第7章因数分解

7.2 Factor Trinomials of the form $x^{2} + b x + c$ 7.2 $x^{2} + b x + c$ の形の三項式を因数分解する

Exercises 377–384練習問題 377–384

Factor Trinomials of the Form $x^{2} + b x + c$

英語のヒント

x^{2} + b x + c

の形の三項式を因数分解する

In the following exercises, factor each trinomial of the form

x^{2} + b x + c

英語のヒント

以下の問題では、

x^{2} + b x + c

の形の各三項式を因数分解せよ。

Exercise 377問題 377

u^{2} + 17 u + 72

Solution解き方

(u + 8) (u + 9)

Exercise 378問題 378

a^{2} + 14 a + 33

Exercise 379問題 379

k^{2} - 16 k + 60

Solution解き方

(k - 6) (k - 10)

Exercise 380問題 380

r^{2} - 11 r + 28

Exercise 381問題 381

y^{2} + 6 y - 7

Solution解き方

(y + 7) (y - 1)

Exercise 382問題 382

m^{2} + 3 m - 54

Exercise 383問題 383

s^{2} - 2 s - 8

Solution解き方

(s - 4) (s + 2)

Exercise 384問題 384

x^{2} - 3 x - 10

Exercises 385–388練習問題 385–388

Factor Trinomials of the Form $x^{2} + b x y + c y^{2}$

英語のヒント

x^{2} + b x y + c y^{2}

の形の三項式を因数分解する

In the following examples, factor each trinomial of the form

x^{2} + b x y + c y^{2}

英語のヒント

以下の例では、

x^{2} + b x y + c y^{2}

の形の各三項式を因数分解せよ。

Exercise 385問題 385

x^{2} + 12 x y + 35 y^{2}

Solution解き方

(x + 5 y) (x + 7 y)

Exercise 386問題 386

u^{2} + 14 u v + 48 v^{2}

Exercise 387問題 387

a^{2} + 4 a b - 21 b^{2}

Solution解き方

(a + 7 b) (a - 3 b)

Exercise 388問題 388

p^{2} - 5 p q - 36 q^{2}

7.3 Factoring Trinomials of the form $a x^{2} + b x + c$ 7.3 $a x^{2} + b x + c$ の形の三項式の因数分解

Exercises 389–392練習問題 389–392

Recognize a Preliminary Strategy to Factor Polynomials Completely

英語のヒント

多項式を完全に因数分解するために最初に行う方針を理解する

In the following exercises, identify the best method to use to factor each polynomial.

英語のヒント

以下の問題では、各多項式を因数分解する最適な方法を示せ。

Exercise 389問題 389

y^{2} - 17 y + 42

Solution解き方

Undo FOIL

英語のヒント

FOIL法を逆向きに行う

Exercise 390問題 390

12 r^{2} + 32 r + 5

Exercise 391問題 391

8 a^{3} + 72 a

Solution解き方

Factor the GCF

英語のヒント

最大公約因子をくくり出す

Exercise 392問題 392

4 m - m n - 3 n + 12

Exercises 393–396練習問題 393–396

Factor Trinomials of the Form $a x^{2} + b x + c$ with a GCF

英語のヒント

最大公約因子を持つ

a x^{2} + b x + c

の形の三項式を因数分解する

In the following exercises, factor completely.

英語のヒント

以下の問題では、完全に因数分解せよ。

Exercise 393問題 393

6 x^{2} + 42 x + 60

Solution解き方

6 (x + 2) (x + 5)

Exercise 394問題 394

8 a^{2} + 32 a + 24

Exercise 395問題 395

3 n^{4} - 12 n^{3} - 96 n^{2}

Solution解き方

3 n^{2} (n - 8) (n + 4)

Exercise 396問題 396

5 y^{3} + 25 y^{2} - 70 y

Exercises 397–404練習問題 397–404

Factor Trinomials Using the “ac” Method

英語のヒント

「ac法」で三項式を因数分解する

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 397問題 397

2 x^{2} + 9 x + 4

Solution解き方

(x + 4) (2 x + 1)

Exercise 398問題 398

3 y^{2} + 17 y + 10

Exercise 399問題 399

18 a^{2} - 9 a + 1

Solution解き方

(3 a - 1) (6 a - 1)

Exercise 400問題 400

8 u^{2} - 14 u + 3

Exercise 401問題 401

15 p^{2} + 2 p - 8

Solution解き方

(5 p + 4) (3 p - 2)

Exercise 402問題 402

15 x^{2} + x - 2

Exercise 403問題 403

40 s^{2} - s - 6

Solution解き方

(5 s - 2) (8 s + 3)

Exercise 404問題 404

20 n^{2} - 7 n - 3

Exercises 405–408練習問題 405–408

Factor Trinomials with a GCF Using the “ac” Method

英語のヒント

最大公約因子を持つ三項式をac法で因数分解する

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 405問題 405

3 x^{2} + 3 x - 36

Solution解き方

3 (x + 4) (x - 3)

Exercise 406問題 406

4 x^{2} + 4 x - 8

Exercise 407問題 407

60 y^{2} - 85 y - 25

Solution解き方

5 (4 y + 1) (3 y - 5)

Exercise 408問題 408

18 a^{2} - 57 a - 21

7.4 Factoring Special Products7.4 特別な積の因数分解

Exercises 409–416練習問題 409–416

Factor Perfect Square Trinomials

英語のヒント

完全平方式の三項式を因数分解する

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 409問題 409

25 x^{2} + 30 x + 9

Solution解き方

{(5 x + 3)}^{2}

Exercise 410問題 410

16 y^{2} + 72 y + 81

Exercise 411問題 411

36 a^{2} - 84 a b + 49 b^{2}

Solution解き方

{(6 a - 7 b)}^{2}

Exercise 412問題 412

64 r^{2} - 176 r s + 121 s^{2}

Exercise 413問題 413

40 x^{2} + 360 x + 810

Solution解き方

10 {(2 x + 9)}^{2}

Exercise 414問題 414

75 u^{2} + 180 u + 108

Exercise 415問題 415

2 y^{3} - 16 y^{2} + 32 y

Solution解き方

2 y {(y - 4)}^{2}

Exercise 416問題 416

5 k^{3} - 70 k^{2} + 245 k

Exercises 417–428練習問題 417–428

Factor Differences of Squares

英語のヒント

平方の差を因数分解する

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 417問題 417

81 r^{2} - 25

Solution解き方

(9 r - 5) (9 r + 5)

Exercise 418問題 418

49 a^{2} - 144

Exercise 419問題 419

169 m^{2} - n^{2}

Solution解き方

(13 m + n) (13 m - n)

Exercise 420問題 420

64 x^{2} - y^{2}

Exercise 421問題 421

25 p^{2} - 1

Solution解き方

(5 p - 1) (5 p + 1)

Exercise 422問題 422

1 - 16 s^{2}

Exercise 423問題 423

9 - 121 y^{2}

Solution解き方

(3 + 11 y) (3 - 11 y)

Exercise 424問題 424

100 k^{2} - 81

Exercise 425問題 425

20 x^{2} - 125

Solution解き方

5 (2 x - 5) (2 x + 5)

Exercise 426問題 426

18 y^{2} - 98

Exercise 427問題 427

49 u^{3} - 9 u

Solution解き方

u (7 u + 3) (7 u - 3)

Exercise 428問題 428

169 n^{3} - n

Exercises 429–432練習問題 429–432

Factor Sums and Differences of Cubes

英語のヒント

立方の和と差を因数分解する

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 429問題 429

a^{3} - 125

Solution解き方

(a - 5) (a^{2} + 5 a + 25)

Exercise 430問題 430

b^{3} - 216

Exercise 431問題 431

2 m^{3} + 54

Solution解き方

2 (m + 3) (m^{2} - 3 m + 9)

Exercise 432問題 432

81 x^{3} + 3

7.5 General Strategy for Factoring Polynomials7.5 多項式の因数分解の一般的な方針

Exercises 433–444練習問題 433–444

Recognize and Use the Appropriate Method to Factor a Polynomial Completely

英語のヒント

多項式を完全に因数分解する適切な方法を見分け、使う

In the following exercises, factor completely.

英語のヒント

以下の問題では、完全に因数分解せよ。

Exercise 433問題 433

24 x^{3} + 44 x^{2}

Solution解き方

4 x^{2} (6 x + 11)

Exercise 434問題 434

24 a^{4} - 9 a^{3}

Exercise 435問題 435

16 n^{2} - 56 m n + 49 m^{2}

Solution解き方

{(4 n - 7 m)}^{2}

Exercise 436問題 436

6 a^{2} - 25 a - 9

Exercise 437問題 437

5 r^{2} + 22 r - 48

Solution解き方

(r + 6) (5 r - 8)

Exercise 438問題 438

5 u^{4} - 45 u^{2}

Exercise 439問題 439

n^{4} - 81

Solution解き方

(n^{2} + 9) (n + 3) (n - 3)

Exercise 440問題 440

64 j^{2} + 225

Exercise 441問題 441

5 x^{2} + 5 x - 60

Solution解き方

5 (x - 3) (x + 4)

Exercise 442問題 442

b^{3} - 64

Exercise 443問題 443

m^{3} + 125

Solution解き方

(m + 5) (m^{2} - 5 m + 25)

Exercise 444問題 444

2 b^{2} - 2 b c + 5 c b - 5 c^{2}

7.6 Quadratic Equations7.6 二次方程式

Exercises 445–448練習問題 445–448

Use the Zero Product Property

英語のヒント

積が0になる性質を使う

In the following exercises, solve.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 445問題 445

(a - 3) (a + 7) = 0

Solution解き方

a = 3, a = −7

Exercise 446問題 446

(b - 3) (b + 10) = 0

Exercise 447問題 447

3 m (2 m - 5) (m + 6) = 0

Solution解き方

m = 0 m = –6 m = \frac{5}{2}

Exercise 448問題 448

7 n (3 n + 8) (n - 5) = 0

Exercises 449–454練習問題 449–454

Solve Quadratic Equations by Factoring

英語のヒント

因数分解によって二次方程式を解く

In the following exercises, solve.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 449問題 449

x^{2} + 9 x + 20 = 0

Solution解き方

x = −4, x = −5

Exercise 450問題 450

y^{2} - y - 72 = 0

Exercise 451問題 451

2 p^{2} - 11 p = 40

Solution解き方

p = - \frac{5}{2}, p = 8

Exercise 452問題 452

q^{3} + 3 q^{2} + 2 q = 0

Exercise 453問題 453

144 m^{2} - 25 = 0

Solution解き方

m = \frac{5}{12}, m = - \frac{5}{12}

Exercise 454問題 454

4 n^{2} = 36

Exercises 455–456練習問題 455–456

Solve Applications Modeled by Quadratic Equations

英語のヒント

二次方程式でモデル化される応用問題を解く

In the following exercises, solve.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 455問題 455

The product of two consecutive numbers is

462

. Find the numbers.

英語のヒント

連続する2つの数の積は

462

である。その数を求めよ。

Solution解き方

−21 and −22; 21 and 22

−21 および −22; 21 および 22

Exercise 456問題 456

The area of a rectangular shaped patio

400

square feet. The length of the patio is

9

feet more than its width. Find the length and width.

英語のヒント

長方形のパティオの面積は

400

平方フィートである。縦の長さは横の長さより

9

フィート長い。縦と横の長さを求めよ。

Practice Test練習テスト

Exercises 457–460練習問題 457–460

In the following exercises, find the Greatest Common Factor in each expression.

英語のヒント

以下の問題では、各式の最大公約因子を求めよ。

Exercise 457問題 457

14 y - 42

Solution解き方

14 (y - 3)

Exercise 458問題 458

−6 x^{2} - 30 x

Exercise 459問題 459

80 a^{2} + 120 a^{3}

Solution解き方

40 a^{2} (2 + 3 a)

Exercise 460問題 460

5 m (m - 1) + 3 (m - 1)

Exercises 461–477練習問題 461–477

In the following exercises, factor completely.

英語のヒント

以下の問題では、完全に因数分解せよ。

Exercise 461問題 461

x^{2} + 13 x + 42

Solution解き方

(x + 7) (x + 6)

Exercise 462問題 462

p^{2} + p q - 12 q^{2}

Exercise 463問題 463

3 a^{3} - 6 a^{2} - 72 a

Solution解き方

3 a (a - 6) (a + 4)

Exercise 464問題 464

s^{2} - 25 s + 84

Exercise 465問題 465

5 n^{2} + 30 n + 45

Solution解き方

5 (n + 3)^{2}

Exercise 466問題 466

64 y^{2} - 49

Exercise 467問題 467

x y - 8 y + 7 x - 56

Solution解き方

(x - 8) (y + 7)

Exercise 468問題 468

40 r^{2} + 810

Exercise 469問題 469

9 s^{2} - 12 s + 4

Solution解き方

{(3 s - 2)}^{2}

Exercise 470問題 470

n^{2} + 12 n + 36

Exercise 471問題 471

100 - a^{2}

Solution解き方

(10 - a) (10 + a)

Exercise 472問題 472

6 x^{2} - 11 x - 10

Exercise 473問題 473

3 x^{2} - 75 y^{2}

Solution解き方

3 (x + 5 y) (x - 5 y)

Exercise 474問題 474

c^{3} - 1000 d^{3}

Exercise 475問題 475

a b - 3 b - 2 a + 6

Solution解き方

(a - 3) (b - 2)

Exercise 476問題 476

6 u^{2} + 3 u - 18

Exercise 477問題 477

8 m^{2} + 22 m + 5

Solution解き方

(4 m + 1) (2 m + 5)

Exercises 478–486練習問題 478–486

In the following exercises, solve.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 478問題 478

x^{2} + 9 x + 20 = 0

Exercise 479問題 479

y^{2} = y + 132

Solution解き方

y = −11, y = 12

Exercise 480問題 480

5 a^{2} + 26 a = 24

Exercise 481問題 481

9 b^{2} - 9 = 0

Solution解き方

b = 1, b = −1

Exercise 482問題 482

16 - m^{2} = 0

Exercise 483問題 483

4 n^{2} + 19 n + 21 = 0

Solution解き方

n = - \frac{7}{4}, n = −3

Exercise 484問題 484

(x - 3) (x + 2) = 6

Exercise 485問題 485

The product of two consecutive integers is 156. Find the integers.

英語のヒント

連続する2つの整数の積は156である。その整数を求めよ。

Solution解き方

12 and 13; - 13 and −12

12 および 13; - 13 および −12

Exercise 486問題 486

The area of a rectangular place mat is

168

square inches. Its length is two inches longer than the width. Find the length and width of the place mat.

英語のヒント

長方形のランチョンマットの面積は

168

平方インチである。縦の長さは横の長さより2インチ長い。ランチョンマットの縦と横の長さを求めよ。

quadratic equations

二次方程式

are equations in which the variable is squared.

英語のヒント

変数が2乗されている方程式である。

Zero Product Property

積が0になる性質

The Zero Product Property states that, if the product of two quantities is zero, at least one of the quantities is zero.

英語のヒント

積が0になる性質とは、2つの量の積が0なら、少なくとも一方の量は0であるという性質である。

第7章因数分解

7.2 Factor Trinomials of the form x2+bx+c7.2 x2+bx+cの形の三項式を因数分解する

7.3 Factoring Trinomials of the form ax2+bx+c7.3 ax2+bx+cの形の三項式の因数分解

7.4 Factoring Special Products7.4 特別な積の因数分解

7.5 General Strategy for Factoring Polynomials7.5 多項式の因数分解の一般的な方針

7.6 Quadratic Equations7.6 二次方程式

Practice Test練習テスト

7.2 Factor Trinomials of the form $x^{2} + b x + c$ 7.2 $x^{2} + b x + c$ の形の三項式を因数分解する

7.3 Factoring Trinomials of the form $a x^{2} + b x + c$ 7.3 $a x^{2} + b x + c$ の形の三項式の因数分解