第7章因数分解

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 135–138練習問題 135–138

Recognize a Preliminary Strategy to Factor Polynomials Completely

英語のヒント

多項式を完全に因数分解するために最初に行う方針を理解する

In the following exercises, identify the best method to use to factor each polynomial.

英語のヒント

以下の問題では、各多項式を因数分解する最適な方法を示せ。

Exercise 135問題 135

ⓐ $10 q^{2} + 50$
ⓑ $a^{2} - 5 a - 14$
ⓒ $u v + 2 u + 3 v + 6$

Solution解き方

ⓐ factor the GCF, binomial ⓑ Undo FOIL ⓒ factor by grouping

英語のヒント

ⓐ 最大公約因子をくくり出す、二項式　ⓑ FOIL法を逆向きに行う　ⓒ 項をグループに分けて因数分解する

Exercise 136問題 136

ⓐ $n^{2} + 10 n + 24$
ⓑ $8 u^{2} + 16$
ⓒ $p q + 5 p + 2 q + 10$

Exercise 137問題 137

ⓐ $x^{2} + 4 x - 21$
ⓑ $a b + 10 b + 4 a + 40$
ⓒ $6 c^{2} + 24$

Solution解き方

ⓐ undo FOIL ⓑ factor by grouping ⓒ factor the GCF, binomial

英語のヒント

ⓐ FOIL法を逆向きに行う　ⓑ 項をグループに分けて因数分解する　ⓒ 最大公約因子をくくり出す、二項式

Exercise 138問題 138

ⓐ $20 x^{2} + 100$
ⓑ $u v + 6 u + 4 v + 24$
ⓒ $y^{2} - 8 y + 15$

Exercises 139–150練習問題 139–150

Factor Trinomials of the form $a x^{2} + b x + c$ with a GCF

英語のヒント

最大公約因子を持つ

a x^{2} + b x + c

の形の三項式を因数分解する

In the following exercises, factor completely.

英語のヒント

以下の問題では、完全に因数分解せよ。

Exercise 139問題 139

5 x^{2} + 35 x + 30

Solution解き方

5 (x + 1) (x + 6)

Exercise 140問題 140

12 s^{2} + 24 s + 12

Exercise 141問題 141

2 z^{2} - 2 z - 24

Solution解き方

2 (z - 4) (z + 3)

Exercise 142問題 142

3 u^{2} - 12 u - 36

Exercise 143問題 143

7 v^{2} - 63 v + 56

Solution解き方

7 (v - 1) (v - 8)

Exercise 144問題 144

5 w^{2} - 30 w + 45

Exercise 145問題 145

p^{3} - 8 p^{2} - 20 p

Solution解き方

p (p - 10) (p + 2)

Exercise 146問題 146

q^{3} - 5 q^{2} - 24 q

Exercise 147問題 147

3 m^{3} - 21 m^{2} + 30 m

Solution解き方

3 m (m - 5) (m - 2)

Exercise 148問題 148

11 n^{3} - 55 n^{2} + 44 n

Exercise 149問題 149

5 x^{4} + 10 x^{3} - 75 x^{2}

Solution解き方

5 x^{2} (x - 3) (x + 5)

Exercise 150問題 150

6 y^{4} + 12 y^{3} - 48 y^{2}

Exercises 151–166練習問題 151–166

Factor Trinomials Using Trial and Error

英語のヒント

試行錯誤によって三項式を因数分解する

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 151問題 151

2 t^{2} + 7 t + 5

Solution解き方

(2 t + 5) (t + 1)

Exercise 152問題 152

5 y^{2} + 16 y + 11

Exercise 153問題 153

11 x^{2} + 34 x + 3

Solution解き方

(11 x + 1) (x + 3)

Exercise 154問題 154

7 b^{2} + 50 b + 7

Exercise 155問題 155

4 w^{2} - 5 w + 1

Solution解き方

(4 w - 1) (w - 1)

Exercise 156問題 156

5 x^{2} - 17 x + 6

Exercise 157問題 157

6 p^{2} - 19 p + 10

Solution解き方

(3 p - 2) (2 p - 5)

Exercise 158問題 158

21 m^{2} - 29 m + 10

Exercise 159問題 159

4 q^{2} - 7 q - 2

Solution解き方

(4 q + 1) (q - 2)

Exercise 160問題 160

10 y^{2} - 53 y - 11

Exercise 161問題 161

4 p^{2} + 17 p - 15

Solution解き方

(4 p - 3) (p + 5)

Exercise 162問題 162

6 u^{2} + 5 u - 14

Exercise 163問題 163

16 x^{2} - 32 x + 16

Solution解き方

16 (x - 1) (x - 1)

Exercise 164問題 164

81 a^{2} + 153 a - 18

Exercise 165問題 165

30 q^{3} + 140 q^{2} + 80 q

Solution解き方

10 q (3 q + 2) (q + 4)

Exercise 166問題 166

5 y^{3} + 30 y^{2} - 35 y

Exercises 167–188練習問題 167–188

Factor Trinomials using the ‘ac’ Method

英語のヒント

「ac法」で三項式を因数分解する

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 167問題 167

5 n^{2} + 21 n + 4

Solution解き方

(5 n + 1) (n + 4)

Exercise 168問題 168

8 w^{2} + 25 w + 3

Exercise 169問題 169

9 z^{2} + 15 z + 4

Solution解き方

(3 z + 1) (3 z + 4)

Exercise 170問題 170

3 m^{2} + 26 m + 48

Exercise 171問題 171

4 k^{2} - 16 k + 15

Solution解き方

(2 k - 3) (2 k - 5)

Exercise 172問題 172

4 q^{2} - 9 q + 5

Exercise 173問題 173

5 s^{2} - 9 s + 4

Solution解き方

(5 s - 4) (s - 1)

Exercise 174問題 174

4 r^{2} - 20 r + 25

Exercise 175問題 175

6 y^{2} + y - 15

Solution解き方

(3 y + 5) (2 y - 3)

Exercise 176問題 176

6 p^{2} + p - 22

Exercise 177問題 177

2 n^{2} - 27 n - 45

Solution解き方

(2 n + 3) (n - 15)

Exercise 178問題 178

12 z^{2} - 41 z - 11

Exercise 179問題 179

3 x^{2} + 5 x + 4

Solution解き方

prime

英語のヒント

素数

Exercise 180問題 180

4 y^{2} + 15 y + 6

Exercise 181問題 181

60 y^{2} + 290 y - 50

Solution解き方

10 (6 y - 1) (y + 5)

Exercise 182問題 182

6 u^{2} - 46 u - 16

Exercise 183問題 183

48 z^{3} - 102 z^{2} - 45 z

Solution解き方

3 z (8 z + 3) (2 z - 5)

Exercise 184問題 184

90 n^{3} + 42 n^{2} - 216 n

Exercise 185問題 185

16 s^{2} + 40 s + 24

Solution解き方

8 (2 s + 3) (s + 1)

Exercise 186問題 186

24 p^{2} + 160 p + 96

Exercise 187問題 187

48 y^{2} + 12 y - 36

Solution解き方

12 (4 y - 3) (y + 1)

Exercise 188問題 188

30 x^{2} + 105 x - 60

Exercises 189–208練習問題 189–208

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

In the following exercises, factor.

英語のヒント

以下の問題では、因数分解せよ。

Exercise 189問題 189

12 y^{2} - 29 y + 14

Solution解き方

(4 y - 7) (3 y - 2)

Exercise 190問題 190

12 x^{2} + 36 y - 24 z

Exercise 191問題 191

a^{2} - a - 20

Solution解き方

(a - 5) (a + 4)

Exercise 192問題 192

m^{2} - m - 12

Exercise 193問題 193

6 n^{2} + 5 n - 4

Solution解き方

(2 n - 1) (3 n + 4)

Exercise 194問題 194

12 y^{2} - 37 y + 21

Exercise 195問題 195

2 p^{2} + 4 p + 3

Solution解き方

prime

英語のヒント

素数

Exercise 196問題 196

3 q^{2} + 6 q + 2

Exercise 197問題 197

13 z^{2} + 39 z - 26

Solution解き方

13 (z^{2} + 3 z - 2)

Exercise 198問題 198

5 r^{2} + 25 r + 30

Exercise 199問題 199

x^{2} + 3 x - 28

Solution解き方

(x + 7) (x - 4)

Exercise 200問題 200

6 u^{2} + 7 u - 5

Exercise 201問題 201

3 p^{2} + 21 p

Solution解き方

3 p (p + 7)

Exercise 202問題 202

7 x^{2} - 21 x

Exercise 203問題 203

6 r^{2} + 30 r + 36

Solution解き方

6 (r + 2) (r + 3)

Exercise 204問題 204

18 m^{2} + 15 m + 3

Exercise 205問題 205

24 n^{2} + 20 n + 4

Solution解き方

4 (2 n + 1) (3 n + 1)

Exercise 206問題 206

4 a^{2} + 5 a + 2

Exercise 207問題 207

x^{2} + 2 x - 24

Solution解き方

(x + 6) (x - 4)

Exercise 208問題 208

2 b^{2} - 7 b + 4

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 209–210練習問題 209–210

Exercise 209問題 209

Height of a toy rocket The height of a toy rocket launched with an initial speed of 80 feet per second from the balcony of an apartment building is related to the number of seconds, t, since it is launched by the trinomial

−16 t^{2} + 80 t + 96

. Completely factor the trinomial.

英語のヒント

おもちゃのロケットの高さ　集合住宅のバルコニーから初速毎秒80フィートで打ち上げたおもちゃのロケットの高さは、打上げからの秒数tと、三項式

−16 t^{2} + 80 t + 96

によって関係付けられる。この三項式を完全に因数分解せよ。

Solution解き方

−16 (t - 6) (t + 1)

Exercise 210問題 210

Height of a beach ball The height of a beach ball tossed up with an initial speed of 12 feet per second from a height of 4 feet is related to the number of seconds, t, since it is tossed by the trinomial

−16 t^{2} + 12 t + 4

. Completely factor the trinomial.

英語のヒント

ビーチボールの高さ　高さ4フィートの位置から初速毎秒12フィートで上に投げたビーチボールの高さは、投げてからの秒数tと、三項式

−16 t^{2} + 12 t + 4

によって関係付けられる。この三項式を完全に因数分解せよ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 211–214練習問題 211–214

Exercise 211問題 211

List, in order, all the steps you take when using the “ac” method to factor a trinomial of the form

a x^{2} + b x + c .

英語のヒント

a x^{2} + b x + c

の形の三項式をac法で因数分解するときに行うすべての手順を、順番に挙げよ。

Solution解き方

Answers may vary.

英語のヒント

解答はさまざまである。

Exercise 212問題 212

How is the “ac” method similar to the “undo FOIL” method? How is it different?

英語のヒント

ac法は、FOIL法を逆向きにする方法とどこが似ているか。どこが異なるか。

Exercise 213問題 213

What are the questions, in order, that you ask yourself as you start to factor a polynomial? What do you need to do as a result of the answer to each question?

英語のヒント

多項式の因数分解を始めるとき、自分にどのような問いをどの順序で投げかけるか。それぞれの答えを受けて、何をする必要があるか。

Solution解き方

Answers may vary.

英語のヒント

解答はさまざまである。

Exercise 214問題 214

On your paper draw the chart that summarizes the factoring strategy. Try to do it without looking at the book. When you are done, look back at the book to finish it or verify it.

英語のヒント

因数分解の方針をまとめた図を紙にかこう。教科書を見ずにやってみよう。終わったら教科書を見直し、完成させるか、正しくかけたか確認しよう。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

表には、すべて「私は…できる」を付けて読む項目がある。第1行は「多項式を完全に因数分解するために最初に行う方針を理解する」、第2行は「最大公約因子を持つax^2 + bx + cの形の三項式を因数分解する」、第3行は「試行錯誤によって三項式を因数分解する」、第4行は「ac法で三項式を因数分解する」である。その横の列には「自信を持って」「少し助けがあれば」「いいえ、理解できない！」という見出しがある。

ⓑ What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?

英語のヒント

ⓑ このチェックリストから、この節をどれだけ習得できたと分かるか。さらに身に付けるために、どのような手順で取り組むか。

prime polynomials

既約多項式

Polynomials that cannot be factored are prime polynomials.

英語のヒント

因数分解できない多項式を、既約多項式という。