。

(x - 6) (x + 8)

Factors of $−48$ $−48$ の因数	Sum of factors 因数の和
$−1, 48$	$−1 + 48 = 47$
$−2, 24$ $−3, 16$ $−4, 12$ $−6, 8$	$−2 + 24 = 22$ $−3 + 16 = 13$ $−4 + 12 = 8$ $−6 + 8 = 2$

Check.

英語のヒント

確かめる。

(x - 6) (x + 8)

x^{2} - 6 x + 8 x - 48

x^{2} + 2 x - 48 ✓

Try It (2)確認問題（2題）

Let’s summarize the method we just developed to factor trinomials of the form

x^{2} + b x + c

英語のヒント

ここまでに組み立てた、

x^{2} + b x + c

の形の三項式を因数分解する方法をまとめよう。

Factor trinomials.三項式を因数分解する。

When we factor a trinomial, we look at the signs of its terms first to determine the signs of the binomial factors.

英語のヒント

三項式を因数分解するときは、まず各項の符号を見て、二項式の因数の符号を決める。

\begin{matrix} x^{2} + b x + c \\ (x + m) (x + n) \end{matrix}

When c is positive, m and n have the same sign.

英語のヒント

cが正のとき、mとnの符号は同じである。

\begin{matrix} b positive & b negative \\ m, n positive & m, n negative \\ x^{2} + 5 x + 6 & x^{2} - 6 x + 8 \\ (x + 2) (x + 3) & (x - 4) (x - 2) \\ same signs & same signs \end{matrix}

\begin{matrix} b 正 & b 負 \\ m, n 正 & m, n 負 \\ x^{2} + 5 x + 6 & x^{2} - 6 x + 8 \\ (x + 2) (x + 3) & (x - 4) (x - 2) \\ 同符号 & 同符号 \end{matrix}

When c is negative, m and n have opposite signs.

英語のヒント

cが負のとき、mとnの符号は異なる。

\begin{matrix} x^{2} + x - 12 & x^{2} - 2 x - 15 \\ (x + 4) (x - 3) & (x - 5) (x + 3) \\ opposite signs & opposite signs \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} + x - 12 & x^{2} - 2 x - 15 \\ (x + 4) (x - 3) & (x - 5) (x + 3) \\ 異符号 & 異符号 \end{matrix}

Notice that, in the case when m and n have opposite signs, the sign of the one with the larger absolute value matches the sign of b.

英語のヒント

mとnの符号が異なる場合、絶対値の大きい方の符号がbの符号と一致することに注目しよう。

Factor Trinomials of the Form x² + bxy + cy²x² + bxy + cy²の形の三項式を因数分解する

Sometimes you’ll need to factor trinomials of the form

x^{2} + b x y + c y^{2}

with two variables, such as

x^{2} + 12 x y + 36 y^{2} .

The first term,

x^{2}

, is the product of the first terms of the binomial factors,

x \cdot x

. The

y^{2}

in the last term means that the second terms of the binomial factors must each contain y. To get the coefficients b and c, you use the same process summarized in the previous objective.

英語のヒント

x^{2} + 12 x y + 36 y^{2}

のように、2つの変数を含む

x^{2} + b x y + c y^{2}

の形の三項式を因数分解することもある。最初の項

x^{2}

は、二項式の因数の最初の項どうしの積

x \cdot x

である。最後の項に

y^{2}

があるということは、各二項式の2番目の項にyが含まれなければならないということである。係数bとcを得るには、前の学習目標でまとめたのと同じ手順を使う。

Example 7.26例題 7.26

Factor:

x^{2} + 12 x y + 36 y^{2}

英語のヒント

因数分解せよ：

x^{2} + 12 x y + 36 y^{2}

。

Solution解答

	$x^{2} + 12 x y + 36 y^{2}$
Note that the first terms are x, last terms contain y. 最初の項はxで、最後の項にはyが含まれることに注目する。	$(x_y) (x_y)$

Find the numbers that multiply to 36 and add to 12.

英語のヒント

掛けると36、足すと12になる数を求める。

Factors of $36$ $36$ の因数	Sum of factors 因数の和
1, 36	$1 + 36 = 37$
2, 18	$2 + 18 = 20$
3, 12	$3 + 12 = 15$
4, 9	$4 + 9 = 13$
6, 6	$6 + 6 = 12 *$

Use 6 and 6 as the coefficients of the last terms. 最後の項の係数として、6と6を使う。	$(x + 6 y) (x + 6 y)$
Check your answer. $\begin{matrix} (x + 6 y) (x + 6 y) \\ x^{2} + 6 x y + 6 x y + 36 y^{2} \\ x^{2} + 12 x y + 36 y^{2} ✓ \end{matrix}$ 答えを確認する。 $\begin{matrix} (x + 6 y) (x + 6 y) \\ x^{2} + 6 x y + 6 x y + 36 y^{2} \\ x^{2} + 12 x y + 36 y^{2} ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.27例題 7.27

Factor:

r^{2} - 8 r s - 9 s^{2}

英語のヒント

因数分解せよ：

r^{2} - 8 r s - 9 s^{2}

。

Solution解答

We need

r

in the first term of each binomial and

s

in the second term. The last term of the trinomial is negative, so the factors must have opposite signs.

英語のヒント

各二項式の最初の項には

r

、2番目の項には

s

が必要である。三項式の最後の項が負なので、因数の符号は異ならなければならない。

\begin{matrix} r^{2} - 8 r s - 9 s^{2} \\ Note that the first terms are r, last terms contain s . & (r_s) (r_s) \end{matrix}

\begin{matrix} r^{2} - 8 r s - 9 s^{2} \\ 初項は次の値であり： r, 末項は次を含むことに注意する： s . & (r_s) (r_s) \end{matrix}

Find the numbers that multiply to

−9

and add to

−8

英語のヒント

掛けると

−9

、足すと

−8

になる数を求める。

Factors of $−9$ $−9$ の因数	Sum of factors 因数の和
$1, −9$	$1 + (−9) = −8 *$
$−1, 9$	$−1 + 9 = 8$
$3, −3$	$3 + (−3) = 0$

\begin{matrix} Use 1, −9 as coefficients of the last terms. & (r + s) (r - 9 s) \\ Check your answer. \\ (r - 9 s) (r + s) \\ r^{2} + r s - 9 r s - 9 s^{2} \\ r^{2} - 8 r s - 9 s^{2} ✓ \end{matrix}

\begin{matrix} 用いる値： 1, −9 を末項の係数に用いる。 & (r + s) (r - 9 s) \\ 答えを確かめる。 \\ (r - 9 s) (r + s) \\ r^{2} + r s - 9 r s - 9 s^{2} \\ r^{2} - 8 r s - 9 s^{2} ✓ \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.28例題 7.28

Factor:

u^{2} - 9 u v - 12 v^{2}

英語のヒント

因数分解せよ：

u^{2} - 9 u v - 12 v^{2}

。

Solution解答

We need u in the first term of each binomial and

v

in the second term. The last term of the trinomial is negative, so the factors must have opposite signs.

英語のヒント

各二項式の最初の項にはu、2番目の項には

v

が必要である。三項式の最後の項が負なので、因数の符号は異ならなければならない。

	$u^{2} - 9 u v - 12 v^{2}$
Note that the first terms are u, last terms contain v. 最初の項はuで、最後の項にはvが含まれることに注目する。	$(u_v) (u_v)$

Find the numbers that multiply to

−12

and add to

−9

英語のヒント

掛けると

−12

、足すと

−9

になる数を求める。

Factors of $−12$ $−12$ の因数	Sum of factors 因数の和
$1, −12$	$1 + (−12) = −11$
$−1, 12$	$−1 + 12 = 11$
$2, −6$	$2 + (−6) = −4$
$−2, 6$	$−2 + 6 = 4$
$3, −4$	$3 + (−4) = −1$
$−3, 4$	$−3 + 4 = 1$

Note there are no factor pairs that give us

−9

as a sum. The trinomial is prime.

英語のヒント

和が

−9

になる因数の組はないことに注目しよう。この三項式は既約である。

Try It (2)確認問題（2題）

第7章因数分解

Factor Trinomials of the Form x2+bx+c with c Negativecが負の場合に、x2+bx+cの形の三項式を因数分解する

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Factor Trinomials of the Form x2 + bxy + cy2x2 + bxy + cy2の形の三項式を因数分解する

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Factor Trinomials of the Form $x^{2} + b x + c$ with c Negativecが負の場合に、 $x^{2} + b x + c$ の形の三項式を因数分解する

Factor Trinomials of the Form x² + bxy + cy²x² + bxy + cy²の形の三項式を因数分解する