第7章因数分解

7.5 General Strategy for Factoring Polynomials7.5　多項式の因数分解の一般的な方針

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

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この節を終えると、次のことができるようになる。

Recognize and use the appropriate method to factor a polynomial completely
英語のヒント
多項式を完全に因数分解する適切な方法を見分け、使う

Before You Begin (4)準備問題（4題）

Recognize and Use the Appropriate Method to Factor a Polynomial Completely多項式を完全に因数分解する適切な方法を見分け、使う

You have now become acquainted with all the methods of factoring that you will need in this course. (In your next algebra course, more methods will be added to your repertoire.) The figure below summarizes all the factoring methods we have covered. Factor polynomials. outlines a strategy you should use when factoring polynomials.

英語のヒント

これで、この科目で必要になる因数分解の方法をすべて学んだ。（次の代数の科目では、さらに使える方法が増える。）下の図に、ここまでに扱った因数分解の方法をすべてまとめる。「多項式を因数分解する」では、多項式を因数分解するときに使う方針の概要を示している。

多項式の因数分解の一般的な方針を示す図である。最上部には、因数分解の出発点となるGCF（最大公約因子）がある。その下には二項式、三項式、4項以上という3つの選択肢がある。二項式には平方の差、平方の和、立方の和、立方の差がある。三項式にはx^2 + bx + cとax^2 + bx + cの2つの形がある。平方の和と差の公式やac法もある。最後に、4項以上の場合はグループ分けの方法を使う。 — Figure 7.3図 7.3

Factor polynomials.多項式を因数分解する。

Is there a greatest common factor?
英語のヒント
最大公約数となる共通因子はあるか。
- Factor it out.
  英語のヒント
  その因子をくくり出す。
Is the polynomial a binomial, trinomial, or are there more than three terms?
英語のヒント
多項式は二項式か、三項式か、それとも4項以上あるか。
- If it is a binomial:
  Is it a sum?
  英語のヒント
  二項式の場合：和か。
  - Of squares? Sums of squares do not factor.
    英語のヒント
    平方の和か。平方の和は因数分解できない。
  - Of cubes? Use the sum of cubes pattern.
    英語のヒント
    立方の和か。立方の和の公式を使う。
  Is it a difference?
  英語のヒント
  差か。
  - Of squares? Factor as the product of conjugates.
    英語のヒント
    平方の差か。共役な式の積に因数分解する。
  - Of cubes? Use the difference of cubes pattern.
    英語のヒント
    立方の差か。立方の差の公式を使う。
- If it is a trinomial:
  Is it of the form $x^{2} + b x + c$ ? Undo FOIL.
  Is it of the form $a x^{2} + b x + c$ ?
  英語のヒント
  三項式の場合： $x^{2} + b x + c$ の形か。FOIL法を逆向きに行う。 $a x^{2} + b x + c$ の形か。
  - If $a$ and $c$ are squares, check if it fits the trinomial square pattern.
    英語のヒント
    $a$ と $c$ が平方なら、完全平方式の三項式の形に当てはまるかを確かめる。
  - Use the trial and error or “ac” method.
    英語のヒント
    試行錯誤またはac法を使う。
- If it has more than three terms:
  Use the grouping method.
  英語のヒント
  4項以上ある場合：項をグループに分ける方法を使う。
Check.
英語のヒント
確かめる。
- Is it factored completely?
  英語のヒント
  完全に因数分解されているか。
- Do the factors multiply back to the original polynomial?
  英語のヒント
  因数どうしを掛けると、元の多項式に戻るか。

Remember, a polynomial is completely factored if, other than monomials, its factors are prime!

英語のヒント

単項式以外の因数がすべて既約であれば、多項式は完全に因数分解されていることを覚えておこう。

Example 7.59例題 7.59

Factor completely:

4 x^{5} + 12 x^{4}

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

4 x^{5} + 12 x^{4}

。

Solution解答

\begin{matrix} Is there a GCF? & Yes, 4 x^{4} . & 4 x^{5} + 12 x^{4} \\ Factor out the GCF. & 4 x^{4} (x + 3) \\ In the parentheses, is it a binomial, a \\ trinomial, or are there more than three terms? & Binomial. \\ Is it a sum? & Yes. \\ Of squares? Of cubes? & No. \\ Check. \\ Is the expression factored completely? & Yes. \\ Multiply. \\ 4 x^{4} (x + 3) \\ 4 x^{4} \cdot x + 4 x^{4} \cdot 3 \\ 4 x^{5} + 12 x^{4} ✓ \end{matrix}

\begin{matrix} 最大公約因子はあるか。 & ある。 4 x^{4} . & 4 x^{5} + 12 x^{4} \\ 最大公約因子をくくり出す。 & 4 x^{4} (x + 3) \\ 括弧内は二項式か、三項式か、 \\ それとも3項より多いか。 & 二項式である。 \\ 和か。 & そうである。 \\ 平方の和か。立方の和か。 & そうではない。 \\ 確かめる。 \\ 式は完全に因数分解されているか。 & そうである。 \\ 掛ける。 \\ 4 x^{4} (x + 3) \\ 4 x^{4} \cdot x + 4 x^{4} \cdot 3 \\ 4 x^{5} + 12 x^{4} ✓ \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.60例題 7.60

Factor completely:

12 x^{2} - 11 x + 2

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

12 x^{2} - 11 x + 2

。

Solution解答


Is there a GCF? 最大公約数となる共通因子はあるか。	No. いいえ。
Is it a binomial, trinomial, or are there more than three terms? 二項式か、三項式か、それとも4項以上あるか。	Trinomial. 三項式である。
Are a and c perfect squares? aとcは完全平方か。	No, a = 12, not a perfect square. 違う。a = 12は完全平方ではない。
Use trial and error or the “ac” method. We will use trial and error here. 試行錯誤またはac法を使う。ここでは試行錯誤を使う。

12x^2 − 11x + 2という見出しの表で、因数の候補を示している。第1列は「因数の候補」、第2列は「積」である。4つの行の積の列には「候補にならない」とある。これは「三項式に共通因子がなければ、どちらの因数にも共通因子は含まれない」と説明されている。最後の因数(3x − 2)と(4x − 1)の積は12x^2 − 11x + 2である。

Check.

英語のヒント

確かめる。

(3 x - 2) (4 x - 1)

12 x^{2} - 3 x - 8 x + 2

12 x^{2} - 11 x + 2 ✓

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.61例題 7.61

Factor completely:

g^{3} + 25 g

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

g^{3} + 25 g

。

Solution解答

Is there a GCF? 最大公約数となる共通因子はあるか。	Yes, g. ある。gである。	$g^{3} + 25 g$
Factor out the GCF. 最大公約数となる共通因子をくくり出す。		$g (g^{2} + 25)$
In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are there more than three terms? 括弧の中は二項式か、三項式か、それとも4項以上あるか。	Binomial. 二項式である。
Is it a sum ? Of squares? 和か。平方の和か。	Yes. はい。	Sums of squares are prime. 平方の和は既約である。
Check. 確かめる。
Is the expression factored completely? 式は完全に因数分解されているか。	Yes. はい。
Multiply. $\begin{matrix} g (g^{2} + 25) \\ g^{3} + 25 g ✓ \end{matrix}$ 掛け算する。 $\begin{matrix} g (g^{2} + 25) \\ g^{3} + 25 g ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.62例題 7.62

Factor completely:

12 y^{2} - 75

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

12 y^{2} - 75

。

Solution解答

Is there a GCF? 最大公約数となる共通因子はあるか。	Yes, 3. ある。3である。	$12 y^{2} - 75$
Factor out the GCF. 最大公約数となる共通因子をくくり出す。		$3 (4 y^{2} - 25)$
In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are there more than three terms? 括弧の中は二項式か、三項式か、それとも4項以上あるか。	Binomial. 二項式である。
Is it a sum? 和か。	No. いいえ。
Is it a difference? Of squares or cubes? 差か。平方の差か、立方の差か。	Yes, squares. そうである。平方の差である。	$3 ({(2 y)}^{2} - {(5)}^{2})$
Write as a product of conjugates. 共役な式の積として書く。		$3 (2 y - 5) (2 y + 5)$
Check. 確かめる。
Is the expression factored completely? 式は完全に因数分解されているか。	Yes. はい。
Neither binomial is a difference of squares. どちらの二項式も平方の差ではない。
Multiply. $\begin{matrix} 3 (2 y - 5) (2 y + 5) \\ 3 (4 y^{2} - 25) \\ 12 y^{2} - 75 ✓ \end{matrix}$ 掛け算する。 $\begin{matrix} 3 (2 y - 5) (2 y + 5) \\ 3 (4 y^{2} - 25) \\ 12 y^{2} - 75 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.63例題 7.63

Factor completely:

4 a^{2} - 12 a b + 9 b^{2}

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

4 a^{2} - 12 a b + 9 b^{2}

。

Solution解答


Is there a GCF? 最大公約数となる共通因子はあるか。	No. いいえ。
Is it a binomial, trinomial, or are there more terms? 二項式か、三項式か、それともそれ以上の項があるか。
Trinomial with $a \neq 1$ . But the first term is a perfect square. $a \neq 1$ である三項式だが、最初の項は完全平方である。
Is the last term a perfect square? 最後の項は完全平方か。	Yes. はい。
Does it fit the pattern, $a^{2} - 2 a b + b^{2} ?$ 公式の形 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ に当てはまるか。	Yes. はい。
Write it as a square. 平方で表す。
Check your answer. 答えを確かめる。
Is the expression factored completely? 式は完全に因数分解されているか。
Yes. はい。
The binomial is not a difference of squares. この二項式は平方の差ではない。
Multiply. 掛ける。
${(2 a - 3 b)}^{2}$
${(2 a)}^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot 3 b + {(3 b)}^{2}$
$4 a^{2} - 12 a b + 9 b^{2} ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.64例題 7.64

Factor completely:

6 y^{2} - 18 y - 60

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

6 y^{2} - 18 y - 60

。

Solution解答

Is there a GCF? 最大公約数となる共通因子はあるか。	Yes, 6. ある。6である。	$6 y^{2} - 18 y - 60$
Factor out the GCF. 最大公約数となる共通因子をくくり出す。		$6 (y^{2} - 3 y - 10)$
In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are there more terms? 括弧の中は二項式か、三項式か、それともそれ以上の項があるか。	Trinomial with leading coefficient 1. 最高次の係数が1の三項式である。
“Undo” FOIL. FOIL法を「逆向き」に行う。	$6 (y) (y)$	$6 (y + 2) (y - 5)$
Check your answer. 答えを確かめる。
Is the expression factored completely? 式は完全に因数分解されているか。		Yes. はい。
Neither binomial is a difference of squares. どちらの二項式も平方の差ではない。
Multiply. $\begin{matrix} 6 (y + 2) (y - 5) \\ 6 (y^{2} - 5 y + 2 y - 10) \\ 6 (y^{2} - 3 y - 10) \\ 6 y^{2} - 18 y - 60 ✓ \end{matrix}$ 掛け算する。 $\begin{matrix} 6 (y + 2) (y - 5) \\ 6 (y^{2} - 5 y + 2 y - 10) \\ 6 (y^{2} - 3 y - 10) \\ 6 y^{2} - 18 y - 60 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.65例題 7.65

Factor completely:

24 x^{3} + 81

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

24 x^{3} + 81

。

Solution解答

Is there a GCF? 最大公約数となる共通因子はあるか。	Yes, 3. ある。3である。	$24 x^{3} + 81$
Factor it out. その因子をくくり出す。		$3 (8 x^{3} + 27)$
In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are there more than three terms? 括弧の中は二項式か、三項式か、それとも4項以上あるか。	Binomial. 二項式である。
Is it a sum or difference? 和か、差か。	Sum. 和である。
Of squares or cubes? 平方の和か、立方の和か。	Sum of cubes. 立方の和である。
Write it using the sum of cubes pattern. 立方の和の公式を使って書く。
Is the expression factored completely? 式は完全に因数分解されているか。	Yes. はい。	$3 (2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)$
Check by multiplying. 掛け算して確認する。		We leave the check to you. 確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.66例題 7.66

Factor completely:

2 x^{4} - 32

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

2 x^{4} - 32

。

Solution解答

Is there a GCF? 最大公約数となる共通因子はあるか。	Yes, 2. ある。2である。	$2 x^{4} - 32$
Factor it out. その因子をくくり出す。		$2 (x^{4} - 16)$
In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are there more than three terms? 括弧の中は二項式か、三項式か、それとも4項以上あるか。	Binomial. 二項式である。
Is it a sum or difference? 和か、差か。	Yes. はい。
Of squares or cubes? 平方の和か、立方の和か。	Difference of squares. 平方の差である。	$2 ({(x^{2})}^{2} - {(4)}^{2})$
Write it as a product of conjugates. 共役な式の積として書く。		$2 (x^{2} - 4) (x^{2} + 4)$
The first binomial is again a difference of squares. 最初の二項式は、再び平方の差になっている。		$2 ({(x)}^{2} - {(2)}^{2}) (x^{2} + 4)$
Write it as a product of conjugates. 共役な式の積として書く。		$2 (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)$
Is the expression factored completely? 式は完全に因数分解されているか。	Yes. はい。
None of these binomials is a difference of squares. これらの二項式のどれも平方の差ではない。
Check your answer. 答えを確かめる。
Multiply. $\begin{matrix} 2 (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4) \\ 2 (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) \\ 2 (x^{4} - 16) \\ 2 x^{4} - 32 ✓ \end{matrix}$ 掛け算する。 $\begin{matrix} 2 (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4) \\ 2 (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) \\ 2 (x^{4} - 16) \\ 2 x^{4} - 32 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.67例題 7.67

Factor completely:

3 x^{2} + 6 b x - 3 a x - 6 a b

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

3 x^{2} + 6 b x - 3 a x - 6 a b

。

Solution解答

Is there a GCF? 最大公約数となる共通因子はあるか。	Yes, 3. ある。3である。	$3 x^{2} + 6 b x - 3 a x - 6 a b$
Factor out the GCF. 最大公約数となる共通因子をくくり出す。		$3 (x^{2} + 2 b x - a x - 2 a b)$
In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are there more terms? 括弧の中は二項式か、三項式か、それともそれ以上の項があるか。	More than 3 terms. 4項以上ある。
Use grouping. 項をグループに分ける方法を使う。		$\begin{matrix} 3 [x (x + 2 b) - a (x + 2 b)] \\ 3 (x + 2 b) (x - a) \end{matrix}$
Check your answer. 答えを確かめる。
Is the expression factored completely? Yes. 式は完全に因数分解されているか。されている。
Multiply. $\begin{matrix} 3 (x + 2 b) (x - a) \\ 3 (x^{2} - a x + 2 b x - 2 a b) \\ 3 x^{2} - 3 a x + 6 b x - 6 a b ✓ \end{matrix}$ 掛け算する。 $\begin{matrix} 3 (x + 2 b) (x - a) \\ 3 (x^{2} - a x + 2 b x - 2 a b) \\ 3 x^{2} - 3 a x + 6 b x - 6 a b ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.68例題 7.68

Factor completely:

10 x^{2} - 34 x - 24

英語のヒント

完全に因数分解せよ：

10 x^{2} - 34 x - 24

。

Solution解答

Is there a GCF? 最大公約数となる共通因子はあるか。	Yes, 2. ある。2である。	$10 x^{2} - 34 x - 24$
Factor out the GCF. 最大公約数となる共通因子をくくり出す。		$2 (5 x^{2} - 17 x - 12)$
In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are there more than three terms? 括弧の中は二項式か、三項式か、それとも4項以上あるか。	Trinomial with $a \neq 1 .$ $a \neq 1$ である三項式。
Use trial and error or the “ac” method. 試行錯誤またはac法を使う。		$\begin{matrix} 2 (5 x^{2} - 17 x −12) \\ 2 (5 x + 3) (x - 4) \end{matrix}$
Check your answer. Is the expression factored completely? Yes. 答えを確認する。式は完全に因数分解されているか。されている。
Multiply. $\begin{matrix} 2 (5 x + 3) (x - 4) \\ 2 (5 x^{2} - 20 x + 3 x - 12) \\ 2 (5 x^{2} - 17 x - 12) \\ 10 x^{2} - 34 x - 24 ✓ \end{matrix}$ 掛け算する。 $\begin{matrix} 2 (5 x + 3) (x - 4) \\ 2 (5 x^{2} - 20 x + 3 x - 12) \\ 2 (5 x^{2} - 17 x - 12) \\ 10 x^{2} - 34 x - 24 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

第7章因数分解

7.5 General Strategy for Factoring Polynomials7.5 多項式の因数分解の一般的な方針

Learning Objectives学習目標

Recognize and Use the Appropriate Method to Factor a Polynomial Completely多項式を完全に因数分解する適切な方法を見分け、使う

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

7.5 General Strategy for Factoring Polynomials7.5　多項式の因数分解の一般的な方針