第7章因数分解

Factor Trinomials using the “ac” Method「ac法」で三項式を因数分解する

Another way to factor trinomials of the form

a x^{2} + b x + c

is the “ac” method. (The “ac” method is sometimes called the grouping method.) The “ac” method is actually an extension of the methods you used in the last section to factor trinomials with leading coefficient one. This method is very structured (that is step-by-step), and it always works!

英語のヒント

a x^{2} + b x + c

の形の三項式を因数分解するもう1つの方法が「ac法」である。（ac法は、グループ分け法と呼ばれることもある。）ac法は実際には、前の節で最高次の係数が1の三項式を因数分解した方法を拡張したものである。この方法は手順が明確で、段階を追って進められ、常に使える。

Example 7.38例題 7.38

How to Factor Trinomials Using the “ac” Method「ac法」で三項式を因数分解する方法

Factor:

6 x^{2} + 7 x + 2

英語のヒント

因数分解せよ：

6 x^{2} + 7 x + 2

。

Solution解答

3番目の手順は、m × n = acかつm + n = bとなる2つの数mとnを求めることである。中央の列には「足すと7になる2つの数を求める。両方の因数が正でなければならない」とある。その数は3と4で、3 × 4 = 12、3 + 4 = 7である。

次の手順は、mとnを使って真ん中の項を分けることである。つまり、7xを3x + 4xと書く。したがって、6x^2 + 7x + 2は6x^2 + 3x + 4x + 2と書き直される。

次の手順は、項をグループに分けて因数分解することである。3x(2x + 1) + 2(2x + 1)とし、さらに因数分解して(2x + 1)(3x + 2)とする。

最後の手順は、掛け算して確認することである。因数(2x + 1)(3x + 2)を掛けると6x^2 + 7x + 2になる。

Try It (2)確認問題（2題）

When the third term of the trinomial is negative, the factors of the third term will have opposite signs.

英語のヒント

三項式の3番目の項が負の場合、その項の因数の符号は異なる。

Example 7.39例題 7.39

Factor:

8 u^{2} - 17 u - 21

英語のヒント

因数分解せよ：

8 u^{2} - 17 u - 21

。

Solution解答

Is there a greatest common factor? No. 最大公約因子はあるか。ない。
Find $a \cdot c$ . $a \cdot c$ を求める。	$a \cdot c$
	$8 (−21)$
	$−168$

Find two numbers that multiply to

−168

and add to

−17

. The larger factor must be negative.

英語のヒント

掛けると

−168

、足すと

−17

になる2つの数を求める。大きい方の因数が負でなければならない。

Factors of $−168$ $−168$ の因数	Sum of factors 因数の和
$1, −168$	$1 + (−168) = −167$
$2, −84$	$2 + (−84) = −82$
$3, −56$	$3 + (−56) = −53$
$4, −42$	$4 + (−42) = −38$
$6, −28$	$6 + (−28) = −22$
$7, −24$	$7 + (−24) = −17 *$
$8, −21$	$8 + (−21) = −13$

Split the middle term using 7u and −24u. 7uと−24uを使って真ん中の項を分ける。	$\begin{matrix} 8 u^{2} - \underset{↙}{17} \underset{↘}{u} - 21 \\ \underset{⎵}{8 u^{2} + 7 u} \underset{⎵}{−24 u - 21} \end{matrix}$
Factor by grouping. 項をグループに分けて因数分解する。	$\begin{matrix} u (8 u + 7) - 3 (8 u + 7) \\ (8 u + 7) (u - 3) \end{matrix}$
Check by multiplying. $\begin{matrix} (8 u + 7) (u - 3) \\ 8 u^{2} - 24 u + 7 u - 21 \\ 8 u^{2} - 17 u - 21 ✓ \end{matrix}$ 掛け算して確認する。 $\begin{matrix} (8 u + 7) (u - 3) \\ 8 u^{2} - 24 u + 7 u - 21 \\ 8 u^{2} - 17 u - 21 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.40例題 7.40

Factor:

2 x^{2} + 6 x + 5

英語のヒント

因数分解せよ：

2 x^{2} + 6 x + 5

。

Solution解答

Is there a greatest common factor? No. 最大公約因子はあるか。ない。
Find $a \cdot c$ . $a \cdot c$ を求める。	$a \cdot c$
	$2 (5)$
	$10$

Find two numbers that multiply to 10 and add to 6.

英語のヒント

掛けると10、足すと6になる2つの数を求める。

Factors of $10$ $10$ の因数	Sum of factors 因数の和
$1, 10$	$1 + 10 = 11$
2, 5	$2 + 5 = 7$

There are no factors that multiply to 10 and add to 6. The polynomial is prime.

英語のヒント

掛けると10、足すと6になる因数の組はない。この多項式は既約である。

Try It (2)確認問題（2題）

Don’t forget to look for a common factor!

英語のヒント

共通因子を探すことを忘れないようにしよう。

Example 7.41例題 7.41

Factor:

10 y^{2} - 55 y + 70

英語のヒント

因数分解せよ：

10 y^{2} - 55 y + 70

。

Solution解答

Is there a greatest common factor? Yes. The GCF is 5. 最大公約因子はあるか。ある。最大公約因子は5である。
Factor it. Be careful to keep the factor of 5 all the way through the solution! それをくくり出す。解法の最後まで因子5を残すよう注意する。
The trinomial inside the parentheses has a leading coefficient that is not 1. 括弧の中の三項式は、最高次の係数が1ではない。
Factor the trinomial. 三項式を因数分解する。
Check by mulitplying all three factors. 3つの因数をすべて掛けて確認する。
$5 (2 y^{2} - 2 y - 4 y + 14)$
$5 (2 y^{2} - 11 y + 14)$
$10 y^{2} - 55 y + 70 ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

We can now update the Preliminary Factoring Strategy, as shown in Figure 7.2 and detailed in Choose a strategy to factor polynomials completely (updated), to include trinomials of the form

a x^{2} + b x + c

. Remember, some polynomials are prime and so they cannot be factored.

英語のヒント

これで、

a x^{2} + b x + c

の形の三項式を含めて、因数分解で最初に行う方針を更新できる。図7.2に示し、「多項式を完全に因数分解する方針を選ぶ（更新版）」で詳しく説明する。既約で、因数分解できない多項式もあることを覚えておこう。

多項式の因数分解の方針を示した図である。最上部にGCF（最大公約因子）がある。その下には3つの選択肢がある。最初は二項式、2番目は三項式で、その下にx^2 + bx + cとax^2 + bx + cがある。ここでの2つの方法は、試行錯誤とac法である。3番目は4項以上の場合で、項をグループに分ける方法を使う。 — Figure 7.2図 7.2

Choose a strategy to factor polynomials completely (updated).多項式を完全に因数分解する方針を選ぶ（更新版）。

Is there a greatest common factor?
英語のヒント
最大公約数となる共通因子はあるか。
- Factor it.
  英語のヒント
  それをくくり出す。
Is the polynomial a binomial, trinomial, or are there more than three terms?
英語のヒント
多項式は二項式か、三項式か、それとも4項以上あるか。
- If it is a binomial, right now we have no method to factor it.
  英語のヒント
  二項式の場合、現時点では因数分解する方法をまだ学んでいない。
- If it is a trinomial of the form $x^{2} + b x + c$
  Undo FOIL $(x) (x)$ .
  英語のヒント
  $x^{2} + b x + c$ の形の三項式の場合は、FOIL法を逆向きに行う。 $(x) (x)$ 。
- If it is a trinomial of the form $a x^{2} + b x + c$
  Use Trial and Error or the “ac” method.
  英語のヒント
  $a x^{2} + b x + c$ の形の三項式の場合は、試行錯誤またはac法を使う。
- If it has more than three terms
  Use the grouping method.
  英語のヒント
  4項以上ある場合は、項をグループに分ける方法を使う。
Check by multiplying the factors.
英語のヒント
因数を掛けて確かめる。

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Factor Trinomials of the Form $a x^{2} + b x + c$ using Trial and Error: See Example 7.33.
英語のヒント
試行錯誤による $a x^{2} + b x + c$ の形の三項式の因数分解：例7.33を参照。
1. Write the trinomial in descending order of degrees.
  英語のヒント
  三項式を降べきの順に書く。
2. Find all the factor pairs of the first term.
  英語のヒント
  最初の項の因数の組をすべて求める。
3. Find all the factor pairs of the third term.
  英語のヒント
  3番目の項の因数の組をすべて求める。
4. Test all the possible combinations of the factors until the correct product is found.
  英語のヒント
  正しい積が得られるまで、因数の可能な組合せをすべて試す。
5. Check by multiplying.
  英語のヒント
  掛け算して確認する。
Factor Trinomials of the Form $a x^{2} + b x + c$ Using the “ac” Method: See Example 7.38.
英語のヒント
ac法による $a x^{2} + b x + c$ の形の三項式の因数分解：例7.38を参照。
1. Factor any GCF.
  英語のヒント
  最大公約因子があればくくり出す。
2. Find the product ac.
  英語のヒント
  積acを求める。
3. Find two numbers m and n that:
  $\begin{matrix} Multiply to a c & m \cdot n = a \cdot c \\ Add to b & m + n = b \end{matrix}$
  英語のヒント
  次を満たす2つの数mとnを求める： $\begin{matrix} 掛けて次になる： a c & m \cdot n = a \cdot c \\ 足して次になる： b & m + n = b \end{matrix}$
4. Split the middle term using m and n:
  英語のヒント
  mとnを使って真ん中の項を分ける：
5. Factor by grouping.
  英語のヒント
  項をグループに分けて因数分解する。
6. Check by multiplying the factors.
  英語のヒント
  因数を掛けて確かめる。
Choose a strategy to factor polynomials completely (updated):
英語のヒント
多項式を完全に因数分解する方針を選ぶ（更新版）：
1. Is there a greatest common factor? Factor it.
  英語のヒント
  最大公約因子はあるか。あれば、くくり出す。
2. Is the polynomial a binomial, trinomial, or are there more than three terms?
  If it is a binomial, right now we have no method to factor it.
  If it is a trinomial of the form $x^{2} + b x + c$
  Undo FOIL $(x) (x)$ .
  If it is a trinomial of the form $a x^{2} + b x + c$
  Use Trial and Error or the “ac” method.
  If it has more than three terms
  Use the grouping method.
  英語のヒント
  多項式は二項式か、三項式か、それとも4項以上あるか。二項式なら、現時点では因数分解の方法をまだ学んでいない。 $x^{2} + b x + c$ の形の三項式なら、FOIL法を逆向きに行う。 $(x) (x)$ 。 $a x^{2} + b x + c$ の形の三項式なら、試行錯誤またはac法を使う。4項以上なら、項をグループに分ける方法を使う。
3. Check by multiplying the factors.
  英語のヒント
  因数を掛けて確かめる。