第7章因数分解

Key Concepts重要な概念

Factor perfect square trinomials See Example 7.42.
$\begin{matrix} Step 1. Does the trinomial fit the pattern? & a^{2} + 2 a b + b^{2} & a^{2} - 2 a b + b^{2} \\ Is the first term a perfect square? & {(a)}^{2} & {(a)}^{2} \\ Write it as a square. \\ Is the last term a perfect square? & {(a)}^{2} {(b)}^{2} & {(a)}^{2} {(b)}^{2} \\ Write it as a square. \\ Check the middle term. Is it 2 a b ? & {(a)}^{2}_{↘} \underset{2 \cdot a \cdot b}{}_{↙} {(b)}^{2} & {(a)}^{2}_{↘} \underset{2 \cdot a \cdot b}{}_{↙} {(b)}^{2} \\ Step 2. Write the square of the binomial. & {(a + b)}^{2} & {(a - b)}^{2} \\ Step 3. Check by multiplying. \end{matrix}$
英語のヒント
完全平方式の三項式を因数分解する。例7.42を参照。 $\begin{matrix} 手順1。三項式はこの形に当てはまるか。 & a^{2} + 2 a b + b^{2} & a^{2} - 2 a b + b^{2} \\ 初項は完全平方か。 & {(a)}^{2} & {(a)}^{2} \\ 平方として書く。 \\ 末項は完全平方か。 & {(a)}^{2} {(b)}^{2} & {(a)}^{2} {(b)}^{2} \\ 平方として書く。 \\ 中央の項を確かめる。次に等しいか： 2 a b ? & {(a)}^{2}_{↘} \underset{2 \cdot a \cdot b}{}_{↙} {(b)}^{2} & {(a)}^{2}_{↘} \underset{2 \cdot a \cdot b}{}_{↙} {(b)}^{2} \\ 手順2。二項式の平方を書く。 & {(a + b)}^{2} & {(a - b)}^{2} \\ 手順3。掛け算をして確かめる。 \end{matrix}$
Factor differences of squares See Example 7.47.
$\begin{matrix} Step 1. Does the binomial fit the pattern? & a^{2} - b^{2} \\ Is this a difference? & ____-____ \\ Are the first and last terms perfect squares? \\ Step 2. Write them as squares. & {(a)}^{2} - {(b)}^{2} \\ Step 3. Write the product of conjugates. & (a - b) (a + b) \\ Step 4. Check by multiplying. \end{matrix}$
英語のヒント
平方の差を因数分解する。例7.47を参照。 $\begin{matrix} 手順1。二項式はこの形に当てはまるか。 & a^{2} - b^{2} \\ これは差か。 & ____-____ \\ 初項と末項は完全平方か。 \\ 手順2。それぞれを平方として書く。 & {(a)}^{2} - {(b)}^{2} \\ 手順3。共役な式の積を書く。 & (a - b) (a + b) \\ 手順4。掛け算をして確かめる。 \end{matrix}$
Factor sum and difference of cubes To factor the sum or difference of cubes: See Example 7.54.
英語のヒント
立方の和と差を因数分解する。立方の和または差を因数分解するには：例7.54を参照。
1. Does the binomial fit the sum or difference of cubes pattern? Is it a sum or difference? Are the first and last terms perfect cubes?
  英語のヒント
  二項式は立方の和または差の公式の形に当てはまるか。和か、差か。最初と最後の項は完全立方か。
2. Write them as cubes.
  英語のヒント
  それらを立方で表す。
3. Use either the sum or difference of cubes pattern.
  英語のヒント
  立方の和または差の公式を使う。
4. Simplify inside the parentheses
  英語のヒント
  括弧の中を簡単にする。
5. Check by multiplying the factors.
  英語のヒント
  因数を掛けて確かめる。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 215–232練習問題 215–232

Factor Perfect Square Trinomials

英語のヒント

完全平方式の三項式を因数分解する

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 215問題 215

16 y^{2} + 24 y + 9

Solution解き方

{(4 y + 3)}^{2}

Exercise 216問題 216

25 v^{2} + 20 v + 4

Exercise 217問題 217

36 s^{2} + 84 s + 49

Solution解き方

{(6 s + 7)}^{2}

Exercise 218問題 218

49 s^{2} + 154 s + 121

Exercise 219問題 219

100 x^{2} - 20 x + 1

Solution解き方

{(10 x - 1)}^{2}

Exercise 220問題 220

64 z^{2} - 16 z + 1

Exercise 221問題 221

25 n^{2} - 120 n + 144

Solution解き方

{(5 n - 12)}^{2}

Exercise 222問題 222

4 p^{2} - 52 p + 169

Exercise 223問題 223

49 x^{2} - 28 x y + 4 y^{2}

Solution解き方

{(7 x - 2 y)}^{2}

Exercise 224問題 224

25 r^{2} - 60 r s + 36 s^{2}

Exercise 225問題 225

25 n^{2} + 25 n + 4

Solution解き方

(5 n + 4) (5 n + 1)

Exercise 226問題 226

100 y^{2} - 20 y + 1

Exercise 227問題 227

64 m^{2} - 16 m + 1

Solution解き方

(8 m - 1)^{2}

Exercise 228問題 228

100 x^{2} - 25 x + 1

Exercise 229問題 229

10 k^{2} + 80 k + 160

Solution解き方

10 {(k + 4)}^{2}

Exercise 230問題 230

64 x^{2} - 96 x + 36

Exercise 231問題 231

75 u^{3} - 30 u^{2} v + 3 u v^{2}

Solution解き方

3 u {(5 u - v)}^{2}

Exercise 232問題 232

90 p^{3} + 300 p^{2} q + 250 p q^{2}

Exercises 233–248練習問題 233–248

Factor Differences of Squares

英語のヒント

平方の差を因数分解する

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 233問題 233

x^{2} - 16

Solution解き方

(x - 4) (x + 4)

Exercise 234問題 234

n^{2} - 9

Exercise 235問題 235

25 v^{2} - 1

Solution解き方

(5 v - 1) (5 v + 1)

Exercise 236問題 236

169 q^{2} - 1

Exercise 237問題 237

121 x^{2} - 144 y^{2}

Solution解き方

(11 x - 12 y) (11 x + 12 y)

Exercise 238問題 238

49 x^{2} - 81 y^{2}

Exercise 239問題 239

169 c^{2} - 36 d^{2}

Solution解き方

(13 c - 6 d) (13 c + 6 d)

Exercise 240問題 240

36 p^{2} - 49 q^{2}

Exercise 241問題 241

4 - 49 x^{2}

Solution解き方

(2 - 7 x) (2 + 7 x)

Exercise 242問題 242

121 - 25 s^{2}

Exercise 243問題 243

16 z^{4} - 1

Solution解き方

(2 z - 1) (2 z + 1) (4 z^{2} + 1)

Exercise 244問題 244

m^{4} - n^{4}

Exercise 245問題 245

5 q^{2} - 45

Solution解き方

5 (q - 3) (q + 3)

Exercise 246問題 246

98 r^{3} - 72 r

Exercise 247問題 247

24 p^{2} + 54

Solution解き方

6 (4 p^{2} + 9)

Exercise 248問題 248

20 b^{2} + 140

Exercises 249–260練習問題 249–260

Factor Sums and Differences of Cubes

英語のヒント

立方の和と差を因数分解する

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 249問題 249

x^{3} + 125

Solution解き方

(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)

Exercise 250問題 250

n^{3} + 512

Exercise 251問題 251

z^{3} - 27

Solution解き方

(z - 3) (z^{2} + 3 z + 9)

Exercise 252問題 252

v^{3} - 216

Exercise 253問題 253

8 - 343 t^{3}

Solution解き方

(2 - 7 t) (4 + 14 t + 49 t^{2})

Exercise 254問題 254

125 - 27 w^{3}

Exercise 255問題 255

8 y^{3} - 125 z^{3}

Solution解き方

(2 y - 5 z) (4 y^{2} + 10 y z + 25 z^{2})

Exercise 256問題 256

27 x^{3} - 64 y^{3}

Exercise 257問題 257

7 k^{3} + 56

Solution解き方

7 (k + 2) (k^{2} - 2 k + 4)

Exercise 258問題 258

6 x^{3} - 48 y^{3}

Exercise 259問題 259

2 - 16 y^{3}

Solution解き方

2 (1 - 2 y) (1 + 2 y + 4 y^{2})

Exercise 260問題 260

−2 x^{3} - 16 y^{3}

Exercises 261–272練習問題 261–272

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 261問題 261

64 a^{2} - 25

Solution解き方

(8 a - 5) (8 a + 5)

Exercise 262問題 262

121 x^{2} - 144

Exercise 263問題 263

27 q^{2} - 3

Solution解き方

3 (3 q - 1) (3 q + 1)

Exercise 264問題 264

4 p^{2} - 100

Exercise 265問題 265

16 x^{2} - 72 x + 81

Solution解き方

{(4 x - 9)}^{2}

Exercise 266問題 266

36 y^{2} + 12 y + 1

Exercise 267問題 267

8 p^{2} + 2

Solution解き方

2 (4 p^{2} + 1)

Exercise 268問題 268

81 x^{2} + 169

Exercise 269問題 269

125 - 8 y^{3}

Solution解き方

(5 - 2 y) (25 + 10 y + 4 y^{2})

Exercise 270問題 270

27 u^{3} + 1000

Exercise 271問題 271

45 n^{2} + 60 n + 20

Solution解き方

5 {(3 n + 2)}^{2}

Exercise 272問題 272

48 q^{3} - 24 q^{2} + 3 q

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 273–274練習問題 273–274

Exercise 273問題 273

Landscaping Sue and Alan are planning to put a 15 foot square swimming pool in their backyard. They will surround the pool with a tiled deck, the same width on all sides. If the width of the deck is w, the total area of the pool and deck is given by the trinomial

4 w^{2} + 60 w + 225

. Factor the trinomial.

英語のヒント

庭づくり　スーとアランは裏庭に1辺15フィートの正方形のプールを設置する予定である。その周囲には、すべての辺で幅が同じタイル張りのデッキを設ける。デッキの幅をwとすると、プールとデッキを合わせた面積は三項式

4 w^{2} + 60 w + 225

で表される。この三項式を因数分解せよ。

Solution解き方

{(2 w + 15)}^{2}

Exercise 274問題 274

Home repair The height a twelve foot ladder can reach up the side of a building if the ladder’s base is b feet from the building is the square root of the binomial

144 - b^{2}

. Factor the binomial.

英語のヒント

家の修理　長さ12フィートのはしごの足元を建物からbフィート離したとき、はしごが建物の側面で届く高さは、二項式

144 - b^{2}

の平方根である。この二項式を因数分解せよ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 275–278練習問題 275–278

Exercise 275問題 275

Why was it important to practice using the binomial squares pattern in the chapter on multiplying polynomials?

英語のヒント

多項式の掛け算の章で、二項式の平方の公式を使う練習をすることが大切だったのはなぜか。

Solution解き方

Answers may vary.

英語のヒント

解答はさまざまである。

Exercise 276問題 276

How do you recognize the binomial squares pattern?

英語のヒント

二項式の平方の形は、どのように見分けるか。

Exercise 277問題 277

Explain why

n^{2} + 25 \neq {(n + 5)}^{2}

. Use algebra, words, or pictures.

英語のヒント

n^{2} + 25 \neq {(n + 5)}^{2}

となる理由を、代数、言葉、または図を使って説明せよ。

Solution解き方

Answers may vary.

英語のヒント

解答はさまざまである。

Exercise 278問題 278

Maribel factored

y^{2} - 30 y + 81

{(y - 9)}^{2}

. Was she right or wrong? How do you know?

英語のヒント

マリベルは

y^{2} - 30 y + 81

を

{(y - 9)}^{2}

と因数分解した。正しいか、間違っているか。どのように判断できるか。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

表には、すべて「私は…できる」を付けて読む項目がある。第1行は「完全平方式の三項式を因数分解する」、第2行は「平方の差を因数分解する」、第3行は「立方の和と差を因数分解する」である。その横の列には「自信を持って」「少し助けがあれば」「いいえ、理解できない！」という見出しがある。

ⓑ On a scale of 1–10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?

英語のヒント

ⓑ チェックリストの回答を踏まえると、この節の習得度を1〜10の尺度でどのように評価するか。どうすればさらに高められるか。

perfect square trinomials pattern

完全平方式の三項式の公式

If a and b are real numbers,

英語のヒント

aとbが実数であるとき、

\begin{matrix} a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2} & a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2} \end{matrix}

difference of squares pattern

平方の差の公式

If a and b are real numbers,

英語のヒント

aとbが実数であるとき、

平方の差の公式a^2 − b^2 = (a − b)(a + b)を示した図である。a^2とb^2には平方というラベルがあり、2つの項の間には差であることが示されている。最後に、因数分解した(a − b)(a + b)には共役というラベルがある。

sum and difference of cubes pattern

立方の和と差の公式

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) \\ a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) \end{matrix}